Релятивистская гравитация

[Мастеров АВ]

Не релятивистская гравитация
\(\vec F=-G\frac{mM}{r^2}\vec n_r\)
(прямолинейное движение)

\(F=ma=m\frac{dv}{dt}=m\frac{dr}{dt}\frac{dv}{dr}=mv\frac{dv}{dr}=\frac{m}{2}\frac{dv^2}{dr}=-G\frac{mM}{r^2}\)

\(\int\frac{m}{2}dv^2=-\int G\frac{mM}{r^2}dr\)

\(\frac{mv^2}{2}=\frac{GmM}{r}+C\)

\(\frac{mv^2}{2}-G\frac{mM}{r}=\frac{mv_o^2}{2}-G\frac{mM}{r_o}=const\) - Закон Сохранения Энергии

Движение по замкнутой траектории

(нерелятивистский случай)

\(\vec r=r\vec{n_r}\)
\(\vec v=\dot{\vec r}=\frac{d}{dt}\left(r\vec{n_r}\right)=\dot{r}\vec{n_r}+r\dot{\vec{n_r}}=\dot{r}\vec{n_r}+r\dot{\theta}\vec{n_{\theta}}\)

\(\vec a=\dot{\vec v}=\frac{d}{dt}\left(\dot{r}\vec{n_r}+r\dot{\theta}\vec{n_{\theta}}\right)=
\ddot{r}\vec{n_r}+\dot{r}\dot{\vec{n_r}}+
\frac{d}{dt}\left(r\dot{\theta}\right)\vec{n_{\theta}}+
r\dot{\theta}\dot{\vec{n_{\theta}}}=\\
\ddot{r}\vec{n_r}+\dot{r}\dot{\theta}\vec{n_{\theta}}+
\left(\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\vec{n_{\theta}}-
r\dot{\theta}^2\vec{n_r}=\\
\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2\right)\vec{n_r}+
\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)\vec{n_{\theta}}=-\frac{GM}{r^2}\vec{n_r}\)

\(\begin{cases}
   \ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}\\\
   2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0
 \end{cases}\)
Тут везде использовался тот факт, что:
\(\dot{\vec{n_r}}=\dot{\theta}\vec{n_{\theta}}\ \) и \(\ \dot{\vec{n_{\theta}}}=-\dot{\theta}\vec{n_r}\)
\(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0\)
\(2r\dot{r}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}=0\)
\(\dot{r^2}\dot{\theta}+r^2\ddot{\theta}=0\)
\(\frac{d}{dt}\left(r^2\dot{\theta}\right)=0\)
\(r^2\dot{\theta}=2\dot{S}=const\) - Закон Сохранения Момента Импульса (Второй Закон Кеплера)
ЗСМИ - следствие того, что ускорение (вектор) коллинеарно силе (согласно Второму Закону Ньютона)

А как выглядит Закон Сохранения Энергии, при движении тела
в гравитационном поле по замкнутой траектории ?
\(v^2=\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+r^2\dot{\theta}^2=\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\frac{4\dot{S}^2}{r^2}\)
\(v^2-\frac{2GM}{r}=\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\frac{4\dot{S}^2}{r^2}-\frac{2GM}{r}=\frac{4\dot{S}^2}{r_o^2}-\frac{2GM}{r_o}\) - ЗСЭ
Тут учтено, что: \(r(0)=r_{max}\), \(\dot{r}(0)=\dot{r}_o=0\)
Т.е., начало траектории в перигелии
Если траектория круг: \(r_o=R_o=\frac{4\dot{S}^2}{GM}\)

\(\frac{R_o}{GM}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\frac{R_o^2}{r^2}-2\frac{R_o}{r}=\frac{R_o^2}{r_o^2}-2\frac{R_o}{r_o}\)
\(\frac{R_o}{GM}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\left(\frac{R_o}{r}-1\right)^2=\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)^2\) - ЗСЭ

А действительно ли планеты
движутся по эллиптической траектории
\(r(\theta)=\frac{R_o}{1-\varepsilon\cos(\theta)}\), \(R_o=\frac{4\dot{S}^2}{GM}\)

