Распространение волн

[Ost]

Так дело же не в том, насколько сами косинусы правильно считаются. Вы сравнивали с формулой, которая сами приближённая и даёт возрастающую погрешность с уменьшением расстояния. И от итераций погрешность тоже есть, о чём я говорил. Сами же знаете, что чем больше шаг (ниже частота), тем больше погрешность. 

Я просто уточнил смысл её применения в алгоритме. Да, она даёт ошибку, но это следствие её не корректного применения.
Погрешность итерации в этом случае весьма незначительна. 

[Ost]

Да, для данного примера при L0=10 m, это так.
Но ошибка угла приема, когда источник напротив приемника составлянт ококо 3°

Но мы для примера можем взять и другие данные
Пусть f=10 Гц, L0=10 m, V=100 m/c, начальный угол 6°
Тогда в момент времени когда источник напротив приемника
Ошибка вычисления периода приема составит 26,5%
Ошибка угла приема составит 174° минус 90°
Иными словами прием очередного фронты волны при 90°, прием следующего фронты волны при 174°
Разность приема этих двух соседних фронтов волн составит T'=T(1+0,265)

Формулу \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) можно преобразовать, для такого случая.
Для этого её нужно поставить в ситуацию при которой она обязана быть точной,
а потом проинтегрировать в нужный момент времени на интервале периода \(0-T_0\).
\(\displaystyle dt=dt_0 \left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\).

[Иван Горин]

Формулу \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) можно преобразовать, для такого случая.
Для этого её нужно поставить в ситуацию при которой она обязана быть точной,
а потом проинтегрировать в нужный момент времени на интервале периода \(0-T_0\).
\(\displaystyle dt=dt_0 \left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\).

Хорошо.
Ждем результат интегрирования.

[sergey_B_K]

Формулу \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) можно преобразовать, для такого случая.
Для этого её нужно поставить в ситуацию при которой она обязана быть точной,
а потом проинтегрировать в нужный момент времени на интервале периода \(0-T_0\).
\(\displaystyle dt=dt_0 \left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\).

Не получится. При упрощении, которое показал Иван и которое приводит к данной формуле, выпал ряд параметров, слагаемых, множителей, которые не восстановимы.
Это точно также, как имея точное аналитическое решение для дискретной упругой системы можно путём предельного перехода получить решение для системы с распределёнными параметрами. Но обратное невозможно, что было нами конкретно продемонстрировано
Каравашкин С.Б., Каравашкина О.Н. Проблема граничных условий
Это характерные особенности предельных переходов. Так что пустая затея, имхо. Не трать, кума, силы... 

[Ost]

\(\displaystyle \frac{dt}{dt_0}= 1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)~-\) точное дифференциальное выражение.


\(\displaystyle dt=dt_0 \left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\).

Интегрируем на периоде \(0...Т_0\)

\(\displaystyle T(\tau)=\int \limits_0^{T_0} dt_0 -\frac{v}{c} \int \limits_0^{T_0} cos(\alpha(\tau+t_0))~ dt_0 = T_0 -\frac{v}{c} \int \limits_0^{T_0} cos(\alpha(\tau+t_0))~ dt_0 =\)

\(\displaystyle = T_0 \left(1-\frac{v}{c}~\frac{1}{T_0} \int \limits_0^{T_0} cos(\alpha(\tau+t_0))~dt_0 \right)\).

Пусть \(\displaystyle f(\tau)= \frac{1}{T_0} \int \limits_0^{T_0} cos(\alpha(\tau+t))~dt\), тогда можно записать

\(\displaystyle T(\tau) = T_0~\left(1-\frac{v}{c}~f(\tau) \right)\), где \(f(\tau)~-\) средний интегральный косинус в момент времени \(\tau\).

Формула косинуса \(\displaystyle cos(\alpha(t))=\frac{L_0~cos(\alpha_0)-v~t}{\sqrt{L_0^2+v^2~t^2-2L_0~v~t~cos(\alpha_0)}}\), тогда

\(\displaystyle f(\tau)= \frac{1}{T_0} \int \limits_0^{T_0}\frac{L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+t)}{\sqrt{L_0^2+v^2~(\tau+t)^2-2L_0~v~(\tau+t)~cos(\alpha_0)}}~dt=\frac{1}{T_0} \int \limits_0^{T_0}\frac{L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+t)}{\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+t))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}}~dt\).

После интегрирования

\(\displaystyle f(\tau)= \frac{1}{v~T_0}\left(-\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} + \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~\tau)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).


Интегральная форма закона Доплера.
Для частного случая равномерного, прямолинейного движения источника.

