Что больше? В радикалах степеней

[Иван Горин]

Сравнить
\(3^{\sqrt{2} }\vee 2 ^{\sqrt{3}}\)

[Andrey_R]

Сравнить
\(3^{\sqrt{2} }\vee 2 ^{\sqrt{3}}\)

Если вспомнить решение предыдущих задачек, где нужно было сравнить \(\frac{\ln{x}}{x} и \frac{\ln{y}}{y}\) и для этого найти максимум  \(\frac{\ln{x}}{x}\), то здесь нужно искать максимум \(\frac{\ln{x}}{\sqrt{x}}\).
А он достигается здесь при \(x=e^2\).
Значит если основание и показатель оба меньше или оба больше e² , то больше будет та степень, где основание будет ближе к e².
В нашем случае \(3^{\sqrt{2} } >  2 ^{\sqrt{3}}\)

Хотя, конечно, в этой задаче это и так видно (левое  значение, очевидно, больше 4, а правое меньше).

[Иван Горин]

Если вспомнить решение предыдущих задачек, где нужно было сравнить \(\frac{\ln{x}}{x} и \frac{\ln{y}}{y}\) и для этого найти максимум  \(\frac{\ln{x}}{x}\), то здесь нужно искать максимум \(\frac{\ln{x}}{\sqrt{x}}\).
А он достигается здесь при \(x=e^2\).
Значит если основание и показатель оба меньше или оба больше e² , то больше будет та степень, где основание будет ближе к e².
В нашем случае \(3^{\sqrt{2} } >  2 ^{\sqrt{3}}\)

Хотя, конечно, в этой задаче это и так видно (левое  значение, очевидно, больше 4, а правое меньше).

Ответ правильный.
Но последнее утверждение не очевидно для левой части.
Его надо доказать.
\(3^{\sqrt{2} } >  4\)
И тогда не надо применять производные.

[Andrey_R]

Ответ правильный.
Но последнее утверждение не очевидно для левой части.
Его надо доказать.
\(3^{\sqrt{2} } >  4\)
И тогда не надо применять производные.

Ну как же не очевидно? Например,
\(3^{\sqrt{2} } >  3^{4/3} = 3*3^{1/3} > 3*4/3=4\)

Первый знак ">" верен, т.к. \((\sqrt{2})^2=2  > 16/9 = (4/3)^2\), а второй - т.к.
\((3^{1/3})^3 = 3 > 64/27 = (4/3)^3\)
А производная взята, т.к. с  помощью этого получается решение для целого класса таких задачек.

[Иван Горин]

Ну как же не очевидно? Например,
\(3^{\sqrt{2} } >  3^{4/3} = 3*3^{1/3} > 3*4/3=4\)

Первый знак ">" верен, т.к. \((\sqrt{2})^2=2  > 16/9 = (4/3)^2\), а второй - т.к.
\((3^{1/3})^3 = 3 > 64/27 = (4/3)^3\)
А производная взята, т.к. с  помощью этого получается решение для целого класса таких задачек.

Очевидно после приведённого доказательства.

Есть и другой метод доказательства:
\(3^{\sqrt{2} } >  4\)
Возведём обе части в \(\sqrt{2} \)
\(3^2 >  4^{\sqrt{2}} \)
\(9 >  4^{\sqrt{2}} \)
\( 4^{\sqrt{2}} <4^{\sqrt{2,25}}=4^{1,5}=4^{\frac{3}{2}}=2^3=8\)
\(9>8\), значит \(3^{\sqrt{2} } >  4\)

Имеется решение проще.
Для школьников, которые не изучали производные, но знакомые с логарифмами.
Простое решение исходного неравенства в четыре строчки. Без предположений < или > 4.
Кто решит первым получает три сладкие конфетки.

[Andrey_R]

Очевидно после приведённого доказательства.

Есть и другой метод доказательства:
\(3^{\sqrt{2} } >  4\)
Возведём обе части в \(\sqrt{2} \)
\(3^2 >  4^{\sqrt{2}} \)
\(9 >  4^{\sqrt{2}} \)
\( 4^{\sqrt{2}} <4^{\sqrt{2,25}}=4^{1,5}=4^{\frac{3}{2}}=2^3=8\)
\(9>8\), значит \(3^{\sqrt{2} } >  4\)

Имеется решение проще.
Для школьников, которые не изучали производные, но знакомые с логарифмами.
Простое решение исходного неравенства в четыре строчки. Без предположений < или > 4.
Кто решит первым получает три сладкие конфетки.

Ну, например, вот:

\(3^{\sqrt{2} }\vee 2 ^{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{2}\log_2{3}\vee {\sqrt{3}}\)
\(\log_2{3}\vee \sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(\log_2{3} >  \log_2{\sqrt{8}}=\frac{3}{2}>\sqrt{\frac{3}{2}}\)

[Иван Горин]

Ну, например, вот:

\(3^{\sqrt{2} }\vee 2 ^{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{2}\log_2{3}\vee {\sqrt{3}}\)
\(\log_2{3}\vee \sqrt{\frac{3}{2}}\)
\(\log_2{3} >  \log_2{\sqrt{8}}=\frac{3}{2}>\sqrt{\frac{3}{2}}\)

Отлично, даже в три строчки уложился.

У меня решение сложнее, в четыре строчки.
\(3^{\sqrt{2} }\vee 2 ^{\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{2}\ln{3}\vee \sqrt{3}\ln{2}\)
\((2\ln{3})\ln{3}\vee (3\ln{2})\ln{2}\)
\(\ln{9}\ln{3}\vee \ln{8}\ln{2}\)

\(\frac{\ln{9}}{\ln{8}}>\frac{\ln{2}}{\ln{3}} \)