\(\begin{cases}
  \frac{R_o}{GM}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+\left(\frac{R_o}{r}-1\right)^2=\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)^2\\\
  r^2\dot{\theta}=2\dot{S}
 \end{cases}\)
Поделим первое на квадрат второго.
\(\left(\frac{d}{d\theta}\left(\frac{R_o}{r}-1\right)\right)^2+\left(\frac{R_o}{r}-1\right)^2=\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)^2\)

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+y^2=\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)^2=\varepsilon^2\)

\(y=\frac{R_o}{r}-1=\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)\cos\theta=-\varepsilon\cos\theta\)

\(r(\theta)=\frac{R_o}{1-\varepsilon\cos(\theta)}\)
\(|\varepsilon|=0\) - круг
\(|\varepsilon|<1\) - эллипс
\(|\varepsilon|=1\) - парабола
\(|\varepsilon|>1\) - гипербола


\(R_o=\frac{4\dot{S}^2}{GM}\)
\(\varepsilon=1-\frac{R_o}{r_o}=\frac{r_o}{a}-1\)
\(r_o=\frac{R_o}{1-\varepsilon}\)
\(a=\frac{R_o}{1-\varepsilon^2}=\frac{r_o}{2-\frac{R_o}{r_o}}\)

[Мастеров АВ]

Релятивистская гравитация
\(F=-G\frac{mM}{r^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\)
(посчитаем кинетическую и потенциальную энергии)

\(F=ma=m\frac{dv}{dt}=mv\frac{dv}{dr}=-G\frac{mM}{r^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\)

\(mv\frac{dv}{1-v^2/c^2}=-\frac{GmM}{r^2}dr\)

\(\frac{c^2}{2}\frac{d(v^2/c^2)}{1-v^2/c^2}=-\frac{GM}{r^2}dr\)

\(\frac{c^2}{2}\log\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=-\frac{GM}{r}+C\)

\(\log\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=-\frac{2GM}{rc^2}+C\)

\(1-\frac{v^2}{c^2}=Ce^{-\frac{2GM}{rc^2}}\)

\(1-\frac{v_o^2}{c^2}=Ce^{-\frac{2GM}{r_oc^2}}\)

\(1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)

\(\frac{mc^2}{2}-\frac{mv^2}{2}=\left(\frac{mc^2}{2}-\frac{mv_o^2}{2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)

\(\frac{mv^2}{2}=\frac{mc^2}{2}-\left(\frac{mc^2}{2}-\frac{mv_o^2}{2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)

\(\frac{mv^2}{2}=\frac{mc^2}{2}\left(1-\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\right)\) - Закон Сохранения Энергии для
Релятивистского Закона Всемирного Тяготения

Из Закона Сохранения Энергии следует, что: \(\frac{mv^2}{2}<\frac{mc^2}{2}\)
"Чёрная дыра", это - ещё одна чушь, распиаренная жидами.

Если масса мала:
\(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)e^{\frac{2GM}{rc^2}}=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{\frac{2GM}{r_oc^2}}=Const\)

\(\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\left(1+\frac{2GM}{rc^2}\right)=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)\left(1+\frac{2GM}{r_oc^2}\right)=Const\)

\(\frac{v^2}{c^2}-\frac{2GM}{rc^2}=\frac{v_o^2}{c^2}-\frac{2GM}{r_oc^2}=Const\)

\(\frac{mv^2}{2}-\frac{GmM}{r}=\frac{mv_o^2}{2}-\frac{GmM}{r_o}=Const\)

[Мастеров АВ]

Движение планет в Солнечной системе
(релятивистский случай)

\(\begin{cases}
   \ddot{r}-r\dot{\theta}^2=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\\\
   r^2\dot{\theta}=2\dot{S}=const
\end{cases}\)
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=600039.msg8473305#msg8473305

\(v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2=\dot{r}^2+4\dot{S}^2/r^2\)
\(v_o^2=\dot{r}_o^2+4\dot{S}^2/r_o^2\)

\(\begin{cases}
   \ddot{r}-\frac{4\dot{S}^2}{r^3}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{\dot{r}^2+4\dot{S}^2/r^2}{c^2}\right)\\\
   \dot{\theta}=2\frac{\dot{S}}{r^2}
 \end{cases}\)



