Михаил, откуда получилась эта формула.
БФ на всех моих компьютерах не работает.
Похоже на меня наехали жалобщики за мою строгость. По хер! Пусть наезжают!
В латексе я не могу написать формулы.
Попробую с андроида.
dE=vd(p)
v=r омега, текущая линейная скорость стержня,
p=gama*m0*v релятивистский импульс
Берем интеграл от -r0 до r0.
И получим полную энергию стержня 145,494 Дж. Для любого момента времени в системе звездолета.
В СТО полная энергия и импульс не являются инвариантами при переходе в другую систему отсчета.
Обе величины зависят от скорости v, скорость же в различных системах отсчета имеет неодинаковое значение.
И что является инвариантом?
Инвариантами являются
E2/c2-p2=m2c2=inv
Источник информации
И.В. Савельев Курс общей физики Том 1. 1987 год
Стр. 240. Преобразования импульса и энергии.
Полная энергия составного тела равна
\( \displaystyle \sum\limits_i\frac{m_ic^2}{\sqrt{1-v{}_{i}^2/c^2}} \).
В случае сплошного тела дифференциал энергии равен
\( \displaystyle dE_0=\frac{dm~c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \).
Для стержня
\(dm=\sigma~dr\).
\(\displaystyle E_0=\int \limits_{-r_0}^{r_0} \frac{\sigma~c^2}{\sqrt{1-\omega^2~r^2 / c^2}}~dr=2\int \limits_0^{r_0} \frac{\sigma~c^2}{\sqrt{1-\frac{v_{1x}^2+v_{1y}^2}{c^2}}}~dr=\frac{4 \sigma~c^3}{\omega} atan \left(\frac{c}{\omega~r_0} \left(1-\sqrt{1-\omega^2~r_0^2/c^2} \right) \right)=223.953903\).
Полная энергия в относительном движении
\(\displaystyle E=\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2}{\sqrt{1-\frac{\left(\frac{v_i+V}{1+\frac{v_i~V}{c^2}}\right)^2}{c^2}}}=\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2+m_{i}~v_{i}~V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}= \sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}+\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~v_{i}~V}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}= \left(\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}+V \sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~v_{i}}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}\right)\frac{1}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\).
Если импульс центра масс равен нулю
\(\displaystyle \sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~v_{i}}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}=0\) и обозначить
\(\displaystyle E_0=\sum\limits_{i=1}^n \frac{m_{i}~c^2}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}~-\) внутренняя энергия системы из тел, то
\(\displaystyle E_0=E \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}=223.953903~~-~inv \). Сохраняется в любой инерциальной системе.
Закон сохранения в классике аналогичен
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=267324.msg5164057#msg5164057E
2/c
2-p
2=m
2c
2=inv=5.572816 10^-13
Да, в задаче это инвариант, проверил.
Энергия не вращающегося стержня
\(2 \sigma~r_0~c^2=180\).
Поэтому 145,494 не может быть.
Энергия в относительном движении
\(E=373.256505\).
--------------------------
Разобьём стержень на элементы
\(\Delta m_i\), такие, что
\(\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \Delta m_i = m_0~-\) масса стержня в покое, тогда
полная энергия равна
\(\displaystyle E=\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \frac{\Delta m_i~c^2}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}= \sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \frac{\sigma~\Delta r_i~c^2}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}=\int \limits_{r_{i=1}}^{r_{n \to \infty}} \frac{\sigma~c^2 ~dr}{\sqrt{1-\frac{v(r)^2}{c^2}}}=\frac{\sigma~c^3}{\omega}\arcsin \left(\frac{\omega~r_{n \to \infty}}{c}\right)-\frac{\sigma~c^3}{\omega}\arcsin \left(\frac{\omega~r_{i=1}}{c}\right)\).
---------------------------
\(\displaystyle \left(\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} E_i / c\right)^2-\left(\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \vec p_i \right)^2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \frac{\Delta m_i~c}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}\right)^2-\left(\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty}\frac{\Delta m_i~\vec v_i}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}} \right)^2=\left(\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \frac{\Delta m_i~c}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}-\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty}\frac{\Delta m_i~\vec v_i}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}\right) \left(\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \frac{\Delta m_i~c}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}+\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty}\frac{\Delta m_i~\vec v_i}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}} \right)=\)\(\displaystyle=\sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \frac{\Delta m_i~(c - \vec v_i)}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}} \sum\limits_{i=1}^{n \to \infty} \frac{\Delta m_i~(c+\vec v_i)}{\sqrt{1-\frac{v_{i}^2}{c^2}}}=\)Если мы будем перемножать эти суммы, то получим три варианта слагаемых