\(\displaystyle T(\tau)= T_0+\frac{1}{c}\left(\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} - \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~\tau)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).

...

[Ost]

Сравнение с итерацией.

[Ost]

[sergey_B_K]

...

Website is no longer available

[Иван Горин]

Формула косинуса \(\displaystyle cos(\alpha(t))=\frac{L_0~cos(\alpha_0)-v~t}{\sqrt{L_0^2+v^2~t^2-2L_0~v~t~cos(\alpha_0)}}\)

Михаил, это класс!
У меня точно такая же формула для текущего угла от времени.
И самая хохма, что относительное время я всегда использую как  тау. А в твоих работах здесь у тебя относительное время обозначено как n.
Ты видел мои прежние работы по точному эффекту Доплера с 2012 года?

Продолжение следует.

[sergey_B_K]

\(\displaystyle \frac{dt}{dt_0}= 1+\frac{v}{c}~cos(\alpha)~-\) точное дифференциальное выражение.
\(\displaystyle dt=dt_0 \left(1+\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\).

Не подскажете, что такое dt₀?

[Ost]

Михаил, это класс!
У меня точно такая же формула для текущего угла от времени.
И самая хохма, что относительное время я всегда использую как  тау. А в твоих работах здесь у тебя относительное время обозначено как n.
Ты видел мои прежние работы по точному эффекту Доплера с 2012 года?

Продолжение следует.

Возможно видел, но не могу вспомнить.

[Ost]

Не подскажете, что такое dt₀?

Это дифференциал времени, связанный с процессом движения фазы периодического сигнала источника.
Интеграл от него на периоде равен \(\displaystyle T_0= \int \limits_0^{T_0} dt_0 \).
Формула \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) неточная при использовании конечных периодов
на произвольной траектории.

Однако при предельном переходе становится точной \(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)=\frac{dt}{dt_0}\).

Для обобщения на произвольный период, надо проинтегрировать на периоде.

[sergey_B_K]

Это дифференциал времени, связанный с процессом движения фазы периодического сигнала источника.
Интеграл от него на периоде равен \(\displaystyle T_0= \int \limits_0^{T_0} dt_0 \).
Формула \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) неточная при использовании конечных периодов
на произвольной траектории.

Однако при предельном переходе становится точной \(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)=\frac{dt}{dt_0}\).

Для обобщения на произвольный период, надо проинтегрировать на периоде.

Извините, но я вижу в Ваших формулах только полоскание в символах. Формула, указанная Вами, неточна хоть в общем виде, хоть в пределе. Интеграл по периоду, а остальные периоды как?
Своё выражение Вы назвали общим для всех скоростей, включая неравномерную скорость. Но в этом случае будет v(t) и Всё ваше интегрирование "поплывёт"...
Главное, зачем, скажите хотя бы? Есть точная формула, которой можно без этих прибамбасов оперировать. Зачем эти непонятные попытки?

[Иван Горин]

Это дифференциал времени, связанный с процессом движения фазы периодического сигнала источника.
Интеграл от него на периоде равен \(\displaystyle T_0= \int \limits_0^{T_0} dt_0 \).
Формула \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) неточная при использовании конечных периодов
на произвольной траектории.

Однако при предельном переходе становится точной \(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)=\frac{dt}{dt_0}\).

Для обобщения на произвольный период, надо проинтегрировать на периоде.

Период T₀ =const, период излучения источника.
ДЛЯ ВСЕХ СЛУЧАЕВ. И при движении с ускорением.
В моей задаче V=const. Но это не влияет на период источника.
А это что такое?
\(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}\).
Константу периода излучения ты устремляешь к нулю. Это константа и не может быть равна нулю!
И результат этого предела по правилам классической математики равен бесконечности!
По правилам классической математики устремлять к какому-то значению можно переменную, но не константу, которая в задаче строго определена!

[Ost]

Период T₀ =const, период излучения источника.
ДЛЯ ВСЕХ СЛУЧАЕВ. И при движении с ускорением.
В моей задаче V=const. Но это не влияет на период источника.
А это что такое?
\(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}\).
Константу периода излучения ты устремляешь к нулю. Это константа и не может быть равна нулю!
И результат этого предела по правилам классической математики равен бесконечности!
По правилам классической математики устремлять к какому-то значению можно переменную, но не константу, которая в задаче строго определена!

В общем случае это не константа.
Например, для сигнала с частотной модуляцией формула тоже применима.
Мы идём от общего к частному.

Обрати внимание.

\(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=\lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T_0 \left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)}{T_0}=1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\).

Периоды \(T\) и \(T_0\) связаны между собой, бесконечности не может быть.