\(\ddot{r}=\frac{d\dot{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\frac{d\dot{r}}{dr}=\dot{r}\frac{d\dot{r}}{dr}=\frac{1}{2}\frac{d\dot{r}^2}{dr}\)

\(\frac{1}{2}\frac{d\dot{r}^2}{dr}-\frac{4\dot{S^2}}{r^3}=\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{\dot{r}^2+4\dot{S}^2/r^2}{c^2}\right)\)

\(\frac{d}{dr}\left(1-\frac{\dot{r}^2+4\dot{S}^2/r^2}{c^2}\right)=-\frac{2GM}{c^2r^2}\left(1-\frac{\dot{r}^2+4\dot{S}^2/r^2}{c^2}\right)\)

\(1-\frac{\dot{r}^2+4\dot{S}^2/r^2}{c^2}=Ce^{-\frac{2GM}{c^2r}}\)

\(1-\frac{\dot{r}^2+4\dot{S}^2/r^2}{c^2}=\left(1-\frac{4\dot{S}^2}{c^2r_o^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)

\(\dot{r}^2=c^2\left[1-\left(1-\frac{4\dot{S}^2}{c^2r_o^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\right]-\frac{4\dot{S}^2}{r^2}\)

\(\begin{cases}
   \dot{r}^2=c^2\left[1-\left(1-\frac{4\dot{S}^2}{c^2r_o^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\right]-\frac{4\dot{S}^2}{r^2}\\\
   r^2\dot{\theta}=2\dot{S}
 \end{cases}\)

[Мастеров АВ]

проинтегрировать это уравнение я (пока) затрудняюсь

Ищем релятивистскую поправку

Поделим первое на квадрат второго
\(\left(\frac{1}{r^2}\frac{dr}{d\theta}\right)^2+\frac{1}{r^2}=\frac{c^2}{4\dot{S}^2}\left[1-\left(1-\frac{4\dot{S}^2}{c^2r_o^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\right]\)
\(R_o=\frac{4\dot{S}^2}{GM}\)
\(\left(\frac{d}{d\theta}\left(\frac{R_o}{r}-1\right)\right)^2+\left(\frac{R_o}{r}-1\right)^2=
\frac{c^2R_o^2}{4\dot{S}^2}\left[1-\left(1-\frac{4\dot{S}^2}{c^2r_o^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\right]-2\frac{R_o}{r}+1\)

\(\left(\frac{d}{d\theta}\left(\frac{R_o}{r}-1\right)\right)^2+\left(\frac{R_o}{r}-1\right)^2=
\frac{c^2R_o^2}{4\dot{S}^2}\left[\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)+\frac{4\dot{S}^2}{c^2r_o^2}-2\left(\frac{GM}{c^2}\right)^2\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)^2\right]-2\frac{R_o}{r}+1\)

\(\left(\frac{d}{d\theta}\left(\frac{R_o}{r}-1\right)\right)^2+\left(\frac{R_o}{r}-1\right)^2\approx\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)^2\)\(-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(\frac{R_o}{r}-\frac{R_o}{r_o}\right)^2\)
\(\varepsilon=\frac{R_o}{r_o}-1\)
\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+y^2=\varepsilon^2\)\(-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(y-\varepsilon\right)^2\)

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+y^2\approx\varepsilon^2\left(1-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(1-\cos\theta\right)^2\right)
=\varepsilon^2\left(1-8\frac{GM}{c^2R_o}\sin^4(\theta/2)\right)\)

\(r(\theta)=\frac{R_o}{1-\varepsilon_r\cos(\theta)}
=\frac{R_o}{1-\varepsilon\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\left(1-\cos\theta\right)^2\right)\cos(\theta)}
=\frac{R_o}{1-\varepsilon\left(1-16\frac{\dot{S}^2}{c^2R^2_o}\sin^4(\theta/2)\right)\cos(\theta)}\)

