О формализме Лагранжа

[Петров А. М.]

Хорошо. Переношу свои вопросы в данную тему, но тогда прошу заранее извинить за некоторые неизбежные повторения того, что уже говорил здесь раньше.
Мы хотим привлечь внимание как можно более широкого круга людей, даже не обязательно учёных, а просто имеющих высшее и среднее образование, к положению, сложившемуся в теоретической физике. Понятно, что здесь должны главенствовать два критерия научности: чёткий физический смысл и математическая корректность постановки и решения задач. Иначе говоря, мы имеем дело, по сути, с прикладной математикой, когда в любом исследовании «всё упирается», в конечном счёте, в конкретную математическую формулу. Так неужели и в этом случае «политика» может оказаться сильнее и «продиктовать» решение задачи, нарушающее как физический смысл, так и строгий характер математических выкладок и расчётов?
Поскольку современное состояние теоретической физики (по крайней мере, наши оппоненты против этого не возражают) вполне адекватно отражает «классическое» десятитомное учебное пособие, рекомендованное Министерством образования РФ для студентов физических специальностей университетов (авторы Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц и др.) и, к тому же, на его «непогрешимости» упорно настаивает официальная наука, мы выберем спорные (на любой, даже «не очень просвещённый» взгляд) позиции именно из этого учебного пособия, точнее, из его первого, в силу его основополагающего характера, тома.
Итак, Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая механика. Учеб. пособ. Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. – 5-е изд. – М.: Физматлит, 2001. – 224 с.

[Петров А. М.]

1. Принципиальный спор идёт по поводу положения на с. 10, задающего определённый качественный уровень методологии всего десятитомника:
«Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее её движение».
Сразу возникает вопрос: а куда «пропали» ускорения – главный компонент ньютоновой механики?  Ведь даже если в основу анализа динамической системы положить не силовой, а энергетический баланс, то определяющее влияние на характер движения всё равно будут оказывать ускорения, а не одни только координаты и скорости. Представление же энергетических характеристик как функций, явно (и будто бы только) зависящих от координат и скоростей, с последующим применением аппарата частного дифференцирования по координатам и скоростям, оказывается всего лишь «математической уловкой», искажающей физический смысл  задачи  и приводящей к ошибкам в её решении.
Всё, что смогли на это возразить оппоненты, это нас «поймать на слове»: мол, на с.10 даже «нет слова энергия». Однако «энергетическая направленность» рассматриваемого положения вполне очевидна, потому что далее вводится функция Лагранжа, которая зависит только от координат и скоростей (но не от ускорений!) и имеет физический смысл разности между величинами кинетической и потенциальной энергии системы. Наконец, сама энергия определяется как разность между удвоенной величиной кинетической энергии и функцией Лагранжа.
Для чего создаётся эта, в общем-то никому, кроме «озабоченных» этим аппаратом теоретиков, не нужная, да ещё и чреватая математическими некорректностями и ошибками, «методологическая надстройка»?
Математически корректное выражение для энергии системы получается путём интегрирования силового баланса по пути движения системы, причём независимо от того, замкнутая это или открытая система (т.е. независимо от того, имеет ли дифференциальное уравнение движения нулевую или ненулевую правую часть).
Конечно, энергия системы зависит не только от координат и скоростей, но и от ускорений. Сделав же, с помощью искусственного (конкретнее: взятого из опыта решения довольно узкого класса задач) приёма, эту зависимость неявной, аналитик вовсе не приобретает права полагать аппарат частных производных по координатам и скоростям адекватным любой решаемой задаче.
Основная математическая некорректность здесь состоит в том, что произвольная динамическая задача безо всякого обоснования трактуется как экстремальная, к которой применим вариационный принцип (наименьшего действия). Более того, сам вид функции Лагранжа как разности между величинами кинетической и потенциальной энергии произвольно берётся из частной вариационной задачи о брахистохроне (где именно такой вид подынтегральной функции даёт минимум интеграла движения, т.е. оказывается решением задачи) и затем распространяется на произвольную динамическую задачу.
Так, утверждается, что для любой динамической задачи справедливы следующие положения:
- интеграл по времени от функции Лагранжа, называемый действием, принимает минимальное значение на любом участке траектории движения системы;
- частным дифференцированием  функции Лагранжа по координатам и скоростям можно получить уравнение движения системы в виде баланса действующих в системе сил.

[Петров А. М.]

