Сокращение дробей в уравнении превращает его в неравенство. Пример.

[severe]

Неверно.
Подлог.
Правильно:

\( \sqrt {1}=\sqrt {1} \)

\( \sqrt {(-1)^2}\neq \sqrt {1^2} \)
\( (-1)^2=1 \)
\( 1^2=1 \)
\( \sqrt 1\neq \sqrt 1 \)

[---]

\( \sqrt {(-1)^2}\neq \sqrt {1^2} \)
\( (-1)^2=1 \)
\( 1^2=1 \)

Верно.

\( \sqrt 1\neq \sqrt 1 \)

Неверно.
Подлог..
Правильно:

\( \sqrt 1= \sqrt 1 \)

[severe]

Неверно.
Подлог..
Правильно:

\( \sqrt 1= \sqrt 1 \)

Возведение в квадрат подкоренных выражений в неравенстве
\( \sqrt {(-1)^2}\neq \sqrt {1^2} \)
превращает неравенство в тождество
\( \sqrt 1= \sqrt 1 \) ?

[---]

Возведение в квадрат подкоренных выражений в неравенстве
\( \sqrt {(-1)^2}\neq \sqrt {1^2} \)
превращает неравенство в тождество
\( \sqrt 1= \sqrt 1 \) ?

Неверно.
Подлог
Возведение в квадрат подкоренных выражений в неравенстве
\( \sqrt {(-1)^2}\neq \sqrt {1^2} \)
превращает неравенство в тождество
1 = 1

[severe]

Неверно.
Подлог
Возведение в квадрат подкоренных выражений в неравенстве
\( \sqrt {(-1)^2}\neq \sqrt {1^2} \)
превращает неравенство в тождество
1 = 1

Будем работать с этим тождеством.
\( 1=1 \)
\( 1^2=1^2 \)
\( (-1)^2=1^2 \)
\( \sqrt {(-1)^2}=\sqrt {1^2} \)

[---]

Будем работать с этим тождеством.
\( 1=1 \)
\( 1^2=1^2 \)
\( (-1)^2=1^2 \)

Верно

\( \sqrt {(-1)^2}=\sqrt {1^2} \)

Неверно.
Подлог.
Правильно

\( \sqrt {(-1)^2}=-1 \)
\( \sqrt {(1)^2}=1 \)

-1 ≠ 1

[severe]

Неверно.
Подлог.
Правильно

\( \sqrt {(-1)^2}=-1 \)
\( \sqrt {(1)^2}=1 \)

-1 ≠ 1

Значение квадратного корня \( \sqrt {(-1)^2} \) это по определению число, возведение которого в квадрат даёт \( (-1)^2 \).
Возведём \( 1 \) в квадрат \( 1^2=(-1)^2 \).
Таким образом \( 1 \) является значением квадратного корня \( \sqrt {(-1)^2} \). Одним из значений, второе значение \( -1 \).

[---]

Значение квадратного корня \( \sqrt {(-1)^2} \) это по определению число, возведение которого в квадрат даёт \( (-1)^2 \).

Верно.

Возведём \( 1 \) в квадрат \( 1^2=(-1)^2 \).

Все так.

Таким образом \( 1 \) является значением квадратного корня \( \sqrt {(-1)^2} \).

Не верно.
Подлог.
У  \( \sqrt {(-1)^2} \) есть только одно значение ... (-1)

[severe]

\( 1^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}} \)
\( 1^{\frac{1}{2}}=-(-1)\cdot 1^{\frac{1}{2}} \)
\( 1^{\frac{1}{2}}=-(-1)^1\cdot 1^{\frac{1}{2}} \)
\( 1^{\frac{1}{2}}=-(-1)^{\frac{2}{2}}\cdot 1^{\frac{1}{2}} \)
\( 1^{\frac{1}{2}}=-((-1)^2)^{\frac{1}{2}}\cdot 1^{\frac{1}{2}} \)
\( 1^{\frac{1}{2}}=-((-1)^2\cdot 1)^{\frac{1}{2}} \)
\( 1^{\frac{1}{2}}=-(1\cdot 1)^{\frac{1}{2}} \)
\( 1^{\frac{1}{2}}=-1^{\frac{1}{2}} \)

Противоречия нет, поскольку \( 1^{\frac{1}{2}}=\pm1 \).
\( \pm1=\pm1 \)
\( \pm1=-(\mp1) \)

[severe]

Верно.
Все так.
Не верно.
Подлог.
У  \( \sqrt {(-1)^2} \) есть только одно значение ... (-1)

Нехорошо. С определением значения квадратного корня согласились. А со значением квадратного корня по определению не согласились.

[---]

..А со значением квадратного корня по определению не согласились.

Пфф..
Если бы вы не указали что именно возводите в квадрат, а именно МИНУСЕДИНЦУ, я бы не возражал.
Но, вы смухлевали.
Вы возвели в квадрат МИНУСЕДИНИЦУ, а извлекали корениь из квадрата ПЛЮСЕДИНИЦЫ.
Понятно, что большинство не заметят мухлежа.
Я вижу сразу..

[severe]

Пфф..
Если бы вы не указали что именно возводите в квадрат, а именно МИНУСЕДИНЦУ, я бы не возражал.
Но, вы смухлевали.
Вы возвели в квадрат МИНУСЕДИНИЦУ, а извлекали корениь из квадрата ПЛЮСЕДИНИЦЫ.
Понятно, что большинство не заметят мухлежа.
Я вижу сразу..

По-Вашему, уравнение \( x^2=(-1)^2 \) имеет всего один корень \( x=-1 \)?
"квадратный корень из числа \( a \) — решение уравнения \( x^2 = a \)"
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C

[Иван Горемыкин]

По-Вашему, уравнение x2=(−1)2 имеет всего один корень x=−1?

Я уже писал, что число - "1" уникально и таки да, (−1)² имеет всего один корень, равный 1

[---]

По-Вашему, уравнение \( x^2=(-1)^2 \) имеет всего один корень \( x=-1 \)?

Не верно.
Подлог.
Правильно:
 \( x^2=(-1)^2 = 1 \)

x=+-1

[severe]

Не верно.
Подлог.
Правильно:
 \( x^2=(-1)^2 = 1 \)

x=+-1

Если, по-Вашему, уравнение \( x^2=(-1)^2 \) имеет два корня \( x=\pm1 \), то зачем Вы утверждали, что квадратный корень из \( (-1)^2 \) имеет всего одно значение \( x=-1 \)?

[---]

... зачем Вы утверждали, что квадратный корень из \( (-1)^2 \) имеет всего одно значение \( x=-1 \)?

Затем, что это не уравнение, а выражение..

[severe]

Затем, что это не уравнение, а выражение..

квадратный корень из \( (-1)^2 \) — решение уравнения \( x^2 = (-1)^2 \)

[---]

квадратный корень из \( (-1)^2 \) — решение уравнения \( x^2 = (-1)^2 \)

Нет.
Решение уравнения
\( x^2 = (-1)^2 = 1 \)

x = +- 1

[severe]

Нет.
Решение уравнения
\( x^2 = (-1)^2 = 1 \)

x = +- 1

"квадратный корень из числа \( a \) — решение уравнения \( x^2 = a \)"
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%8C

[---]

"квадратный корень из числа \( a \) — решение уравнения \( x^2 = a \)"

Это не относится к значению выражения sqrt((-1)²)..
Здесь нет неизвестного, которое нужно найти, и выбрать из двух..
Ответ уже дан ...(-1)