\(R_o=\frac{4\dot{S}^2}{GM}\)
\(\varepsilon=1-\frac{R_o}{r_o}=\frac{r_o}{a}-1\)
\(\varepsilon_r=\varepsilon\left(1-16\frac{\dot{S}^2}{c^2R^2_o}\sin^4(\theta/2)\right)\)
\(r_o=\frac{R_o}{1-\varepsilon}\)
\(a=\frac{R_o}{1-\varepsilon^2}=\frac{r_o}{2-\frac{R_o}{r_o}}\)


\(\varepsilon_{min}=\varepsilon\left(1-16\frac{\dot{S}^2}{c^2R^2_o}\right)\)
\(\varepsilon_{max}=\varepsilon\)

[Мастеров АВ]

.

[Мастеров АВ]

.

[Мастеров АВ]

\left(\right)^2

\(1-\frac{v^2}{c^2}=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)

\(1-\frac{1}{c^2}\left(\frac{dr}{dt}\right)^2=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)
\(y=e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)

\(\frac{dy}{dt}=-\frac{2GM}{c^2}e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)\)

\(\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)=-\frac{c^2}{2GM}\frac{1}{y}\frac{dy}{dt}\)

***************************************
\(1-\frac{1}{c^2}\left(\frac{c^2r^2}{2GM}\frac{1}{y}\frac{dy}{dt}\right)^2=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)y\)

\(\frac{cr^2}{2GM}\frac{1}{y}\frac{dy}{dt}=\sqrt{1-\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)y}\)

\(\frac{1}{z}\frac{dz}{dx}=\sqrt{1-z}\)
\(z=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)y=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)
\(x=\frac{2GM}{cr^2}t\)
\(\frac{dz}{z\sqrt{1-z}}=dx\)

\(\frac{\sqrt{1-z}-1}{\sqrt{1-z}+1}=Ce^x\)

\(\sqrt{1-z}-1=Ce^x(\sqrt{1-z}+1)\)

\(\sqrt{1-z}(1-Ce^x)=Ce^x+1\)

\(\sqrt{1-z}=\frac{1+Ce^x}{1-Ce^x}\)

\(\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}=1-\left(\frac{1+Ce^x}{1-Ce^x}\right)^2\)

\(\frac{1}{r}=\frac{1}{r_o}+\frac{c^2}{2GM}\log\left(\frac{1-\frac{v_o^2}{c^2}}{1-\left(\frac{1+Ce^x}{1-Ce^x}\right)^2}\right)\)

[Мастеров АВ]

Релятивистский Закон Кулона
\(F=k\frac{qQ}{r^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\)

\(\frac{mv^2}{2}=\frac{mc^2}{2}\left(1-\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{k\frac{2Q}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\right)\) - ЗСЭ точечного релятивистского заряда
в поле другого (неподвижного) точечного заряда

Сила, действующая на релятивистскую
заряженную частицу в ЭМП
(источник поля неподвижен)

\(\vec F=q\left(\vec E-[\vec r\vec{rot}\vec E]+[\vec v\vec H]\right)(1-v^2/c^2)\)
\(\vec F=q\left(\vec E+[\vec r\frac{\partial \vec B}{\partial t}]+[\vec v\vec B]\right)(1-v^2/c^2)\)
\(\vec F=q\left(\vec E+\frac{\partial}{\partial t}[\vec r\vec B]\right)(1-v^2/c^2)\)

Радиус траектории релятивистской
заряженной частицы в магнитном поле
\(R=\frac{mv}{qB(1-v^2/c^2)}\)

Релятивистские уравнения Максвелла
\(\vec{rot E}=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}\)
\(div\vec B=0\)
\(\vec{rot H}=\vec j\left(1-v_j^2/c^2\right)+\frac{\partial\vec D}{\partial t}\)
\(div\vec D=\rho\left(1-v_\rho^2/c^2\right)\)

Это подтверждается экспериментально.

