Уравнение четвёртой степени

[Иван Горин]

Найти корни уравнения:
\(x^4+x^3-2x^2-3x-3=0\)

[Ost]

Найти корни уравнения:
\(x^4+x^3-2x^2-3x-3=0\)

Предполагаем, что это уравнение можно разложить на два множителя
\((a_1~x^2+b_1~x+c_1)(a_2~x^2+b_2~x+c_2)=...\)
Тогда после перемножения получим систему уравнений
\(a_1~a_2=1\)
\(c_1~c_2=-3\)
\(a_1~b_2+a_2~b_1=1\)
\(a_1~c_2+a_2~c_1+b_1~b_2=-2\)
\(b_1~c_2+b_2~c_1=-3\)
Система не полная, однако можно сделать предположение, что \(a_1=1\).
Вероятно коэффициенты целые числа.

Система уравнений в этом случае имеет решение
\(a_1=1\)
\(a_2=1\)
\(b_1=0\)
\(b_2=1\)
\(c_1=-3\)
\(c_2=1\).

Тогда
\(x^4+x^3-2x^2-3x-3=(x^2-3)(x^2+x+1)=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x^2+x+1)\).

Корни уравнения \(x^2+x+1=0\) равны \((i~\sqrt{3}-1)/2\) и \((-i~\sqrt{3}-1)/2\).

Решением уравнения будут четыре корня \((i~\sqrt{3}-1)/2\), \((-i~\sqrt{3}-1)/2\),  \(\sqrt{3}\),  \(-\sqrt{3}\).

[Иван Горин]

Имеется ещё два простых способа решения.

[Andrey_R]

Имеется ещё два простых способа решения.

Одним из простых способов, наверно, считается такой:
\(x^4+x^3-2x^2-3x-3=0\)
\(x^4+x^3+(x^2-3x^2)-3x-3=0\)
\((x^4+x^3+x^2)-(3x^2+3x+3)=0\)
\((x^2+x+1)(x^2-3)=0\)

И тут же получаем то же, что и у Оста. Хотя его способ отличается общностью.