Архив тем Ф.Менде.

[Фёдор Менде]

Это случилось ещё и потому, что, начиная рассматривать этот вопрос, Ландау  ввёл определения диэлектрической проницаемости только для статических полей, но не ввёл такого определения для переменных полей. Введём такое определение.
       Если рассмотреть любую среду, в том числе и  плазму, то переменная плотность токов (в дальнейшем будем сокращённо говорить просто ток) будет определяться тремя составляющими, зависящими от электрического поля. Ток резистивных потерь будет синфазен электрическому полю. Ёмкостной ток, определяемый первой производной электрического поля по времени, будет опережать напряженность электрического поля по фазе на \(\frac{\pi }{2}\) . Этот ток  называется током смещения.  Ток проводимости, определяемый интегралом от электрического поля по времени, будет отставать от  электрического поля по фазе на \(\frac{\pi }{2}\) .  Все три указанные составляющие тока и будут входить во второе уравнение Максвелла и других составляющих токов быть не может. Причём все эти три составляющие токов будут присутствовать в любых немагнитных средах, в которых имеются тепловые потери.  Поэтому вполне естественно, диэлектрическую проницаемость любой среды определить как коэффициент, стоящий перед тем членом, который определяется производной электрического поля по времени во втором уравнении Максвелла. При этом следует учесть, что диэлектрическая проницаемость не может быть отрицательной величиной. Это связано с тем, что через этот параметр определяется энергия электрических полей, которая может быть только положительной.
      Не введя такого чёткого определения диэлектрической проницаемости, Ландау и начинает рассмотрение поведения плазмы в переменных электрических полях. При этом он не выписывает отдельно ток смещения и ток проводимости, один из которых определяется производной, а другой интегралом, а записывает их через единый коэффициент. Делает он это по той причине, что в случае гармонических колебаний вид функций, определяющих и производную и интеграл, одинаков, а отличаются эти функции лишь знаком. Производя такую операцию, Ландау  не понимает, что в случае гармонических электрических полей в плазме существуют два различных тока, один из которых является током смещения, и определяется диэлектрической проницаемостью вакуума и производной от электрического поля. Другой ток является током проводимости и определяется удельной кинетической индуктивностью и интегралом от электрического поля. Причём эти два тока противофазны. А поскольку оба тока зависят от частоты, причём один из них зависит от частоты линейно, а другой обратно пропорционально частоте, то между ними имеет место конкуренция. При низких частотах преобладает ток проводимости,  при высоких, наоборот, преобладает ток смещения. В случае же равенства этих токов, что имеет место на плазменной частоте, имеет место резонанс токов.
     Подчеркнём, что с математической точки зрения, так как поступил Ландау, поступать  можно, но при этом теряется постоянная интегрирования, которая необходима для учёта начальных условий при решении интегродифференциального уравнения, определяющего плотность тока в среде.
Очевидность допущенной ошибки видна и на другом примере.
      Соотношение (2.7) можно переписать ещё и так:
\({\vec j_\Sigma } =  - {\frac{{\left( {\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} - 1} \right)}}{{\omega L}}_{}}{\vec E_0}\cos \omega t\)
и ввести другой математический символ
\(L*(\omega ) = \frac{{{L_k}}}{{\left( {\frac{{{\omega ^2}}}{{\omega _0^2}} - 1} \right)}} = \frac{{{L_k}}}{{{\omega ^2}{L_k}{\varepsilon _0} - 1}}\)   .
В данном случае также возникает соблазн назвать эту величину зависящей от частоты кинетической индуктивностью.
     Таким образом, можно записать:
\({\vec j_\Sigma } = \omega \varepsilon *{(\omega )_{}}{\vec E_0}\cos \omega t\) ,
или
\({\vec j_\Sigma } =  - {\frac{1}{{\omega L*(\omega )}}_{}}{\vec E_0}\cos \omega t\)  .
Но это всего лишь символическая математическая запись одного и того же соотношения (2.7). Оба уравнения эквивалентны. Но с физической точки зрения ни \(\varepsilon *(\omega )\) , ни \(L*(\omega )\)  диэлектрической проницаемостью или индуктивностью не являются. Физический смысл их названий заключается в следующем:
\(\varepsilon *(\omega ) = \frac{{{\sigma _X}}}{\omega }\)  ,
т.е. \(\varepsilon *(\omega )\)   представляет суммарную реактивную проводимость среды, деленную на частоту, а
\({L_k}*(\omega ) = \frac{1}{{\omega {\sigma _X}}}\)
 представляет обратную величину произведения частоты и реактивной проводимости среды.

[Фёдор Менде]

      Как нужно поступать, если в нашем распоряжении имеются величины \(\varepsilon *(\omega )\)  и \(L*(\omega )\) , а нам необходимо вычислить удельную энергию. Естественно подставлять эти величины в формулы, определяющие энергию электрических полей
\({W_E} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}E_0^2\)
и кинетическую энергию носителей зарядов
 \({W_j} = \frac{1}{2}{L_k}j_0^2\) ,    (2.8)
нельзя просто потому, что эти параметры не являются ни диэлектрической проницаемостью, ни индуктивностью. Нетрудно показать, что в этом случае полная удельная энергия может быть получена из соотношения
 \({W_\sum } = \frac{1}{2} \cdot \frac{{d\left( {\omega \varepsilon *(\omega )} \right)}}{{d\omega }}E_0^2\)  ,   (2.9)                                         
откуда получаем
\({W_\Sigma } = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}E_0^2 + {\frac{1}{2}_{}}{\frac{1}{{{\omega ^2}{L_k}}}_{}}E_0^2 = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}E_0^2 + \frac{1}{2}{L_k}j_0^2\)  .
Тот же результат получим, воспользовавшись формулой
\(W = {\frac{1}{2}_{}}{\frac{{d\left[ {\frac{1}{{\omega {L_k}*(\omega )}}} \right]}}{{d\omega }}_{}}E_0^2\) .