Оба эти утверждения опровергаются приводимым в том же учебном пособии Ландау-Лифшица примером решения задачи о вынужденных колебаниях осциллятора (сс.83-84).
Чтобы результат решения задачи совпал с известным  решением этой же задачи на основе ньютонова силового баланса, авторы указанного учебного пособия допускают явную математическую некорректность, полагая результат частного дифференцирования произведения двух зависимых друг от друга величин х(t) и F(t) равным  F(t), хотя, на самом деле:
∂(xF)/∂x = F(t) + x(t) ∂F/∂x = F(t) + ∂F/∂(lnx) ≠ F(t).
Однако и этого оказывается не достаточно для того, чтобы скрыть лежащую в основе данной методологии исходную математическую некорректность. Речь идёт о том, что решение задачи завершается расчётом энергетического баланса, в котором учитываются, во-первых, величина работы, совершаемой внешней силой, и, во-вторых, величина пополняемой (и,  возможно, расходуемой) энергии системы.
Иначе говоря, мы имеем нечто похожее на школьную задачу про бассейн: «через трубу А вливается столько-то, через трубу В выливается столько-то, сколько воды будет в бассейне тогда-то?».
Забавно, что наш оппонент поначалу даже не мог понять сути нашей просьбы о том, чтобы он представил энергетический баланс на основе его (т.е. Ландау и Лифшица) решения. Какой ещё баланс?! Сами берите функцию Гамильтона системы, вот вам и вся её энергия, так что никаких балансов!
А всё дело в том, что методологическая ошибка, неизбежная при использовании лагранжева формализма в данной задаче, несмотря на, казалось бы, правильный результат вычисления координат и скоростей, всё-таки не даёт возможности составить энергетический баланс системы. Всему виной то, что, составляя  функцию Лагранжа тогда, когда решение задачи ещё не известно, аналитик вынужден вместо величины работы внешней силы, равной ∫F(t)dx, использовать «суррогат» этой величины в виде –xF(t) (якобы представляющей «дополнительную потенциальную энергию системы за счёт действия внешнего поля»; обратите внимание, со знаком минус!).
 2. Следующей задачей, по которой позиция представителей официальной науки остаётся «непробиваемой», мы назовём задачу о вращающемся волчке.
В § 33 (сс.141-142) того же пособия Ландау-Лифшица рассматривается «регулярная прецессия волчка», которая называется там же «свободным вращением симметрического волчка». Таким образом, здесь, в одном параграфе, сошлись вместе названия двух совершенно разных, даже подчиняющихся разным законам механики, движений. В отсутствие внешних воздействий волчок сохраняет неизменным направление своей оси вращения в пространстве (в этом и состоит «классический» гироскопический эффект). А прецессия – это специфический вид безынерционного вращения, налагающегося на основное вращение при наличии внешнего вращающего момента. Как только внешний вращающий момент исчезает (например, при симметричной подвеске оси вращения), прецессия прекращается.
Наши оппоненты и здесь не нашли сказать ничего более весомого в защиту вышеприведённой несуразности, кроме того, что, мол, Петров настолько ничего в этом вопросе не понимает, что даже перепутал § 33 с § 35!  Дело в том, что авторы пособия рассматривают «регулярную прецессию волчка» дважды, сначала как «свободное вращение симметрического волчка» (что представляет собой абсурд), а затем как движение волчка под внешним воздействием. Естественно, во втором случае всё идёт по уже проторенному пути: вводится функция Лагранжа и т.д. Короче говоря, смысл претензии оппонентов состоит в том, почему Петров «привязался» к первому абсурду, а не стал заниматься ещё и вторым.
Я предлагаю подвергнуть сколь угодно острой критике «позитивную альтернативу» обоим вышеупомянутым абсурдам, а, именно, статью в Научном журнале Энциклопедии БФ «Задача о вращающемся волчке …»

[Петров А. М.]

