Дополнительная задача.
Построить ряд Тейлора для функций \(T_0(a);~~T_1(a);~~T_2(a)\), при максимальном \(n=4\), используя (1) и (2).
\(\displaystyle T(a)=\sum_{k=0}^n \frac{1}{n!} \frac{d^n T}{d a^n}~a^n\).
Буду решать потихоньку. Для начала:
1) сделал читаемым ответ №3 в ветке и добавил там \(A_s\), чтобы формулы не отличались от Ваших и чтобы не ограничиваться черным металлом;
2) ввел сквозную нумерацию в ответах №3 и №7, так что формулы (1) и (2) совпадают с Вашими;
3) исправил потерянный коэффициент при четвертой степени в (2), что все равно не влияло на ответ в разложении в ряд до второй степени по а, а при разложении до четвертой степени будет.
Далее, мне не очень удобно манипулировать с введенными коэффициентами a и b, т.к. b имеет размерность \(T^4\), а a - \(T^{-3}\).
Поэтому переопределим:
B = (\(\frac{b}{2})^\frac{1}{4}=T_a\)
A= (\(\frac{ab}{2})=T_c\),
где \(T_a\) и \(T_с\) - те же, что и в ответе №7 в ветке. Здесь они заменены на B и А для упрощения написания формул и преемственности с b и а. Оба имеют размерность температуры, A<<B, а
\(\alpha=A/B=a(\frac{b}{2})^\frac{3}{4}\) - малый безразмерный параметр, как в ответе №7 - по нему будет удобно раскладывать в ряд Тейлора.
\(\beta=(\frac{dT}{T_0})\) - еще один малый безразмерный параметр (обозначение dT=\(T_1-T_2\) введено в ответе №3).
Задача сводится к разложению \(T_0 ~по ~\alpha,для ~чего~ сначала ~разложим ~ T_0~ по ~ \beta , а~ потом ~\beta ~по~ \alpha \)
Т.к. (1) можно записать в виде
\(2B^4=T_0^4((1+\frac{\beta}{2})^4+(1-\frac{\beta}{2})^4)\),
То (4) переписывается как:
\(T_0=B(1+\frac{3}{2}\beta^2+\frac{1}{16}\beta^4)^{-\frac{1}{4}}=B(1-\frac{3}{8}\beta^2+\frac{43}{128}\beta^4-\frac{375}{1024}\beta^6+O(\beta^8)))\).
Теперь осталось выразить \(\beta~через~\alpha\). Так как \(\beta\) входит в выражение для \(T_0\) только в четной степени, то для для разложения \(T_0\) по \(\alpha\) до второй/третьей степени достаточно того, что \(\beta~=~\alpha+O(\alpha^2)\) (что и было сделано ранее). Для разложения \(T_0\) по \(\alpha\) до пятой степени нужно два члена разложения \(\beta~по~\alpha\), седьмой - три и т.д.