Приведенные соотношения показывают, что удельная энергия состоит из потенциальной энергии электрических полей и кинетической энергии носителей зарядов.
      При рассмотрении любых сред нашей конечной задачей является нахождение волнового уравнения. В данном случае эта задача уже практически решена.  Уравнения Максвелла для рассмотренного случая имеют вид:
\(\begin{array}{l}
ro{t_{}}\vec E =  - {\mu _0}\frac{{{\partial _{}}\vec H}}{{{\partial _{}}t}},\\
ro{t_{}}\vec H = {\varepsilon _0}\frac{{{\partial _{}}\vec E}}{{{\partial _{}}t}} + \frac{1}{{{L_k}}}\int {{{\vec E}_{}}dt}
\end{array}\)  ,                                  (2.10)
где   – диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума.
Система уравнений  (2.10) полностью описывает все свойства бездиссипативных проводников. Из неё получаем
\(ro{t_{}}ro{t_{}}\vec H + {\mu _0}{\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^2}\vec H}}{{{\partial _{}}{t^2}}} + \frac{{{\mu _0}}}{{{L_k}}}\vec H = 0\) .                                   (2.11)
Для случая полей, не зависящих от времени, уравнение (2.11) переходит в уравнение Лондонов [12]
\(ro{t_{}}ro{t_{}}\vec H + \frac{{{\mu _0}}}{{{L_k}}}\vec H = 0\)  ,
где \({\lambda _L}^2 = \frac{{{L_k}}}{{{\mu _0}}}\) – лондоновская глубина проникновения.
     Таким образом, можно заключить, что уравнения Лондонов являясь частным случаем уравнения  (2.11), и не учитывают токов смещения в  среде.  Поэтому они не дают возможности получить волновые уравнения, описывающие процессы распространения электромагнитных волн в идеальных проводниках.
      Для электрических полей волновое уравнение в этом случае выглядит следующим образом:
\(ro{t_{}}ro{t_{}}\vec E + {\mu _0}{\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^2}\vec E}}{{{\partial _{}}{t^2}}} + \frac{{{\mu _0}}}{{{L_k}}}\vec E = 0\) .
Для постоянных электрических полей можно записать
\(ro{t_{}}ro{t_{}}\vec E + \frac{{{\mu _0}}}{{{L_k}}}\vec E = 0\) .
Следовательно, постоянные электрические поля проникают в сверхпроводник таким же образом, как и магнитные, убывая по экспоненциальному закону. Плотность же тока при этом растёт по линейному закону
\({\vec j_L} = \frac{1}{{{L_k}}}\int {{{\vec E}_{}}dt} \) .
      Проведенное рассмотрение показало, что диэлектрическая проницаемость данной среды равна диэлектрической проницаемости вакуума и эта проницаемость от частоты не зависит. Этому параметру обязано накопление в среде потенциальной энергии. Кроме того, такую среду характеризует ещё и кинетическая индуктивность носителей зарядов и этот параметр ответственен за накопление кинетической энергии.
      Таким образом, получены все необходимые данные, характеризующие процесс распространения электромагнитных волн в рассмотренных проводящих средах. Однако  в отличие от общепринятой методики [2-4]    при таком рассмотрении нигде не вводился вектор поляризации, а в основу рассмотрения положено уравнение движения и при этом во втором уравнении Максвелла выписываются все составляющие плотностей токов в явном виде.

[Дмитрий Мотовилов]

Критерием квалификации учёного является количество опубликованных статей и индексированных в SCOPUS или РИНЦ. Приведите список опубликованных вами статей, исключая те, которые опубликованы вами в журнале Техника молодёжи.

Фёдор, тут форум. Вы ведь хотел сам решать с Абрамовичем, кто есть учёный. И кто достоин участвовать в форуме и обсуждать ваши новации.
Я предложил другой вариант членства. См. :

Модератор Абрамович предложил отсеивать участников форума согласно своему мнению о научной компетентности и желанию Менде. Я не согласен.

Дело в том, что по определению ни Менде, как предвзятый автор тем, ни тем более Абрамович, известный лично мне много лет как недостаточно компетентный в науке, не могут объективно судить, кто тут компетентен, а кто нет. Они даже критериев не приводят.
Поэтому я лишаю их своего доверия определять, кто есть кто.
Взамен предлагаю объективный ценз для участника:
1. Размещение полного имени (ФИО)
2. Размещение творческой биографии (история получения образования в поле тем форума)
3. Перечень и приложение ссылок работ - публикаций и изобретений
4. Перечень и приложение апробаций - актов одобрения работ (наград, благодарностей, дипломов и заключений авторитетных научных и правительственных организаций и форумов/конференций/конкурсов/выставок)

[Фёдор Менде]

    3. Физические и методологические ошибки в трудах Ландау

      На примере работы [2]  рассмотрим вопрос о том, каким образом решаются подобные задачи, когда для их решения вводится понятие вектора поляризации. Параграф 59 этой работы, где рассматривается этот  вопрос, начинается словами: «Мы переходим теперь к изучению важнейшего вопроса о быстропеременных электрических полях, частоты которых не ограничены условием малости по сравнению с частотами, характерными для установления электрической и магнитной поляризации вещества» (конец цитаты). Эти слова означают, что  рассматривается та область частот, где в связи с наличием инерционных свойств  носителей зарядов поляризация вещества в переменных полях не будет достигать своего статического значения. При дальнейшем рассмотрении вопроса делается заключение, что «в любом переменном поле, в том числе при наличии дисперсии вектор поляризации \(\vec P = \vec D - {\varepsilon _0}\vec E\)  (здесь и далее все цитируемые формулы  записываются в системе СИ) сохраняет свой физический смысл электрического момента единицы объёма вещества» (конец цитаты). Приведём ещё одну цитату: «Оказывается возможным установить справедливый для любых тел (безразлично – металлов или диэлектриков) предельный вид функции \(\varepsilon (\omega )\) при больших частотах. Именно частота поля должна быть велика по сравнению с «частотами» движения всех (или, по крайней мере, большинства) электронов в атомах данного вещества. При соблюдении этого условия можно при вычислении поляризации вещества рассматривать электроны как свободные, пренебрегая их взаимодействием друг с другом и с ядрами атомов» (конец цитаты).
      Далее, как это сделали и мы,  записывается уравнение движения свободного электрона в переменном электрическом поле
\(m\frac{{d\vec v}}{{dt}} = e\vec E\) ,
откуда находится его смещение
\(\vec r =  - \frac{{e\vec E}}{{m{\omega ^2}}}\) .
Затем  говорится, что поляризация    есть дипольный момент единицы объёма и полученное смещение вставляется в поляризацию
\(\vec P = ne\vec r =  - \frac{{n{e^2}\vec E}}{{m{\omega ^2}}}\) .
В данном случае рассматривается точечный заряд, и эта операция означает введение электрического дипольного момента для двух точечных зарядов с противоположными знаками, расположенными на расстоянии \(\vec r\) 
\({\vec p_e} =  - e\vec r\) ,
где вектор \(\vec r\) направлен от положительного заряда к отрицательному. Этот шаг вызывает недоумение, поскольку рассматривается  точечный электрон, и чтобы говорить об электрическом дипольном моменте, нужно иметь в этой среде для каждого электрона парный заряд противоположного знака, отнесённый от него на расстояние  .  В данном же случае рассматривается газ свободных электронов, в котором отсутствуют заряды противоположных знаков. Далее следует стандартная процедура, когда введённый таким незаконным способом вектор поляризации вводится в диэлектрическую проницаемость
\(\vec D = {\varepsilon _0}\vec E + \vec P = {\varepsilon _0}\vec E - \frac{{n{e^2}\vec E}}{{m{\omega ^2}}} = {\varepsilon _0}\left( {1 - \frac{1}{{{\varepsilon _0}{L_k}{\omega ^2}}}} \right)\vec E\)  ,
а поскольку плазменная частота определяется соотношением
\({\omega _p}^2 = \frac{1}{{{\varepsilon _0}{L_k}}}\) ,
сразу записывается вектор индукции
\(\vec D = {\varepsilon _0}\left( {1 - \frac{{{\omega _p}^2}}{{{\omega ^2}}}} \right)\vec E\) .
При таком подходе получается, что коэффициент пропорциональности
\(\varepsilon (\omega ) = {\varepsilon _0}\left( {1 - \frac{{{\omega _p}^2}}{{{\omega ^2}}}} \right)\) ,
между электрическим полем  и электрической индукцией, незаконно названный  диэлектрической проницаемостью, зависит от частоты.
      Именно такой подход и привёл к тому, что  все начали считать, что величина, стоящая в этом соотношении перед вектором электрического поля, есть зависящая от частоты диэлектрическая проницаемость, и электрическая индукция, в свою очередь, тоже зависит от частоты.  И об этом  говорится во всех, без исключения, фундаментальных работах по электродинамике материальных сред [2-6].
      Но, как было показано выше этот параметр не является диэлектрической проницаемостью, а  представляет суммарную реактивную проводимость среды, деленную на частоту. Таким образом, традиционный подход к решению данной задачи с физической точки зрения является ошибочным, хотя формально с математической точки зрения такой подход допустим, однако при этом нет возможности учёта начальных условий при вычислении интеграла в соотношениях, определяющих ток проводимости.

