Ещё два неравенства.
\((2,3)^{\pi }\vee \pi ^{(2,3)}\)
\((2,4)^{\pi }\vee \pi ^{(2,4)}\)
Для \(a^{b }\vee b ^{a}\) при a<e<b в общем случае без калькулятора не обойтись. Но в этом конкретном примере как раз можно.
Вот вариант решения.
Например, мы знаем, что ln(2)/2=ln(4)/4=ln(2*2)/(2*2).
Можно поискать другие случаи, когда ln(x)/x=ln((1+d)*x)/((1+d)*x). Такие, чтобы x было близко к 2,3 или 2,4 , а (1+d)x - к пи.
тогда \(\frac{\ln{x}}{x}=\frac{\ln{((1+d)x)}}{(1+d)x}\)
\((1+d)\ln{x}=\ln{(1+d)}+\ln{x}\)
\(\ln{x}=\frac{\ln{(1+d)}}{d}\)
\(x=(1+d)^{1/d}\),
a \(y==(1+d)x=(1+d)^{1+1/d}\)
Из известных школьных формул для числа e мы знаем, что для любого положительного d
\(x=(1+d)^{1/d} < e < (1+d)^{1+1/d}\) и при d->0 левая и правая части стремятся к e.
Для решения задачки надо повыбирать такие d, чтобы обойтись без калькулятора (например d=1/n, n=1,2...)
Тогда \(x=(1+1/n)^{n}\), \(y=(1+1/n)^{n+1}\) и для любых n (в том числе и не целых) \(\frac{\ln{x}}{x}=\frac{\ln{y}}{y}\)
При n=1 получаем x=2, y=4 , \((2^4=4^2)\),
при n=2 - \(x=\frac{3}{2}^2=\frac{9}{4}=2\frac{1}{4}\), \(y=\frac{3}{2}^3=\frac{27}{8}=3\frac{3}{8}\) , \((9/4)^{27/8}=(27/8)^{9/4}\),
при n=3 - \(x=\frac{4}{3}^3=\frac{64}{27}=2\frac{10}{27}\), \(y=\frac{4}{3}^4=\frac{256}{81}=3\frac{13}{81}\) , \((64/27)^{256/81}=(256/81)^{64/27}\)
Видим, что \(2,3 < 2\frac{10}{27} < 2,4 < e < \pi <3\frac{13}{81}\)
Отсюда сразу \(\frac{\ln{2,3}}{2,3} < \frac{\ln{\pi}}{\pi}\) -> \( 2,3^{\pi} < \pi^{2,3}\)
Кроме того (например, при при n=1,2,3...) видно, что \(f=\frac{\ln{x}}{x}\) слева от x=e меняется быстрее, чем справа.
При этом \(2\frac{10}{27} < 2,4 < e < \pi <3\frac{13}{81}\),
\(2,4-2\frac{10}{27} = \frac{2}{5} - \frac{10}{27}= \frac{4}{135} > \frac{1}{35}\),
\(3\frac{13}{81} - \pi < 0,161 - (\pi-3) < 0,02 = \frac{1}{50} \)
Отсюда получаем, что \(\frac{\ln{2,4}}{2,4} - \frac{\ln{\frac{64}{27}}}{\frac{64}{27}} > \frac{\ln{\pi}}{\pi} - \frac{\ln{\frac{256}{243}}}{\frac{256}{243}} \) -> \(\frac{\ln{2,4}}{2,4} > \frac{\ln{\pi}}{\pi}\) -> \( 2,4^{\pi} > \pi^{2,4}\)