3. Особого разговора требует Кеплерова задача, также якобы «решённая» авторами пособия на основе лагранжева формализма. Основная ошибка здесь та же. Она заключается в приписывании «дополнительной потенциальной энергии» частице, движущейся в центральном поле (или малому телу, находящемуся  в поле тяготения массивного тела) в виде некой потенциальной функции, не имеющей к Кеплеровой задаче никакого отношения. Здесь мы также особо подчёркиваем неадекватность математического аппарата векторно-тензорного исчисления, лежащего в основе лагранжева формализма,  для решения задач на вращения.
На эту тему в Научном журнале Энциклопедии БФ есть отдельная статья, содержание которой пересказывать здесь было бы излишне. В отличие от существующего подхода к решению Кеплеровой задачи, который приводит лишь к видимости решения и не раскрывает, а лишь затуманивает её физический смысл, мы показываем, что в Кеплеровой задаче мы имеем дело с двумя, налагающимися друг на друга, вращениями. В таких задачах адекватным математическим аппаратом могут быть только алгебры с векторным делением (на плоскости – комплексные числа; в трёхмерном пространстве – кватернионы).
Заметим, что только с помощью такого математического аппарата можно получить возможность синтезировать динамические системы с принципиально новыми свойствами, в частности, гравитационные двигатели с неизменным средним гравитационным потенциалом рабочей массы и системы безопорного движения. Иначе говоря, мы получаем прямой выход на решение весьма актуальных практических задач, которые ни ставить, ни решать теоретическая физика в её нынешнем состоянии не может.
На эти темы также есть соответствующие публикации, как в обычном печатном виде, так и в виде статей в Научном журнале Энциклопедии БФ. Количество просмотров этих материалов велико и с каждым днём продолжает расти, а вот критики пока никакой нет, если не принимать в расчёт претензии оппонента к тому, почему Петров не взялся популяризировать, скажем, трёхмерные варианты Кеплеровой задачи или её решения для движений в микромире (послушайте, давайте сначала придём хоть к какой-то ясности для более простых случаев!).
В свете последних трагических событий в Японии особую остроту приобретает вопрос о разработке и внедрении альтернативных источников энергии. Не пора ли совместными усилиями государства и общественности «дать по рукам» лоббистам, представляющим интересы атомной промышленности и нефтегазового комплекса, которые упорно и пока довольно «успешно» тормозят развитие альтернативной энергетики, особенно гравитационной и вихревой? По крайней мере, уже имеются вполне достаточные юридические основания (в просторечьи – «поганая метла») для того, чтобы очистить академическую и вузовскую науку от этих главных на сегодня препятствий на пути научно-технического прогресса в нашей стране.
Уважаемый Алекспо! Что на эти вопросы ответите лично Вы?
 

[Alexpo]

1. Принципиальный спор идёт по поводу положения на с. 10, задающего определённый качественный уровень методологии всего десятитомника:
«Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет, как показывает опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дальнейшее её движение».
Сразу возникает вопрос: а куда «пропали» ускорения – главный компонент ньютоновой механики?  Ведь даже если в основу анализа динамической системы положить не силовой, а энергетический баланс, то определяющее влияние на характер движения всё равно будут оказывать ускорения, а не одни только координаты и скорости.

Никакого принципиального спора. Есть ваше невнимательное чтение книги Ландау и непонимание того о чем написано. Задание ускорений не нужно, более того в общем случае бесполезно.

Речь у Ландау идет об описании системы материальных точек. Если система задана, то это подразумевает и задание взаимодействия этих точек (сил), а, следовательно, и ускорений тогда остается выяснить, что надо помимо этого задать в системе, чтобы "предсказать дальнейшее её движение". Так вот, для этого достаточно задать только начальные координаты и начальные скорости, о чем и написал Ландау

Да и ускорения никуда не делись. Процитированный вами фрагмент (вырывание фрагмента из контекста вообще вредная штука....) не имеет смысла без следующего абзаца, который отвечает на вопрос для чего задаются начальные скорости и ускорения. Вы не забыли название параграфа? Напомню, он называется "Уравнения движения". Именно уравнения движения должны "предсказать дальнейшее её движение".  Следовательно, надо прочитать то, что написано именно про уравнения движения.   В следующем абзаце написано:

"Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения" .

Вот они ваши ускорения, никуда не делись. И описание движения без них производится не будет.

Замечу так же, что для понимающих Ландау пишет, что уравнения движения представляют собой "дифференциальные уравнения второго порядка". А любой человек, изучивший теорию дифференциальных уравнений должен знать, что для нахождения частного решения дифференциального уравнения второго порядка в качестве начальных условий должны быть заданы значения функции и ее первой производной, т.е. начальной координаты и скорости. Вот об этом и написано . Причем совершенно верно.

Я могу согласиться лишь с тем, что текст Ландау тяжел для начинающих изучение физики, поскольку там не разжевываются очевидные вещи. Подразумевается, что человек, приступивший к изучению курса уже представляет, что значит задать систему, или решить дифф. уравнение второго порядка. Но вы, раз уж взялись за критику, должны бы это знать.  