[Фёдор Менде]

      Далее в §61  работы [2] рассматривается вопрос об энергии электрического и магнитного поля в средах, обладающих введённой таким способом дисперсией. При этом делается вывод о том, что соотношение для энергии таких полей
\(W = \frac{1}{2}\left( {\varepsilon {E_0}^2 + \mu {H_0}^2} \right) \) ,                                                 (3.1)
имеющего точный термодинамический смысл в обычных средах, при наличии дисперсии так истолковано быть не может. Эти слова означают, что знание реальных электрических и магнитных полей в диспергирующей среде недостаточно для определения разности внутренней энергии в единице объёма вещества при наличии полей в их отсутствии. После таких заявлений приводится  формула, дающая правильный результат для вычисления удельной энергии электрических и магнитных полей при наличии дисперсии
\(W = \frac{1}{2}\frac{{d\left( {\omega \varepsilon (\omega )} \right)}}{{d\omega }}E_0^2 + \frac{1}{2}\frac{{d\left( {\omega \mu (\omega )} \right)}}{{d\omega }}H_0^2\) .                               (3.2)
Но если сравнить первую часть выражения в правой части соотношения (3.2) с соотношением (2.9), то видно, что они совпадают. Это означает, что в соотношении (2.23) этот член представляет полную энергию, включающую не только потенциальную энергию электрических полей, но и кинетическую энергию движущихся зарядов. На каком основании записан последний член в соотношении (3.2) вообще не ясно.
      Поэтому вывод о невозможности толкования формулы (3.1), как внутренней энергии электрических и магнитных полей в диспергирующих средах является правильным. Однако это обстоятельство заключается не в том, что такая интерпретация в рассмотренных средах является вообще невозможной. Оно заключается  в том, что для определения величины удельной энергии как термодинамического параметра в данном случае необходимо правильно вычислить эту энергию, учитывая не только электрическое поле, которое накапливает потенциальную энергию, но и ток электронов проводимости, которые в связи с наличием массы, накапливают кинетическую энергию движения зарядов (2.8). Вывод, который теперь можно сделать, заключается в том, что, вводя в обиход некоторые математические символы, без понимания их истинного физического смысла, и, тем более, присвоение этим символам несвойственных им физических наименований, может в конечном итоге привести к существенным ошибкам.

5. Заключение

Хорошо известно такое явление как радуга. Специалисту по электродинамике ясно, что возникновение радуги связано с зависимостью от частоты  фазовой скорости электромагнитных волн, проходящих через капли дождя. Дж. Хевисайд и Р. Вул предположили, что такая дисперсия связана с частотной дисперсией (зависимостью от частоты) диэлектрической проницаемости воды. С тех пор эта точка зрения является господствующей. Однако такой подход является физической и методологической ошибкой, и эта ошибка допущена в трудах Ландау.  Такая ошибка произошла по причине того, что при записи тока в материальных средах были перепутаны интеграл и производная гармонической функции, которые имеют одинаковый вид и отличаются только знаками.

Литература

1  Александров А Ф  Богданкевич Л С  Рухадзе А А  Колебания и волны в плазменных средах (Изд. Московского   университета, 1990)
 2. Ландау Л Д  Лифшиц Е М Электродинамика сплошных   сред (М: Наука, 1982)
3. Гинзбург В Л  Распространение электромагнитных волн в плазме ( М.: Наука. 1967)
4. Ахиезер А  И   Физика плазмы (М: Наука, 1974)
5. Тамм И  Е  Основы теории электричества (М.: Наука, 1989)
6. Арцимович Л  А  Что каждый физик должен знать о плазме  (М.: Атомиздат, 1976)
7. Менде Ф Ф Спицын А И Поверхностный импеданс  сверхпроводников  (Киев, Наукова думка, 1985)
8. Менде Ф  Ф   Существуют ли ошибки в современной  физике (Харьков, Константа, 2003)
9. Менде Ф Ф Непротиворечивая электродинамика  (Харьков, НТМТ, 2008)
10. Mende F F  arXiv: physics/0402084
11. Менде  Ф  Ф  Инженерная физика  (11) 10 (2012)   
12.  London F  Superfluids. Vol.1. Microscopic theory of superconductivity
(Nev York: Dower publ., 1950)

[Дмитрий Мотовилов]

Другими словами, взамен вашего количества статей, которые набираются за счёт блата и соавторов и годятся только для ухода за задницей карьериста, я предложил реальные критерии  научного статуса члена форума. Давайте примем эти критерии и посмотрим, насколько я и другие претенденты им удовлетворяют.

[Фёдор Менде]

Другими словами, взамен вашего количества статей, которые набираются за счёт блата и соавторов и годятся только для ухода за задницей карьериста, я предложил реальные критерии  научного статуса члена форума. Давайте примем эти критерии и посмотрим, насколько я и другие претенденты им удовлетворяют.

Это проект правил для будущего форума, которого ещё нет. Сейчас же я прошу представить список ваших публикаций в журналах, индексируемых в SCOPUS и РИНЦ. Я даже могу смягчить требования. Если у вас нет статей индексированных в названных ресурсах, представьте  общий список опубликованных статей. Тогда мы и посмотрим, что вы за учёный.

[Дмитрий Мотовилов]

Это проект правил для будущего форума, которого ещё нет. Сейчас же я прошу представить список ваших публикаций в журналах, индексируемых в SCOPUS и РИНЦ. Я даже могу смягчить требования. Если у вас нет статей индексированных в названных ресурсах, представьте  общий список опубликованных статей. Тогда мы и посмотрим, что вы за учёный.

Федя, вы не можешь ничего от меня просить и требовать, поскольку не являешься ваком и требуешь против правил сайта БФ.

[Дмитрий Мотовилов]

Кстати, число моих сообщений на БФ в три раза больше чем у вас. Так что и в этом отношении я вполне достойный члено форума.

[в.макаров]

Вы так ничего и не поняли!!!

Отличие вашего интерферометра от других в наличии участка от «А» до «В» (рисунки в похожей теме). Наличие этого участка позволяет получить смещение полос при колебаниях зеркала, имитирующего движение источника света. Смещение полос следует ожидать от неидеальности отражения лучей лазера от зеркала — ширина луча лазера имеет конечное значение. Это приводит к разным углам отражения от зеркала и, как следствие, к изменению положения полос. Но это неприятность является конструктивной, её можно уменьшить или учесть.
Принципиальное значение имеет наличие участка от А до В. Его наличие позволяет сравнивать лучи, один из которых прошёл дополнительный путь АВ. Прохождение этого пути обеспечивает сдвиг по времени одновременно вылетевших из лазера фотонов. Т. е. при ускоренном движении лазера (зеркала) разность скорости фотонов в месте приёма (детекторе), будет меняться. Сдвиг полос зависит от скорости изменения этой разности. Чем больше расстояние АВ, тем больше разность в скоростях, тем больше смещение полос. Так и напрашивается формула изобретения на способ определения ускорения светящихся тел. Так что «жужжит» ваше устройство. А чтобы оно ещё и куда-нибудь прошло, полагаю, вам потребуется изменить представления о свете.

