Этого нельзя делать в общем случае, поскольку не для всех х и у число s будет целым. Для более высоких степеней тем более
Простие за настойчивость, но мы с Вами пишем по правилам алгебры.
Итак, всякое целое число, мыслимое биномом целых чисел (ограничиваемся биномом в связи с условием наименьшего числа членов равного числу в целой степени однородного многочлена):
z = (x + y)
z^2 = x^2 + y(2x+y)
z^3 = x^3 + 3xy(x+y) + y^3
...........................................
Во всех равенствах степени членов слева и справа одинаковы и это степени целых чисел, не так ли?
Вы оспориваете право именовать слагаемое второй степени y(2x+y) неким числом s в степени 2.
Темна алгебра, пригласим арифметику. Пусть z =5 =(3+2), x=3, y=2 x^2=3^2, 2(6+2)=4^2.
z=5 = (1+4), x^2=1, 4(2+4) = 24.
Равные двухчлены степени 2 эквивалентны числу 5 в степени 2. Алгебраически они всего лишь произвольные вариации целого числа 5 в степени 2, но строго постоянны числом членов.
Исходное уравнение: z^n = x^n + s^n уравнение целого числа в степени 2.
s=[z^n - x^n]^1/n
s=[z^2 - x^2]^1/2
Оно разрешимо в пифагоровых целых числах.
Как разрешимо в целых числах полное уравнение целого числа в степени 3:
z^3 =x^3+s^3+r^3
Кстати, для целых чисел в степени 4 найдены два набора по три целых числа в степени 4, суммы которых равны соответствующим числам в степени 4.
Потому, что бином (x+y)^4 тоже равен однородному многочлену целых чисел степени 4: x^4 + s^4 + r^4.
Понятно, что число s = [z^n - x^n]^1/n при n>2 "не существует" в понятиях "целое число" вследствие того, что число [z^n - x^n](при целых z, x) есть неполная степень всякого целого числа в целой степени при всяких целых степенях, больших 2.
В этом суть алгебраической ВТФ.
Важно, что
а)полная степень всякого целого числа равна полному однородному многочлену целых чисел соответствующей степени
б)число его членов не менее двух при всех целых степенях, больших 2
в)есть такие наборы целых чисел, в которых первые степени всех слагаемых полного однородного многочлена, равного целому числу в целой степени, являются целыми числами
г)неполный однородный многочлен целых чисел не равен целому числу в целой степени
