Решить уравнение

[Andrey_R]

\( 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1 \)
\( u=x^2+y \)
\( v=x+y^2 \)
\( 16^u+16^v=1 \)

И продолжение, если лень разбираться в моём варианте решения:
\(16^\frac{u+v}{2}(16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2})=1\)
\(16^{\frac{u+v}{2}+\frac{1}{4}}(\frac{16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2}}{2})=1\)
\(16^{\frac{x^2+y^2+x+y+1/4+1/4}{2}}(\frac{16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2}}{2})=1\)
\(16^{\frac{(x+1/2)^2+(y+1/2)^2}{2}}(\frac{16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2}}{2})=1\)
В моём варианте решения проведены именно эти преобразования, просто представлены чуть в другом виде.
Слева 2 сомножителя, минимум каждого равен 1, т.к. в левом минимум показателя 0, а справа просто гиперболический косинус, который меньше единицы не бывает.
Легко видеть, когда этот минимум достигается.

[severe]

\(16^{\frac{(x+1/2)^2+(y+1/2)^2}{2}}(\frac{16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2}}{2})=1\)
Слева 2 сомножителя, минимум каждого равен 1, т.к. в левом минимум показателя 0, а справа просто гиперболический косинус, который меньше единицы не бывает.
Легко видеть, когда этот минимум достигается.

То есть, если \( x\neq-1/2 \), \( y\neq-1/2 \), то \(16^{\frac{(x+1/2)^2+(y+1/2)^2}{2}}(\frac{16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2}}{2})>1\), и, стало быть, исходное уравнение не выполняется. Плюс.

[Иван Горин]

Тут решений можно разных наделать, но вот, мне кажется, простой и понятный вариант:
Пусть на время для упрощения \(x^2+y=u\), \(y^2+x=v\). Тогда

\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=16^{u}+16^{v}=16^\frac{u+v}{2}(16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2})=\)

\(=2^{2(u+v)}(2^{2(u-v)}+2^{2(v-u)})=2^{2(u+v)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2(x^2+y^2+x+y)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(2ln2(u-v))\)

\(2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}\) принимает минимальное значение при x=y=-1/2 и равно 1/2

a 2ch(2ln2(u-v))  - при u=v, (т.е. x=y или x+y=1) и равно 2

Поэтому всё выражение  \(=2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(2ln2(u-v))\) принимает минимальное значение, равное как раз 1, при x=y=-1/2

Ответ: x=y=-1/2

Посмотрел внимательно пост Андрея.
С минимумом не совсем ясно.
Предлагаю немного другой ход решения без минимального значения.
\(x^2+y=u\), \(y^2+x=v\). Тогда

\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=16^{u}+16^{v}=16^\frac{u+v}{2}(16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2})=\)

\(=2^{2(u+v)}(2^{2(u-v)}+2^{2(v-u)})=2^{2(u+v)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2(x^2+y^2+x+y)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(2ln2(u-v))\)

\(ch(z)=ch(2ln2(u-v))\) примем для упрощения дальнейших записей.
\(2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(z)\)=1
\(4^{((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}4^{1/2}ch(z)\)=1
\(4^{((x+1/2)^2+(y+1/2)^2)}ch(z)\)=1
\(4^{(x+1/2)^2}4^{(y+1/2)^2}ch(z)\)=1
Каждый из сомножителей в левой части больше или равен 1, и для того чтобы получилось равенство с правой частью, каждый из сомножителей должен быть равен 1.
Откуда получаем:
x=y=-1/2
z=0, то есть u=v

До такого решения (метода Андрея с моими поправками) американцы не догадались.
Позже приведу их решение.

[Andrey_R]

Посмотрел внимательно пост Андрея.
С минимумом не совсем ясно.
Предлагаю немного другой ход решения без минимального значения.
\(x^2+y=u\), \(y^2+x=v\). Тогда

\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=16^{u}+16^{v}=16^\frac{u+v}{2}(16^\frac{u-v}{2}+16^\frac{v-u}{2})=\)

\(=2^{2(u+v)}(2^{2(u-v)}+2^{2(v-u)})=2^{2(u+v)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2(x^2+y^2+x+y)}2ch(2ln2(u-v))=\)

\(=2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(2ln2(u-v))\)

\(ch(z)=ch(2ln2(u-v))\) примем для упрощения дальнейших записей.
\(2^{2((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2ch(z)\)=1
\(4^{((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}4^{1/2}ch(z)\)=1
\(4^{((x+1/2)^2+(y+1/2)^2)}ch(z)\)=1
\(4^{(x+1/2)^2}4^{(y+1/2)^2}ch(z)\)=1
Каждый из сомножителей в левой части больше или равен 1, и для того чтобы получилось равенство с правой частью, каждый из сомножителей должен быть равен 1.
Откуда получаем:
x=y=-1/2
z=0, то есть u=v

До такого решения (метода Андрея с моими поправками) американцы не догадались.
Позже приведу их решение.

Всё правильно. Хотя почему "без минимального значения"? В последнем уравнении минимальное значение каждого из трех сомножителей - единица.
Во вчерашнем посте я примерно такие же поправки сделал, чтобы было понятнее, без двоек. Хотя по-существу это решения не меняет.

[Иван Горин]

Решение американцев
\(16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1\)

Применим теорему
для \(a, b\geq 0\)
\(\frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\)
\(a+b\geq 2\sqrt{ab}\)
\(2\sqrt{16^{x^2+y+x+y^2}}\leq 1\)
\(4^{(x^2+y^2+x+y)}2\leq 1\)
\(4^{((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}2\leq 1)\)
\(4^{((x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2)}4^{1/2}\leq1\)
\(4^{((x+1/2)^2+(y+1/2)^2)} \leq 1\)
\(4^{(x+1/2)^2}4^{(y+1/2)^2}\leq 1\)
Каждый из сомножителей в левой части не может быть меньше 1, так как показатели степеней неотрицательны и остаётся только знак равенства.
То есть показатели степеней равны 0.
Откуда получаем:
x=y=-1/2

[Иван Горин]

Север, ты удалил своё последнее сообщение?
Я не удалял.
А неравенство Коши формулируется так:
Для любых неотрицательных чисел среднее арифметическое больше или равно средне геометрическому.
А неотрицательные числа это числа \(\geq 0\)
\(a,b >0\) это тоже неотрицательные числа.