[Фёдор Менде]

Федя, вы не можешь ничего от меня просить и требовать, поскольку не являешься ваком и требуешь против правил сайта БФ.

А я не прошу и не требую, я просто заявляю, что к науке вы никакого отношения не имеете, поскольку у вас нет публикаций в научных журналах кроме статеек в журнале Техника молодёжи. Если я не прав, представьте список опубликованных вами статей в научных журналах, как это сделал я.

[tory]

Добавлю еще одну каплю дегтя в бочку меда:
В.А. Кулигин, М.В. Корнева, Г.А. Кулигина
"Поведение волны в окрестности фокуса и функции Бесселя"
http://www.trinitas.ru/rus/doc/0016/001f/00163465.htm
Элементарная ошибка, которая кочует от первого издания ТЕОРИИ ПОЛЯ
до последнего - восьмого. И так уже почти 80 лет, если считать, что
первое издание вышло в 1941 году.

Волна, проходя через фокус, не может менять фазу скачком на 180 градусов!!!
Смотрят в книгу, а видят фигу! Точнее, ничего не видят!
"УЧЕНЫЕ", мать вашу!

[Фёдор Менде]

Существует ли магнитное поле и векторный потенциал электрического поля

Ф. Ф. Менде

Аннотация

Начало электродинамике положили такие выдающиеся физики, как Ампер, Фарадей, Вебер, Максвелл. Эти учёные на примитивном экспериментальном оборудовании установили те законы, которыми мы пользуемся до сих пор.  Они были гениями и смогли разглядеть во тьме предрассудков и суеверия верхушку того громадного айсберга, которым является электродинамика. Но те противоречия и несогласованность, которые имеют место в электродинамике и на сегодняшний день, говорят о том, что не все проблемы уже решены. В уравнениях Максвелла  не содержится информация о силовом взаимодействии токонесущих систем, а сила Лоренца, которая определяет такое  взаимодействие, вводится как отельный экспериментальный постулат. Поэтому сама электродинамика состоит как бы из двух не связанных между собой частей. С одной стороны это уравнения Максвелла, которые дают возможность получить волновое уравнение для электромагнитных волн, а с другой – постулат о силе Лоренца, позволяющий вычислять силовое взаимодействие токонесущих систем. Магнитное поле также вводится не на основании экспериментальных фактов и не имеет под собой основы. И Максвелл и Ампер считали, что магнитное поле является материальным полем, но такую их точку зрения нельзя принять, поскольку это поле может быть уничтожено путём выбора системы отсчёта. В статье показано, что введение магнитного поля это всего лишь удобный математический приём, без которого можно обойтись. В статье также вводится понятие векторного потенциала электрического поля, что даёт возможность записать уравнения индукции в симметричном виде.
Ключевые слова: электродинамика, уравнения Максвелла, закон Ампера, магнитное поле, уравнения индукции, магнитный векторный потенциал, электрический векторный потенциал, сила Лоренца.

Введение

В существующей классической электродинамике ещё в начале прошлого века наметились неустранимые кризисные явления.  Уже тогда было  ясно, что уравнения Максвелла не содержат в себе правил преобразования полей при переходе из одной инерциальной системы (ИСО) в другую. И не было понятно, как в пределах существующей на тот день электродинамики такие преобразования получить. Это вопрос был решён волевым методом путём введения в электродинамику двух постулатов специальной теории относительности (СТО). Характеристику этой теории хорошо отражает цитата из работы [1]: «Теория относительности возникла в результате длительного накопления опытного материала, приведшего к глубокому преобразованию наших физических представлений о формах материи и движения. После целого ряда попыток приспособить прежние понятия о пространстве, времени и других физических величинах к вновь открытым опытным фактам обнаружилось, что для этой цели требуется перестроить все эти понятия коренным образом. Эта задача была выполнена в основном А. Эйнштейном в 1905 г.(специальная теория относительности) и в 1915 г. (общая теория относительности). Впрочем, задача была выполнена лишь в том смысле, что было дано стройное формально-математическое описание нового положения вещей. Задача глубокого, подлинно физического обоснования этой математической схемы всё ещё стоит перед физикой» (конец цитаты).
В уравнениях Максвелла  также не содержится информация о силовом взаимодействии токонесущих систем, а сила Лоренца, которая определяет такое  взаимодействие, вводится как отельный экспериментальный постулат. Поэтому сама электродинамика состоит как бы из двух не связанных между собой частей. С одной стороны это уравнения Максвелла, которые дают возможность получить волновое уравнение для электромагнитных волн, а с другой – постулат о силе Лоренца, позволяющий вычислять силовое взаимодействие токонесущих систем.
Поскольку в электродинамике имеются  логически не связанные между собой части  и  другие недоработки, то её  нельзя считать единой законченной наукой, в которой есть единые начала, из которых следуют все её законы. Но на это трудно и рассчитывать. Начало электродинамике положили такие выдающиеся физики, как Ампер, Фарадей, Вебер, Максвелл. Эти учёные на примитивном экспериментальном оборудовании установили те законы, которыми мы пользуемся до сих пор.  Они были гениями и смогли разглядеть во тьме предрассудков и суеверия верхушку того громадного айсберга, которым является электродинамика. Но те противоречия и несогласованность, которые имеют место в электродинамике и на сегодняшний день, говорят нам о том, что похоже, несмотря на свою гениальность, они в электродинамике чего-то не доглядели.

Список пользователей не допускаемых автором для участия в данной теме: Мотовилов

[Фёдор Менде]

1. Взаимодействие электронных потоков и токов смещения

В классической механике сила, действующая на неподвижное тело определяется градиент скалярного потенциала \(\varphi \) , который представляет потенциальную энергию тела в заданном поле

В случае прямолинейного инерционного движения тела изменение его энергии  связано с действием на него силы

\({{\bf{F}}_K} = m{\bf{a}}\) ,

При этом приращение скорости всегда связано с этой силой и совпадает с ней по направлению. И мы не знаем в механике ни одного такого примера, когда бы в случае прямолинейного движения приращение скорости приводило к появлению сил, нормальных к направлению движения.
Но в электродинамике такой пример имеется. Это сила Лоренца

\({{\bf{F}}_L} = e\left[ {{\bf{v}} \times {\bf{B}}} \right] = e\mu \left[ {{\bf{v}} \times {\bf{H}}} \right]\) . (1)                                                