[Мастеров АВ]

\(\left(\frac{1}{r^2}\frac{dr}{d\theta}\right)^2+\frac{1}{r^2}=\frac{c^2}{4\dot{S}^2}\left[1-\left(1-\frac{4\dot{S}^2}{c^2r_o^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\right]\)

\(\left(\frac{d}{d\theta}\frac{1}{r}\right)^2+\frac{1}{r^2}-\frac{c^2}{4\dot{S}^2}=-\left(\frac{c^2}{4\dot{S}^2}-\frac{1}{r_o^2}\right)e^{-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)}\)

[Мастеров АВ]

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+y^2=\varepsilon^2-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(y-\varepsilon\right)^2\)

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+y^2=\varepsilon^2\left(1-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(1-\cos\theta\right)^2\right)
=\varepsilon^2\left(1-8\frac{GM}{c^2R_o}\sin^4(\theta/2)\right)\)

\(r(\theta)=\frac{R_o}{1-\varepsilon\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\left(1-\cos\theta\right)^2\right)\cos(\theta)}
=\frac{R_o}{1-\varepsilon\left(1-4\frac{GM}{c^2R_o}\sin^4(\theta/2)\right)\cos(\theta)}
=\frac{R_o}{1-\varepsilon\left(1-16\frac{\dot{S}^2}{c^2R^2_o}\sin^4(\theta/2)\right)\cos(\theta)}\)

\(R_o=\frac{4\dot{S}^2}{GM}\)
\(\varepsilon=\frac{R_o}{r_o}-1=1-\frac{r_o}{a}\)
\(\varepsilon_r=\varepsilon\left(1-16\frac{\dot{S}^2}{c^2R^2_o}\sin^4(\theta/2)\right)\)
\(r_o=\frac{R_o}{1-\varepsilon}\)
\(a=\frac{R_o}{1-\varepsilon^2}=\frac{r_o}{2-\frac{R_o}{r_o}}\)


\(\varepsilon_{min}=\varepsilon\left(1-16\frac{\dot{S}^2}{c^2R^2_o}\right)\)
\(\varepsilon_{max}=\varepsilon\)

[Мастеров АВ]

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+y^2=\varepsilon^2\)\(-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(y-\varepsilon\right)^2\)

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+\left(y-\varepsilon\right)^2+2\left(y-\varepsilon\right)\varepsilon=-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(y-\varepsilon\right)^2\)

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+\left(1+2\frac{GM}{c^2R_o}\right)\left(y-\varepsilon\right)^2+2\left(y-\varepsilon\right)\varepsilon=0\)

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+\left(\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)\left(y-\varepsilon\right)\right)^2+2\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)\left(y-\varepsilon\right)\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\right)\varepsilon+\left(\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\right)\varepsilon\right)^2=\\
\left(\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\right)\varepsilon\right)^2\)

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+\left(\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)\left(y-\varepsilon\right)+\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\right)\varepsilon\right)^2=\left(\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\right)\varepsilon\right)^2\)

\(\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2+\left(\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)y-2\frac{GM}{c^2R_o}\varepsilon\right)^2=
\left(\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\right)\varepsilon\right)^2\)

\(y_r=\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)y-2\frac{GM}{c^2R_o}\varepsilon=\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)\left(\frac{R_o}{r}-1\right)-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)\)

\(\left(\frac{dy_r}{d\theta_r}\right)^2+y_r^2=\varepsilon_r^2\)

\(y_r=\varepsilon_r\cos\theta_r\)

\(\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)\left(\frac{R_o}{r}-1\right)-2\frac{GM}{c^2R_o}\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)=\\
=\left(1-\frac{GM}{c^2R_o}\right)\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)\cos\left(\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)\theta\right)\)

\(\frac{R_o}{r}=1+2\frac{GM}{c^2R_o}\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)+\\
+\left(1-2\frac{GM}{c^2R_o}\right)\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)\cos\left(\left(1+\frac{GM}{c^2R_o}\right)\theta\right)\)
\(R_r=R_o\)\(-2\frac{GM}{c^2}\left(\frac{R_o}{r_o}-1\right)\)
\(\frac{\theta_r}{\theta}=1\)\(+\frac{GM}{c^2R_o}\)
\(\frac{\varepsilon_r}{\varepsilon}=1\)\(-2\frac{GM}{c^2R_o}\)

\(r(\theta)=\frac{R_r}{1-\varepsilon_r\cos(\theta_r)}\)

[/size]

[Мастеров АВ]

.

