Занимательные задачи

[Antediluvian]

Блин,  чёта не могу сообразить... 

Ну стороны-то квадратов легко вычисляются. А дальше через треугольники - какие-то равны, какие-то подобны...

[@Лариса@]

Ну стороны-то квадратов легко вычисляются. А дальше через треугольники - какие-то равны, какие-то подобны...

Я это понимаю,  но как верхний треугольник вычислить?

[Antediluvian]

Я это понимаю,  но как верхний треугольник вычислить?

Проводишь у него высоту и делишь на два прямоугольных треугольника, которые...

[@Лариса@]

Проводишь у него высоту и делишь на два прямоугольных треугольника, которые...

Получается,  опять кое-что надо принять на глазок,  например,  основание левого маленького треугольника.  Типа оно наверно 1.
И высота верхнего как-то по наитию 3.

И получается: 1+4+9+2*4,5+4+36+9=72

[Antediluvian]

Получается,  опять кое-что надо принять на глазок,  например,  основание левого маленького треугольника.  Типа оно наверно 1.
И высота верхнего как-то по наитию 3.

И получается: 1+4+9+2*4,5+4+36+9=72

Никаких глазков и наитий. Маленький катет самого маленького треугольника действительно 1. Потому что он подобен треугольнику над ним (углы равны) с коэффициентом подобия 2 (большие катеты 2 и 4, соответственно). Значит, маленькие катеты у верхнего треугольника 2, у нижнего 1.

Теперь делим верхний треугольник. Его правая часть - прямоугольный равнобедренный треугольник, подобный тем, что справа и ниже. А левая часть - прямоугольный треугольник, у которого катеты относятся 1/2, как у тех, что слева ниже. Соответственно, его катеты имеют длины 2 и 4 (в сумме дают сторону большого квадрата), а катет 4 - это и есть высота. Добавляем её к стороне большого квадрата и получаем 10 - это высота всего треугольника. А основание уже посчитали - оно равно 15. Следовательно, площадь большого треугольника равна 75.

[Antediluvian]

Можно короче решить. Верхний и большой треугольники подобны: у них угол при вершине общий, а углы при основании равны, потому что основания параллельны. Длину основания большого треугольника мы вычислили, это 15. Длина основания верхнего - сторона большого квадрата, или 6. Значит, коэффициент подобия 2,5. Соответственно, высоты соотносятся так же. Обозначим высоту большого Н, а высоту верхнего h. Получаем систему из двух уравнений:
H/h=2,5
H-h=6 (именно на столько высота большого больше высоты верхнего - на сторону самого большого квадрата)

Решаем уравнения и получаем 1,5h=6, откуда h=4. Значит, Н=10, ну а дальше всё понятно.

[@Лариса@]

Следовательно, площадь большого треугольника равна 75.

Аааа...

[@Лариса@]

. Значит, коэффициент подобия 2,5. 

Чё-то я подзабыла уже это подобие...

[Antediluvian]

Чё-то я подзабыла уже это подобие...

У подобных треугольников все углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. Коэффициент подобия 2 означает, что у одного треугольника стороны (а также медианы, биссектрисы, высоты) ровно в 2 раза больше, чем у другого. Площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия.

Вообще большинство задач на построение лучше всего решаются через подобие.

[@Лариса@]

У подобных треугольников все углы равны, а сходственные стороны пропорциональны. Коэффициент подобия 2 означает, что у одного треугольника стороны (а также медианы, биссектрисы, высоты) ровно в 2 раза больше, чем у другого. Площади подобных треугольников соотносятся как квадрат коэффициента подобия.

Вообще большинство задач на построение лучше всего решаются через подобие.

Ясно,  буду иметь в виду...

[Antediluvian]

Четырёхугольник - квадрат. Длины диагонали и отрезка внутри квадрата указаны. Найти длину маленького отрезка, выделенного красным.

[@Лариса@]

Четырёхугольник - квадрат. Длины диагонали и отрезка внутри квадрата указаны. Найти длину маленького отрезка, выделенного красным.

Ну эту я быстро решила. 

По теореме Пифагора сторона квадрата получается 20.
Тогда отрезок над красным: 15 (тоже по т. П.)
А коасный,  соотвеьственно,  5.

[Antediluvian]

Ну эту я быстро решила. 

По теореме Пифагора сторона квадрата получается 20.
Тогда отрезок над красным: 15 (тоже по т. П.)
А коасный,  соотвеьственно,  5.

Есть более простой способ,. Если вспомнить про так называемые египетские треугольники, то и с диагональю квадрата возиться не надо.

[Antediluvian]

Что-то давно не выкладывал шахматные задачи. Всё какие-то одноходовки попадаются. Вот поинтереснее:



Белые начинают и ставят мат в 2 хода.

[@Лариса@]

Есть более простой способ,. Если вспомнить про так называемые египетские треугольники, то и с диагональю квадрата возиться не надо.

Намек не поняла, можешь подробнее?

[Antediluvian]

Намек не поняла, можешь подробнее?

А гугл на что? 

Египетский треугольник - это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 или соответственно кратными им. То есть если ты видишь прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза кратна 5, сразу ясно, что его катеты соответственно кратны 3 и 4. Вот и здесь у нас как раз слева вверху прямоугольный треугольник с гипотенузой 25, то есть 5*5. Соответственно, его катеты 5*3=15 и 5*4=20. По-другому просто не получится.

[@Лариса@]

А гугл на что? 

Египетский треугольник - это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 или соответственно кратными им. То есть если ты видишь прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза кратна 5, сразу ясно, что его катеты соответственно кратны 3 и 4. Вот и здесь у нас как раз слева вверху прямоугольный треугольник с гипотенузой 25, то есть 5*5. Соответственно, его катеты 5*3=15 и 5*4=20. По-другому просто не получится.

Не,  до такого бы я точно не додумалась.  Прикольно...

[Antediluvian]

Не,  до такого бы я точно не додумалась.  Прикольно...

Разумеется, это работает только для целочисленных решений. Так-то катеты могут быть любой длины короче гипотенузы, если выражены не в целых числах.

[@Лариса@]

Разумеется, это работает только для целочисленных решений. Так-то катеты могут быть любой длины короче гипотенузы, если выражены не в целых числах.

Это ты помнишь со школы,  или освежил в памяти?

[Antediluvian]

Это ты помнишь со школы,  или освежил в памяти?

Я даже не помню, с каких пор я это помню.