Эта сила даже при инерциальном движении заряда, например в сверхпроводниках, направлена нормально к направлению движения заряда. И возникает вопрос, действительно ли это какой-то новый закон, или это непонимание физической природы этой силы. Сразу укажем, что введение  силы Лоренца не является следствием каких-то обобщений, основанных на законах механики или электродинамики, а вводится она как отдельный экспериментальный постулат, обобщающий опытные данные.
Само магнитное поле  в своё время было введено Ампером  также феноменологическим путём на основе наблюдения силового взаимодействия между проводниками, по которым течёт ток. Закон Ампера, выраженный в векторной форме, определяет магнитное поле в точке наблюдения в следующем виде:
\({\bf{H}} = \frac{1}{{4\pi }}\int {\frac{{I\left[ {d{{\bf{l}}_{}}{\bf{r}}} \right]}}{{{r^3}}}} \)
где \(I\)  - ток в элементе \(d{\bf{l}}\) , \({\bf{r}}\)  - вектор, направленный  из  \(d{\bf{l}}\) в точку наблюдения (рис. 1).
Можно показать, что
\(\frac{{[d{\bf{lr}}]}}{{{r^3}}} = \left[ {grad\left( {\frac{1}{r}} \right)d{\bf{l}}} \right] \)
и, кроме того, что
\(\left[ {grad\left( {\frac{1}{r}} \right)d{\bf{l}}} \right] = rot\left( {\frac{{d{\bf{l}}}}{r}} \right) - \frac{1}{r}rotd{\bf{l}}\) .


 

Рис. 1. Формирование векторного потенциала элементом проводника \(dl\) , по которому течёт ток  \(I\) .

Но ротор  \(d{\bf{l}}\)  равен нулю и поэтому окончательно
\({\bf{H}} = rot\int {I\left( {\frac{{d{\bf{l}}}}{{4\pi r}}} \right)}  = rot{{\bf{A}}_H}\)
где
\({{\bf{A}}_H} = \int {I\left( {\frac{{d{\bf{l}}}}{{4\pi r}}} \right)}\)    (1.1)
векторный  потенциал магнитного поля.

[Фёдор Менде]

Было также установлено, что скалярное произведение векторного потенциала и скорости заряда, движущегося в поле этого потенциала, представляет потенциальную энергию
\({W_P} = e\mu ({\bf{vA}})\) .
Градиент этой энергии  и даёт силу, действующую на заряд
\({{\bf{F}}_P} =  - gra{d_{}}{W_P} = e{\mu _{}}grad({\bf{vA}})\) .   (1.2)
В такой постановке вопроса следует признать, что поле скалярного потенциала обладает особым свойством превращать кинетическое движение заряда в  потенциальную энергию, что также не вяжется с основными законами механики.
Мы уже указали, что  введение и магнитного поля и  силы Лоренца являются обобщением экспериментальных фактов и являются по сути дела постулатами, которые вводятся без должного понимания физической природы этих параметров.
Однако при формальном введении этих величин допущена одна существенная неточность. Глядя на приведенные соотношения легко видеть, что записаны они для уединённого потока заряженных частиц. И здесь мы сразу же сталкиваемся с неустранимым недостатком концепции магнитного поля. В соответствии с ней два параллельных электронных потока, заряды в которых движутся с одинаковой скоростью, кроме кулоновского отталкивания должны ещё и притягиваться. Что это так, нетрудно показать, если воспользоваться соотношениями (1.1, 1.2). Но если перейти в инерциальную систему, движущуюся со скоростью электронов, то там будет отсутствовать векторный потенциал и останется только кулоновское отталкивание. Такое несоответствие выводов, которые следуют из соотношений (1.1, 1.2), связано с тем, что эксперименты, на основе которых было введено магнитное поле и векторный потенциал проводились не на уединённых электронных потоках, а на проводниках, по которым течёт ток. Такие проводники, кроме движущихся электронов имеют положительно заряженную кристаллическую решетку (рис. 2), что в существующей теории не учитывается.

 


Рис. 2. Проводник с током, вдоль которого движется наблюдатель.

В  проводниках плотность положительных и отрицательных зарядов одинакова, поэтому они являются нейтральными и электрическое поле у них отсутствует. На рисунке для большего удобства рассмотрения система положительных и отрицательных зарядов сдвинута по вертикали. Если поток электронов движется со скоростью  , то для неподвижного наблюдателя ток будет определяться соотношением
\(I = ne{v_0}\pi {r^2}\) ,
где \(e\)  и \(n\)  - заряд и плотность электронов, а \(r\) - радиус проводника.
Если наблюдатель движется, то по отношению к нему будут двигаться и заряды положительно заряженной решетки, что эквивалентно обратному движению электронов. С учётом этого полный ток для движущегося наблюдателя запишется
\({I_\sum } = ne({v_0} - v)\pi {r^2} + nev\pi {r^2} = ne{v_0}\pi {r^2}\)
Таким образом, полный ток для неподвижного и для движущегося наблюдателя оказывается одинаковым. И опять такой вывод не соответствует действительности, т.к. на движущийся заряд сила Лоренца действует, а на неподвижный – нет.
В классической электродинамике существует две совершенно равнозначные ситуации, которые на экспериментальном уровне дают различные результаты. Концепция магнитного поля заключается в том, что любой поток движущихся заряженных частиц генерирует вокруг себя аксиальное магнитное поле. Если в этом магнитном поле двигается с такой же скоростью другой поток таких же частиц, то кроме кулоновского отталкивания должно иметь место и притягивание таких потоков друг к другу. Если рассматривать движение зарядов в проводниках, то указанный эффект имеет место. В связи с этим в своё время был принят экспериментальный постулат о силе Лоренца (1)
Этот постулат дал возможность правильно объяснить все силовые эффекты, связанные с протеканием токов в проводящих системах, в том числе и пондеромоторные (механические) силы, приложенные к поверхности проводников, по которым протекает ток.

[Фёдор Менде]

Однако при рассмотрении силового взаимодействия однонаправленных электронных потоков, в которых заряды двигаются с одинаковой скоростью, такой подход даёт сбой. Если рассмотреть силовое взаимодействие таких потоков то в концепции магнитного поля между ними, кроме кулоновского отталкивания, должно иметь место и притяжение. Однако если перейти в систему отсчёта, движущуюся вместе с потоками со скоростью движения зарядов в потоках, то в такой системе магнитные поля отсутствуют и, следовательно, остаётся только кулоновское отталкивание. Считается, что магнитное поле это вид материи, но получается так, что при помощи выбора системы отсчёта этот вид материи может быть уничтожен.
Аналогичная ситуация наблюдается и с токами смещения. Если токи смещения обладают магнитным полем, то это должно приводить  к поперечному сжатию меняющихся во времени электрических полей. Кроме того, если токи смещения имеют магнитное поле, то такие поля в соответствии с  соотношением (1) должны силовым образом действовать на заряды, движущиеся в таком поле. Но в соответствии с третьим законом Ньютона любой действующей силе должна иметь место противодействующая сила реакции. Но в данном случае нет того материального объекта, как например проволока или электронный поток, которые обеспечивали бы силу реакции. Поэтому и в этом случае возникают большие сомнения по поводу существования магнитных полей вокруг токов смещения.
Второе уравнение Максвелла связывает наличие магнитного поля с существованием потоков заряженных частиц, таких как электронные потоки, а также с токами смещения

\(rot{\bf{H}} = {\bf{j}} + {\varepsilon _0}\frac{{\partial {\bf{E}}}}{{\partial t}} = ne{\bf{v}} + {\varepsilon _0}\frac{{\partial {\bf{E}}}}{{\partial t}}\) ,

где \(n\)  и \({\bf{v}}\) - плотность зарядов в электронном потоке  и их скорость соответственно.
Учитывая приведенные выше соображения, приходится признать, что введение магнитного поля в соответствии со вторым уравнением Максвелла не имеет под собой почвы. Но это означает, что и первое уравнение Максвелла тоже теряет смысл, т.к. в нём тоже присутствует магнитное поле. Поэтому стоит вопрос о том, чтобы из электродинамики вообще исключить такое понятие как магнитное поле.

