Решить уравнение (x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=1680

[Иван Горин]

Решить уравнение при помощи удобного способа замены
\((x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=1680\)

[Andrey_R]

Решить уравнение при помощи удобного способа замены
\((x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=1680\)

Замена y=x+5,5:
\((y-1/2)(y-3/2)(y+1/2)(y+3/2)=1680\)
\((y^2-1/4)(y^2-9/4)=1680\) - биквадратное уравнение
Решаем относительно \(y^2\), выбираем положительный корень \(y^2=169/4\)
\(y=\pm13/2\)

\(x={-12; 1}\)

[Иван Горин]

Замена y=x+5,5:
\((y-1/2)(y-3/2)(y+1/2)(y+3/2)=1680\)
\((y^2-1/4)(y^2-9/4)=1680\) - биквадратное уравнение
Решаем относительно \(y^2\), выбираем положительный корень \(y^2=169/4\)
\(y=\pm13/2\)

\(x={-12; 1}\)

Верно. Удачная замена, использовав среднее арифметическое чисел 4 5 6 7. Плюс в карму.

Есть способ и без замены.
(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=1680
5*6*7*8=1680
То есть \(x_1=1\).
И в обратном порядке сомножителей со знаком минус.
x+4=-8
\(x_2=-12\)
(-12+4)(-12+5)(-12+6)(-12+7)=1680
(-8)(-7)(-6)(-5)=1680
Больше действительных корней нет.