[Иван Горин]

В общем случае это не константа.
Например, для сигнала с частотной модуляцией формула тоже применима.
Мы идём от общего к частному.

Обрати внимание.

\(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=\lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T_0 \left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)}{T_0}=1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\).

Периоды \(T\) и \(T_0\) связаны между собой, бесконечности не может быть.

Какой смысл устремлять постоянную величину T₀ к нулю, если она сокращается в формуле?.
Какой физический смысл имеет эта манипуляция с пределом?
Какой физический смысл несет в себе результат этого предела?

ДА, я понял. Это новая альтернативная математика. Значки пределов  в левой части равенства сокращаются.

Был у нас на БФ альт математик. Не помню его ник.
Он всегда возмущался. Он видел у людей формулу v=dx/dt.
И говорил v=x/t.    Так как значки d в числителе и знаменателе сократились.

[sergey_B_K]

Он всегда возмущался. Он видел у людей формулу v=dx/dt.
И говорил v=x/t.    Так как значки d в числителе и знаменателе сократились.

Это что-то вроде а в квадрате, b в кубе... Встречались и такие...

[Ost]

Какой смысл устремлять постоянную величину T₀ к нулю, если она сокращается в формуле?.
Какой физический смысл имеет эта манипуляция с пределом?
Какой физический смысл несет в себе результат этого предела?

ДА, я понял. Это новая альтернативная математика. Значки пределов  в левой части равенства сокращаются.

Был у нас на БФ альт математик. Не помню его ник.
Он всегда возмущался. Он видел у людей формулу v=dx/dt.
И говорил v=x/t.    Так как значки d в числителе и знаменателе сократились.

Какой смысл устремлять постоянную величину T0 к нулю, если она сокращается в формуле?.

"Сокращение" это способ доказательства равенства функций и существования предела.
 
Рассмотрим обоснование перехода от конечного интервала времени \(\displaystyle T =T_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\) (1)
к дифференциальному \(\displaystyle dt =dt_0\left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)\). В результате этого преобразования формула становится точной.

Иван, \(T_0\) - постоянная и является периодом только в частном случае твоей задачи.
В формуле \((1)\) \(T_0~-\) в общем случае не обязательно период.
Это может быть просто интервал времени между импульсами не периодического сигнала.
В этом тексте это переменная по определению.
У меня постоянная появляется только при решении задачи, в результате интегрирования.

Можно записать так \(T=\tau_2-\tau_1;\)    \(T_0=\tau_{02}-\tau_{01}\), тогда
\(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=\lim_{\tau_{02} \rightarrow \tau_{01}} \frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_{02}- \tau_{01} }\).

Моменты времени \(\tau_{01}\) и \(\tau_{1}\) определяют начало периода при любой выбранной фазе сигнала.
Моменты времени \(\tau_{02}\) и \(\tau_{2}\) только в  твоём случае определяют конец периода.
В более общем это момент времени определённой фазы после начала периода.
Фактически мы этим пределом определяем производную в момент времени \(\tau_{01}\).

\(\displaystyle \lim_{\tau_{02} \rightarrow \tau_{01} } \frac{\tau_2-\tau_1}{\tau_{02}-\tau_{01} }=\frac{dt}{dt_0}\).

Очевидно, что

\(\displaystyle \frac{dt}{dt_0}= 1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\), так как мы уже знаем, что \(\displaystyle \lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T}{T_0}=\lim_{T_0 \rightarrow 0} \frac{T_0 \left(1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\right)}{T_0}=1-\frac{v}{c}~cos(\alpha)\).

Дополнительно.
Зададим вопрос, при каких условиях формула (1) становится точной?
Очевидный вариант \(\alpha=0\) или \(\alpha=\pi\).
Если \(\alpha\) не равна нулю, то надо заметить, что влияние переменного угла уменьшается
с уменьшение периода или в предельном случае до \(dt_0\) и формула становится точной.

 

[Иван Горин]

Дополнительно.
Зададим вопрос, при каких условиях формула (1) становится точной?
Очевидный вариант \(\alpha=0\) или \(\alpha=\pi\).
Если \(\alpha\) не равна нулю, то надо заметить, что влияние переменного угла уменьшается
с уменьшение периода или в предельном случае до \(dt_0\) и формула становится точной.

 

Хорошо. Но это не моя задача.

[Ost]

Хорошо. Но это не моя задача.

Ты проверял формулу на числах?
\(\displaystyle T(\tau)= T_0-\frac{1}{c}\left(\sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~(\tau+T_0))^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2} - \sqrt{(L_0~cos(\alpha_0)-v~\tau)^2+L_0^2~sin(\alpha_0)^2}\right)\).