2. Уравнеия индукции, записанные  в полных производных

Главным достижением СТО следует считать то, что она предсказала зависимость скалярного потенциала заряда от его относительной скорости, а также связь этого потенциала с магнитным векторным потенциалом. Именно это обстоятельство и позволило получить преобразования полей из которых следует  фазовая аберрация и поперечный эффект Доплера, которые не могут быть объяснены в рамках классической электродинамики. Однако эти результаты были получены ценой колоссальных физических жертв путём введения ковариантных преобразований, из которых следуют абсурдные с физической точки зрения результаты. Например, материальные тела при достижении скорости света  должны сжиматься до нулевых размеров в направлении своего движения.
Возникает вопрос, могут ли принципы классической электродинамики дать правильные результаты по определению полей в движущихся системах координат хотя бы в каком-то приближении, и если это так, то как должны выглядеть при этом уравнения электромагнитной индукции.
   Сила Лоренца
\(\vec F' = {e_{}}\left[ {\vec V \times \vec B} \right]\)    (2.1)
потому и названа именем Лоренца, что она следует из его преобразований, при помощи которых могут быть записаны поля в движущихся системах координат, если известны поля в неподвижной системе. Штрихом в дальнейшем мы будем отмечать поля и силы, возникающие в движущейся системе координат.
   Указания на то, каким образом могут быть записаны поля в движущейся системе координат, если они известны в неподвижной системе, имеются уже в законе Фарадея. Для рассмотрения этого вопроса перепишем закон Фарадея в уточненном виде [2]:
\(\oint {{{\vec E'}_{}}{d_{}}\vec l' =  - \frac{{{d_{}}{Q_B}}}{{{d_{}}t}}} \)  .  (2.2)
Уточнение закона, вернее его записи, касается лишь того обстоятельства, что если мы определяем контурный интеграл в движущейся (штрихованной) системе координат, то около \(\vec E\)  и \(d\vec l\)  должны стоять штрихи. Если же контурный интеграл определяется в неподвижной системе координат, то штрихи около  \(\vec E\)  и \(d\vec l\)  отсутствуют, но при этом справа в выражении (1.2) должна стоять частная производная по времени. Обычно это обстоятельство в литературе по данному вопросу не оговаривается.

[Фёдор Менде]

Полная производная по времени в соотношении (2.2) означает независимость конечного результата появления э.д.с. в контуре от способа изменения потока, другими словами, поток может изменяться как за счет чисто временных изменений \(\vec B\), так и за счет того, что система, в которой измеряется \(\oint {\vec E'{d_{}}\vec l'} \) , двигается в пространственно меняющемся поле \(\vec B\) . В соотношении (2.2)
\({Q_B} = \int {{{\vec B}_{}}{d_{}}\vec S'} \) ,  (2.3)
где магнитная индукция \({\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}
\over B} _{}} = {\mu _{}}\vec H\)  определена в неподвижной системе координат, а элемент \({d_{}}\vec S'\)  – в движущейся системе. Учитывая (2.3), из (2.2) получаем
\(\oint {\vec E'{d_{}}\vec l' =  - \frac{d}{{{d_{}}t}}\int {{{\vec B}_{}}{d_{}}\vec S'} } \) ,    (2.4)
и далее, поскольку \(\frac{d}{{{d_{}}t}} = \frac{\partial }{{{\partial _{}}t}} + {\vec V_{}}grad\) , запишем
\(\oint {\vec E'{d_{}}\vec l' =  - \int {{{\frac{{{\partial _{}}\vec B}}{{{\partial _{}}t}}}_{}}{d_{}}\vec S - \int {{{\left[ {\vec B \times \vec V} \right]}_{}}{d_{}}\vec l' - \int {{{\vec V}_{}}di{v_{}}{{\vec B}_{}}{d_{}}\vec S'} } } } \) .   (2.5)
В данном случае контурный интеграл берется по контуру \({d_{}}\vec l'\) , охватывающему площадку \({d_{}}\vec S'\) . Сразу отметим, что все дальнейшее изложение будет вестись в предположении справедливости преобразований Галилея, т.е. \({d_{}}\vec l' = {d_{}}\vec l\)  и \({d_{}}\vec S' = {d_{}}\vec S\) . Из (1.5) следует хорошо известный результат:
\(\vec E' = \vec E + \left[ {\vec V \times \vec B} \right]\) ,    (2.6)

из которого следует, что при движении в магнитном поле возникает дополнительное электрическое поле, определяемое последним слагаемым соотношения (2.6). Заметим, что это соотношение мы получили не из преобразований Лоренца, а всего лишь немного уточнив закон Фарадея. Таким образом, сила Лоренца является следствием такого уточненного закона.
   Из соотношения (2.6) следует, что при движении в магнитном поле на заряд действует сила перпендикулярная направлению движения. Однако, физическая природа этой силы нигде не рассматривается. Именно с этим и связана та путаница, которая имеет место при объяснении принципа действия униполярного генератора, а также невозможность объяснения в рамках уравнений Максвелла возникновения электрических полей вне бесконечно длинного соленоида.
   Для выяснения физической природы появления последнего слагаемого в соотношении (2.6) запишем \(\vec B\)  и \(\vec E\)  через магнитный векторный потенциал \({\vec A_B}\) :
\(\vec B = ro{t_{}}{\vec A_B}{,_{}}{^{}_{}}{^{}_{}}\vec E =  - \frac{{{\partial _{}}{{\vec A}_B}}}{{{\partial _{}}t}}\)  .  (2.7)                             
Тогда соотношение (2.6) можно переписать
\(\vec E' =  - \frac{{{\partial _{}}{{\vec A}_B}}}{{{\partial _{}}t}} + \left[ {\vec V \times ro{t_{}}{{\vec A}_B}} \right]\) ,  (2.8)                                 
и далее:
\(\vec E' =  - \frac{{{\partial _{}}{{\vec A}_B}}}{{{\partial _{}}t}} - \left( {{{\vec V}^{}}\nabla } \right){\vec A_B} + gra{d_{}}\left( {{{\vec V}_{}}{{\vec A}_B}} \right)\)  .   (2.9)
Первые два члена правой части равенства (2.9) можно собрать в полную производную векторного потенциала по времени, а именно:
\(\vec E' =  - \frac{{{d_{}}{{\vec A}_B}}}{{{d_{}}t}} + gra{d_{}}\left( {{{\vec V}_{}}{{\vec A}_B}} \right)\) .   (2.10)                               
Из соотношения (2.9) видно, что напряженность поля, а, следовательно, и сила, действующая на заряд, состоит из трех частей.
   Первая из них обязана чисто временным изменениям магнитного векторного потенциала. Смысл второго слагаемого правой части соотношения (2.9) тоже понятен. Оно связано с изменением векторного потенциала, но уже за счет того, что заряд движется в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Иная природа последнего слагаемого правой части соотношения (2.9). Оно связано с наличием потенциальных сил, т.к. потенциальная энергия заряда, движущегося в поле потенциала \({\vec A_B}\)  со скоростью \(\vec V\) , равна \({e_{}}\left( {{{\vec V}_{}}{{\vec A}_{\bf{B}}}} \right)\) . Величина же \({e_{}}gra{d_{}}\left( {{{\vec V}_{}}{{\vec A}_B}} \right)\)  и дает силу, точно так же, как дает силу градиент скалярного потенциала.