[Мастеров АВ]

Энергия заряженной релятивистской частицы в ускорителе

\(F=qE(1-v^2/c^2)\)
\(ma = qE(1-\frac{v^2}{c^2})\)
\(m\frac{dv}{dt} = q\frac{dU}{dx}(1-\frac{v^2}{c^2})\)
\(m\frac{dx}{dt}dv = qdU(1-\frac{v^2}{c^2})\)
\(mv\ dv = qdU(1-\frac{v^2}{c^2})\)
\(\frac{2v/c^2}{1-v^2/c^2}dv =\frac{2q}{mc^2}dU\)
\(ln(1-\frac{v^2}{c^2}) = -\frac{2q\Delta U}{mc^2}\)
\(1-\frac{v^2}{c^2} = e^{-2q\Delta U/mc^2}\)

\(\frac{mv^2}{2}=\left(1-{\huge e}^{-2\frac{q\Delta U}{mc^2}}\right)\frac{mc^2}{2}\)

Энергия электрона в ускорителе

[Мастеров АВ]

Важно о гравитации

Гравитационная масса антиматерии
(состоящей из антипротонов, антинейтронов и антиэлектронов (позитронов))
отрицательная.

Но (в отличие от электрических зарядов)
одноимённые массы притягиваются,
а разноимённые - отталкиваются.

[Мастеров АВ]

Важно о гравитации

Гравитационная масса антиматерии
(состоящей из антипротонов, антинейтронов и антиэлектронов (позитронов))
отрицательная.

Но (в отличие от электрических зарядов)
одноимённые массы притягиваются,
а разноимённые - отталкиваются.

Откуда ЭТО следует

Это следует из теории (которую я ещё не доделал, нужны эксперименты).

Из теории следует, что материи и антиматерии
должно быть одинаково вокруг нас,
а то, что мы не видим антиматерию вокруг нас
является следствием отрицательности
гравитационной массы у антиматерии.

Отрицательность гравитационной массы антиматерии
следует и из теории и объясняет тот факт, что
вокруг нас нет макрообъектов из антиматерии.
(гравитация выталкивает антиматерию,
о чём говорится в видеоролике)

https://www.youtube.com/watch?v=qmSbOg5hgdM

[Milyantsev]

Релятивистская гравитация
\(F=G\frac{mM}{r^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\)

это откуда взято?
v это что за скорость? относительно чего?

[Мастеров АВ]

\(F=qE(1-v^2/c^2)\)

\(R=\frac{mv}{qB(1-v^2/c^2)}\)
Это следует из экспериментов на ускорителе.
скорость - относительно источника поля.

А поскольку все поля - суть единое поле, то:

Сила, действующая на релятивистскую заряженную частицу в ЭМП

\(\vec F=q\left(\vec E-[\vec r\vec{rot}\vec E]+[\vec v\vec H]\right)(1-v^2/c^2)\)
\(\vec F=q\left(\vec E+[\vec r\frac{\partial \vec B}{\partial t}]+[\vec v\vec B]\right)(1-v^2/c^2)\)
\(\vec F=q\left(\vec E+\frac{\partial}{\partial t}[\vec r\vec B]\right)(1-v^2/c^2)\)
\(F=k\frac{qQ}{r^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\) - Релятивистская сила Кулона

\(F=-G\frac{mM}{r^2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\) - подтверждается анализом скорости американских космических зондов "Вояджер".

[Мастеров АВ]

Скорость американских космических зондов "Вояджер

\(1-\frac{v(r)^2}{c^2}=Ce^{\frac{2GM}{rc^2}}\)

\(v(r)^2=c^2\left(1-Ce^{\frac{2GM}{rc^2}}\right)\)

\(v(r)=c\sqrt{1-Ce^{\frac{2GM}{rc^2}}}\)

\(C=\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{-\frac{2GM}{r_oc^2}}\)

\(v(r)=c\sqrt{1-\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)e^{\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r}\right)}}\) - Скорость "Вояджеров" с учётом релятивизма

