yakiniku: "Ищите ошибку в моём доказательстве..."
Искать не надо: ошибка – на поверхности!
На уровне дифференциального уравнения движения осциллятора (ньютонова силового баланса), имеющего вид
md²х/dt²+kx=F(t),
различия между ньютоновой и лагранжевой механикой формально нет, а, по существу, оно лишь скрыто. Причём у Ландау такое формальное соответствие достигается в следующей логической последовательности:
1) из принципа наименьшего действия следует функция Лагранжа осциллятора в виде
L=(m/2)(dх/dt)²–kx²/2+хF(t) или L=mv²/2–kx²/2+хF(t),
где внешнее воздействие на осциллятор учтено введением, в дополнение к потенциальной энергии kx²/2, также «потенциальной энергии –хF(t)», отчего полная энергия осциллятора становится равной
Е=v(∂L/∂v)–L=mv–mv²/2+kx²/2–хF(t)=mv²/2+kx²/2–хF(t);
2) из уравнения Лагранжа в частных производных
(d/dt)(∂L/∂v)–∂L/∂х=0 следует
(d/dt)mv+kx–F(t)=0 или mdv/dt+kx–F(t)=0, т.е. md²х/dt²+kx–F(t)=0.
Последняя запись уравнения Лагранжа для осциллятора (в трактовке Ландау) математически кажется эквивалентной вышеприведённому дифференциальному уравнению в виде ньютонова силового баланса md²х/dt²+kx=F(t). Но физический смысл у этих двух записей различный. Более того, сама математика, в каждом из двух случаев, подразумевается разная. В классическом математическом анализе просто немыслимы такие «вольности», как признание «независимыми» друг от друга функции времени х(t) и производной по времени dх(t)/dt, входного воздействия F(t) и реакции на него х(t). Наконец, совсем уж абсурдной выглядит «независимость» указанных выше функций времени … от времени!
Что же получается в итоге? Ньютонов силовой баланс – это неоднородное дифференциальное уравнение, с правой частью в виде внешней силы F(t). Тогда как уравнение Лагранжа осциллятора (в трактовке Ландау) представляет собой баланс внутренних (точнее, приведённых к внутренним) сил осциллятора в виде дифференциального уравнения с нулевой правой частью. Эти различия, при формально одной и той же записи уравнения движения, приводят к разным величинам энергии динамической системы.
В отличие от того, как подсчитывал энергию осциллятора Ландау (на основе принципа наименьшего действия), в ньютоновой механике энергия системы подсчитывается не до, а после решения уравнения движения, путём интегрирования силового баланса по пути движения системы (в данном случае по координате х). Тем самым, силовой баланс математически корректно преобразуется в энергетический баланс (левая часть – энергия системы, правая – работа внешней силы):
Е=mv²/2+kx²/2=∫F(t)dх=А.
Во избежание недоразумений сразу уточним, что интеграл имеется в виду, конечно же, определённый, с нулевым нижним и (для общности решения) переменным верхним пределом. При этом, при вычислении работы внешней силы удобно интегрирование по координате заменять интегрированием по времени, пользуясь формулой:
∫F(t)dх=∫F(t)(dх/dt)dt.
И, что удивительно, формула для энергии осциллятора, получаемая интегрированием ньютонова силового баланса по координате, также приводится в «Механике» Ландау-Лифшица (формула 22.11 на с.85):
Е=mv²/2+mω²x²/2, где mω²=k – коэффициент жёсткости возвратного механизма при резонансе.
Тем не менее, авторы учебного пособия для студентов физических специальностей университетов никак не комментируют возникшее явное «разногласие» между ньютоновой и лагранжевой механикой. Восполним этот «пробел».
Выбирать, какое из двух решений задачи об осцилляторе (в части энергетических характеристик системы) истинное, а какое ошибочное, не приходится. Решение, даваемое ньютоновой механикой, давно и безоговорочно общепризнано в качестве истинного. А ошибочность решения, получаемого на основе принципа наименьшего действия, объясняется слишком большим количеством ничем не обоснованных допущений, принимаемых по ходу решения задачи.
Прежде всего, задача об осцилляторе одномерна, т.е. искомая переменная, координата в виде функции времени х(t), здесь всего одна. Других, независимых от неё переменных величин, в этой задаче нет. Значит, нет и объективных оснований для применения аппарата частных производных, следовательно, и аппарата лагранжианов-гамильтонианов, следовательно, и самогó принципа наименьшего действия. Субъективное желание авторов пособия непременно применить этот аппарат и привело их к ошибке. На уровне силового баланса «подогнать» своё решение под известный из ньютоновой механики результат удалось. А вот привести энергетику системы в полное соответствие с ньютоновым решением задачи оказалось невозможно.
Дело остаётся «за малым»: признать и исправить допущенную ошибку!