[Фёдор Менде]

Соотношение (2.9) дает возможность физически объяснить все составляющие напряженности электрического поля, возникающего в неподвижной и движущейся систем координат. Если речь идет о возникновении электрических полей вне длинного соленоида, где нет магнитных полей, то в этом случае работает первое слагаемое правой части равенства (2.9). В случае униполярного генератора в формировании силы, действующей на заряд, принимают участие два последних слагаемых правой части равенства (2.9), внося одинаковые вклады.
   В работе [3] говорится, что униполярный генератор является исключением из правила потока, но такой вывод неправильный, поскольку
.правило потока это совокупность всех трех составляющих. Беря ротор от обеих частей равенства (2.10) и учитывая, что rot grad  0, получаем
\(ro{t_{}}\vec E' =  - \frac{{{d_{}}\vec B}}{{{d_{}}t}}\)  .     (2.11)
Если движения нет, то соотношение (2.11) превращается в первое уравнение Максвелла. Конечно, по своей информативности соотношение (2.11) сильно уступает соотношению (2.2), т.к. в связи с тем, что rot grad  0, в нем отсутствует информация о потенциальных силах, обозначенных через \({e_{}}gra{d_{}}\left( {{{\vec V}_{}}{{\vec A}_B}} \right)\) . Поэтому, если нас интересуют все составляющие электрических полей, действующих на заряд, как в неподвижной, так и в движущейся системах координат, мы должны пользоваться соотношением (2.2).
   Подводя предварительный итог, можно утверждать, что при более внимательном рассмотрении закона Фарадея (2.2) можно достаточно ясно понять все особенности работы униполярного генератора, можно также утверждать, что принцип действия униполярного генератора не является исключением из правила потока (2.2), а является его следствием. Утверждение Фейнмана [3] о том, что правило \(\left[ {\vec V \times \vec B} \right]\) для “движущегося контура” и \(\nabla  \times \vec E =  - \frac{{{\partial _{}}\vec B}}{{{\partial _{}}t}}\)   для “меняющегося поля” являются двумя совершенно различными законами не соответствует действительности. Как раз тем единым основополагающим принципом, на отсутствие которого указывает Фейнман, и является закон Фарадея. Повторим еще одну трактовку Фейнмана, которую следует уточнить, а именно: “Наблюдения Фарадея привели к открытию нового закона о связи электрического и магнитных полей: в области, где магнитное поле меняется со временем, генерируется электрическое поле”. Эта формулировка верна, но неполная, т.к. мы уже указывали, что электрическое поле может генерироваться и там, где магнитные поля отсутствуют, а именно, вне бесконечно длинного соленоида. Более полная формулировка, вытекает из соотношения (2.9), а для вихревых полей более полным является соотношение \(\vec E =  - \frac{{{d_{}}{{\vec A}_B}}}{{{d_{}}t}}\) ,   чем соотношение \(ro{t_{}}\vec E =  - \frac{{{\partial _{}}\vec B}}{{{\partial _{}}t}}\) .
   Таким образом, следует  заключить, что движущийся или неподвижный заряд взаимодействует не с магнитным полем, а с полем магнитного векторного потенциала, и только знание этого потенциала и его эволюции дают возможность вычислить все составляющие сил, действующих на заряды. Магнитное же поле является всего лишь пространственной производной такого векторного поля.
   Из сказанного следует, что запись силы Лоренца в терминах магнитного векторного потенциала:
\({\vec F_{}}^\prime  = {e_{}}\vec E + {e_{}}[\vec V \times ro{t_{}}{\vec A_B}] = {e_{}}\vec E - ({\vec V_{}}\nabla ){\vec A_B} + gra{d_{}}({\vec V_{}}{\vec A_B})\)    (2.12)
более предпочтительна, т.к. дает возможность понять полную структуру такой силы.
   Закон Фарадея (2.2) называется законом электромагнитной индукции в связи с тем, что он показывает, каким образом изменение магнитных полей приводит к появлению электрических полей. Однако в классической электродинамике отсутствует закон магнитоэлектрической индукции, который бы показывал, каким образом изменение электрических полей приводит к появлению магнитных полей. Развитие классической электродинамики в этой части следовало по другому пути. Сначала был известен закон:
\(\oint {{{\vec H}_{}}{d_{}}\vec l = I} \)  ,     (2.13)
где I – ток, пересекающий площадку, охватываемую контуром интегрирования. В дифференциальной форме соотношение (2.13) имеет вид:
\(ro{t_{}}\vec H = {\vec j_\sigma }\)  ,     (2.14)
где \({\vec j_\sigma }\) – плотность тока проводимости.

[Фёдор Менде]