Если релятивизм слабый:
\(v(r)=c\sqrt{1-\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}\right)\left(1+\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r}\right)\right)}\)

\(v(r)=c\sqrt{1-\left(1-\frac{v_o^2}{c^2}+\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r}\right)\right)}\)

\(v(r)=c\sqrt{\frac{v_o^2}{c^2}-\frac{2GM}{c^2}\left(\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r}\right)}\)

\(v(r)=\sqrt{v_o^2-2GM\left(\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r}\right)}\)

\(v(r)=v_o\sqrt{1-\frac{2GM}{v_o^2}\left(\frac{1}{r_o}-\frac{1}{r}\right)}\)

\(v(r)=v_o\left(1+\frac{GM}{v_o^2}\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_o}\right)\right)\) - Скорость "Вояджеров" без учёта релятивизма

[Мастеров АВ]

Релятивистская поправка к скорости

\(v_r=\sqrt{c^2-(c^2-v_o^2)e^{\frac{2GM}{c^2r_o}}}\) - Релятивистская скорость "Вояджеров" на бесконечности


\(v_c=\sqrt{v_o^2-\frac{2GM}{r_o}}\) - Классическая скорость "Вояджеров"  на бесконечности

\(\frac{2GM}{r_o}=v_o^2-v_c^2\)

\(e^{\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}}=\frac{c^2-v_r^2}{c^2-v_o^2}\)

\(1+\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}+\frac{1}{2}\left(\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}\right)^2=\frac{c^2-v_r^2}{c^2-v_o^2}\)

\(\frac{c^2-v_r^2}{c^2-v_o^2}-1-\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}\right)^2\)

\(\frac{v_o^2-v_r^2}{c^2-v_o^2}-\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}\right)^2\)

\(1+2\frac{v_o^2-v_r^2}{c^2-v_o^2}=\left(\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}\right)^2+2\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}+1\)

\(1+2\frac{v_o^2-v_r^2}{c^2-v_o^2}=\left(\frac{v_o^2-v_c^2}{c^2}+1\right)^2\)

\(1+2\frac{o^2-r^2}{1-o^2}=(o^2-c^2+1)^2\)

\(1-o^2+2(o^2-r^2)=(1-o^2)(o^2-c^2+1)^2\)

\(2(o^2-r^2)=(1-o^2)((o^2-c^2+1)^2-1)\)

\(2(o^2-r^2)=(1-o^2)(o^2-c^2)(o^2-c^2+2)\)

\(2(o−r)=(1−o)(o^2+c^2+2o−2c−2oc)\)

\(2o−2r=o^2+c^2+2o−2c−2oc-o^3-oc^2-2o^2+2oc+2o^2c\)

\(−2r=o^2+c^2−2c−2oc-o^3-oc^2-2o^2+2oc+2o^2c\)

\(2c−2r=o^2+c^2-o^3-oc^2-2o^2+2o^2c\)

\(2c−2r=c^2-o^2-o^3-oc^2+2o^2c\)

\(2r-2c=o^2-c^2\)

\(r-c=\frac{o^2-c^2}{2}\)

\(\frac{v_r^2}{c^2}-\frac{v_c^2}{c^2}=\frac{\frac{v_o^4}{c^4}-\frac{v_c^4}{c^4}}{2}\)

\(\frac{v_r^2-v_c^2}{c^2}=\frac{v_o^4-v_c^4}{2c^4}\)

\(v_r^2-v_c^2=\frac{v_o^4-v_c^4}{2c^2}\)

\(v_r+v_c\approx 2v_c\)

\(\Delta v=v_r-v_c=\frac{v_o^4-v_c^4}{4v_cc^2}\) - релятивистская поправка скорости

[Иван Горин]

Скорость американских космических зондов "Вояджер

Мастеров, кто такие "Вояджеры" ?
У американцев были "Пионеры"
И была проблемма уменьшения скорости этих кораблей.
Их скорость измерялась по эффекту Доплера.
Никакой проблеммы не было.
Скорости кораблей не уменьшались.
Корабли попали в другую среду, более разряженную, чем солнечная среда.
И соответственно скорость распространения света в такой среде выше.
И нет никакго парадокса.