 Максвелл дополнил соотношение (2.14) током смещения
\(ro{t_{}}\vec H = {\vec j_\sigma } + \frac{{{\partial _{}}\vec D}}{{{\partial _{}}t}}\)   .   (2.15)
Однако, если проводить измерения с изменяющимися потоками электрической индукции, то можно установить  следующий закон:
\(\oint {\vec H'{d_{}}\vec l' = \frac{{{d_{}}{Q_D}}}{{{d_{}}t}}} \)  ,    (2.16)
где \({Q_D} = \int {{{\vec D}_{}}{d_{}}S'} \)  поток электрической индукции, и далее:
\(\oint {\vec H'{d_{}}\vec l' = \int {\frac{{{\partial _{}}\vec D}}{{{\partial _{}}t}}{d_{}}\vec S + \oint {[\vec D \times \vec V]{d_{}}\vec l' + \int {{{\vec V}_{}}di{v^{}}{{\vec D}_{}}{d_{}}\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\rightharpoonup$}}
\over S} '} } } } \) .   (2.17)
В отличие от магнитных полей, когда div\(\vec B = 0\) , для электрических полей div\(\vec D = \rho \)  и последнее слагаемое в правой части соотношения (2.17) дает ток проводимости I, т.е. из соотношения (2.16) сразу следует закон Ампера. Из соотношения (2.17) следует также и равенство:
\(\vec H = [\vec D \times \vec V]\) ,   (2.18)
которое ранее можно было получить только из преобразований Лоренца.
   Более того, как убедительно показано в работе [4], из соотношения (2.18) следует и закон Био-Савара, если для вычисления магнитных полей взять только электрические поля движущихся зарядов. В этом случае последний член правой части соотношения (2.17) можно просто опустить, и законы индукции приобретают симметричную форму
\(\begin{array}{l}
\oint {{{\vec E'}_{}}{d_{}}\vec l' =  - {{\int {\frac{{{\partial _{}}\vec B}}{{{\partial _{}}t}}{d_{}}\vec S - \oint {[\vec B \times \vec V]{d_{}}\vec l'} } }^{}}_{},} \\
{\oint {\vec H'{d_{}}\vec l' = \int {\frac{{{\partial _{}}\vec D}}{{{\partial _{}}t}}{d_{}}\vec S + \oint {[\vec D \times \vec V]{d_{}}\vec l'} } } _{}}^{}.
\end{array}\)             (2.19)
\(\begin{array}{l}
E' = \vec E + {[\vec V \times \vec B]_{}}^{},\\
H' = \vec H - {[\vec V \times \vec D]_{}}^{}.
\end{array}\)   (2.20)
Заметим, что ранее соотношения (2.20) можно было получить только из преобразований Лоренца, т.е. в рамках специальной теории относительности (СТО). Таким образом, с точностью до членов ~ \(\frac{V}{c}\)  результаты СТО следуют из законов индукции в рамках преобразований Галилея. Далее можно показать, что из преобразований (2.19) следуют результаты СТО и с точностью ~ \(\frac{{{V^2}}}{{{c^2}}}\) . Однако, перед этим введем еще один векторный потенциал, который в классической электродинамике не вводился. Для вихревых полей примем [2]
\(\vec D = ro{t_{}}{\vec A_D}\)  ,  (2.21)
где \({\vec A_D}\)  – электрический векторный потенциал. Тогда из (1.19) следует
\(\vec H' = \frac{{{\partial _{}}{{\vec A}_D}}}{{{\partial _{}}t}} + [{\vec V_{}}\nabla ]{\vec A_D} - gra{d_{}}[{\vec V_{}}{\vec A_D}]\)   ,   (2.22)
или
\(\vec H' = \frac{{{\partial _{}}{{\vec A}_D}}}{{{\partial _{}}t}} - [{\vec V_{}} \times ro{t_{}}{\vec A_D}]\)   ,   (2.23)                               
или
\(\vec H' = \frac{{{d_{}}{{\vec A}_D}}}{{{d_{}}t}} - gra{d_{}}[{\vec V_{}}{\vec A_D}]\)   .  (2.24)
Эти соотношения представляют закон магнитоэлектрической индукции, записанный в терминах электрического векторного потенциала.
   Важность введения электрического векторного потенциала заключается в следующем. Представим себе ситуацию подобную той, которая имеет место с бесконечно длинным соленоидом с той лишь разницей, что теперь место векторов \(\vec B\)  должны занять векторы \(\vec D\) . Такая ситуация существует. Это случай, когда пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком с большим . В этом случае практически весь поток смещения находится внутри диэлектрика. Если при этом попытаться рассчитать магнитное поле вне пространства, занятого диэлектриком, т.е. там где \(\vec D \cong 0\) , то мы столкнемся с той же трудностью, как и в случае с бесконечно длинным соленоидом при расчете вне его полей \(\vec E\) . Введение электрического векторного потенциала дает возможность корректно решить эту задачу. И опять возникает вопрос, что первично, а что вторично. Конечно, первичным является электрический векторный потенциал, а вихревые электрические поля существуют лишь там, где ротор такого потенциала отличен от нуля.

[Фёдор Менде]

Соотношения (2.20) свидетельствуют о том, что в случае относительного движения систем отсчета, между полями \(\vec E\)  и \(\vec H\)  существует перекрестная связь, т.е. движение в полях \(\vec H\)  приводит к появлению полей \(\vec E\)  и наоборот [5,6]. Эти особенности приводят к дополнительным следствиям, которые в рамках классической электродинамики ранее рассмотрены не были. Для их иллюстрации рассмотрим две параллельные проводящие плоскости, между которыми имеется электрическое поле \(\vec E\)  и, соответственно, поверхностный заряд S, приходящийся на единицу площади каждой пластины, равен Е. Если параллельно пластинам в поле Е начать двигать со скоростью V другую систему отсчета, то в ней появится дополнительное поле Н = VЕ. Если теперь по отношению к уже движущейся системе отсчета начать двигать третью систему отсчета со скоростью V, то уже за счет движения в поле Н появится добавка Е = V2Е, которая добавится к полю Е. Таким образом, поле   в этой движущейся системе окажется большим, чем в неподвижной. Следовательно, вправе считать, что не только увеличилось поле Е, но и поверхностный заряд на плоскостях исходной системы увеличился на величину \(\mu {\varepsilon ^2}\Delta {V^2}E\) .
   Процесс вычисления полей таким способом описан в работе [2]. Если обозначить \({\vec E_{_{\left| {} \right|}}}\)  и \({\vec H_{_{\left| {} \right|}}}\)  как компоненты полей, параллельные направлению скорости, а \({\vec E_ \bot }\)  и \({\vec H_ \bot }\)  как компоненты перпендикулярные к ней, то конечные значения полей при достижении скорости V запишутся
\(\begin{array}{l}
{{\vec E'}_{_{\left| {} \right|}}} = {{\vec E}_{_{\left| {} \right|}}},\\
{{\vec E'}_ \bot } = {{\vec E}_ \bot }ch\frac{V}{c} + \frac{{{Z_0}}}{V}[\vec V \times {{\vec H}_ \bot }]sh\frac{V}{c},\\
{{\vec H'}_{_{\left| {} \right|}}} = {{\vec H}_{_{\left| {} \right|}}},\\
{{\vec H'}_ \bot } = {{\vec H}_ \bot }ch\frac{V}{c} - \frac{1}{{{Z_0}V}}[\vec V \times {{\vec E}_ \bot }]sh\frac{V}{c},
\end{array}\)   (2.25)
где \({Z_0} = \sqrt {\frac{\mu }{\varepsilon }} \)  – импеданс пространства,
      \(c = \sqrt {\frac{1}{{{\mu _{}}\varepsilon }}} \)  – скорость света в рассматриваемой среде.  
Преобразования   (2.25) носят название преобразований Менде [7-9].                                                                    

Эти преобразования дают результаты, совпадающие с СТО уже с точностью до членов ~\(\frac{{{V^2}}}{{{c^2}}}\) . Поправки следующих порядков с результатами СТО не совпадают. Однако следует отметить, что и экспериментальная проверка СТО проведена до настоящего времени не точнее членов ~\(\frac{{{V^2}}}{{{c^2}}}\) .
   Покажем, как, например, при помощи соотношений (2.25) объяснить такое явление, как фазовая аберрация, которое в рамках классической электродинамики объяснений не имело.
   Будем считать, что имеются компоненты плоской волны HZ и EX, а штрихованная система движется в направлении оси x со скоростью VX. Тогда компоненты полей в штрихованной системе координат запишутся
\(\begin{array}{l}
{E_X}^\prime  = {E_X},\\
{E_Y}^\prime  = {H_Z}sh\frac{{Vx}}{c},\\
{H_Z}^\prime  = {H_Z}ch\frac{{{V_X}}}{c}.
\end{array}\)     (2.27)

Следовательно, вектор Пойнтингa теперь направлен уже не по оси y, а находясь в плоскости xy, наклонен к оси y на угол, определяемый соотношениями (2.27). Отношение же абсолютных величин векторов Е и Н в обеих системах отсчёта остались одинаковыми. Это и есть явление фазовой аберрации в классической электродинамике.