[Alexpo]

На остальное отвечу, когда будет время

[aid]

Поскольку современное состояние теоретической физики (по крайней мере, наши оппоненты против этого не возражают) вполне адекватно отражает «классическое» десятитомное учебное пособие, рекомендованное Министерством образования РФ для студентов физических специальностей университетов (авторы Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц и др.) и, к тому же, на его «непогрешимости» упорно настаивает официальная наука, мы выберем спорные (на любой, даже «не очень просвещённый» взгляд) позиции именно из этого учебного пособия, точнее, из его первого, в силу его основополагающего характера, тома.
Итак, Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая механика. Учеб. пособ. Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. – 5-е изд. – М.: Физматлит, 2001. – 224 с.

Приведу фразу одного уважаемого ученого - ошибки у Ландау не находил только ленивый. Так что на непогрешимости этого сборника никто не настаивает. Особенно, если говорить о томе Механика - надо учитывать его сжатость. Многие вещи там изложены кратко и допускают разные толкования.

[aid]

Оба эти утверждения опровергаются приводимым в том же учебном пособии Ландау-Лифшица примером решения задачи о вынужденных колебаниях осциллятора (сс.83-84).
Чтобы результат решения задачи совпал с известным  решением этой же задачи на основе ньютонова силового баланса, авторы указанного учебного пособия допускают явную математическую некорректность, полагая результат частного дифференцирования произведения двух зависимых друг от друга величин х(t) и F(t) равным  F(t), хотя, на самом деле:
∂(xF)/∂x = F(t) + x(t) ∂F/∂x = F(t) + ∂F/∂(lnx) ≠ F(t).

Простите, Вы определение этой силы в начале параграфа не посмотрели? Какая зависимость  F от х?

Дело в том, что авторы пособия рассматривают «регулярную прецессию волчка» дважды, сначала как «свободное вращение симметрического волчка» (что представляет собой абсурд)

Тут вообще нет предмета спора. См. того ж   Голдстейна. Регулярная прецессия существует и для Земного шара, как бы кому-то это ни казалось абсурдным.

[yakiniku]

На остальное отвечу, когда будет время

Спасибо за перенос вопросов в эту ветку. Я тогда тоже перенесу сюда свой пост со ссылкой ни причины, изложенные в http://bolshoyforum.com/wiki/index.php/%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%83%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0:Anatoly_Petrov700, по которым я никакие вопросы с Анатолием Михайловичем в будущем обсуждать не намерен. Если Вам, Алекпсо и aid, интересно встать в ряды "негодяев", которые "почувствовали в лице" Анатолия Михайловича "опасность близкой расплаты за совершаемую ежедневно и ежечасно подлость!" -  то флаг Вам в руки.

Кстати, любопытно, что ссылка в предыдушем абзаце дана  на обсуждение, которое из Научного журнала кем-то любовно стерто. Ну-ну. Тогда даю цитату здесь:
===========================================
А.М.Петров: Я знаю, что противник внимательно следит за нашими действиями (почувствовали негодяи в нашем лице опасность близкой расплаты за совершаемую ежедневно и ежечасно подлость!), и намеренно говорю открыто о ближайших наших планах. Во-первых, нам скрывать (в отличие от них) нечего, а, во-вторых, мы и в таком режиме работы им ещё преподнесём сюрприз, который заставит их серьёзно поволноваться. Не захотели предметно обсудить реальные проблемы науки, пусть пеняют на себя (а Садовничий окончательно упал в моих глазах: даже в провокаторпх у него теперь одна шушера!).

А.М.Петров:Всячески изворачиваться, уходить от прямого ответа на конкретные вопросы и тут же, при отсутствии аргументов, переходить на личные оскорбления - вот такой у противника "джентльменский набор" методов и средств для отстаивания "траченых молью" научных концепций прошлых веков. Честный научный спор с этой публикой невозможен.

А.М.Петров: Наглое (от бессилия) поведение "гусей лапчатых" на БФ подтверждает необходимость нашей более целеустремлённой работы на основе единой концепции, с привлечением внимания к ней общественности, законодателей и исполнительной власти.

А.М.Петров: Добавлю только ещё одну небольшую деталь, характеризующую подлую душонку этого "японца" yakiniku.

Простите, Вы определение этой силы в начале параграфа не посмотрели? Какая зависимость  F от х?

Это "пони бегает по кругу" - см http://bolshoyforum.com/wiki/index.php/%D0%9E%D0%B1%D1%81%D1%83%D0%B6%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5:Ab_ovo_%D0%B8%D0%BB%D0%B8_Ab_hoc_et_ab_hac

[aid]

Если Вам, Алекпсо и aid, интересно встать в ряды "негодяев", которые "почувствовали в лице" Анатолия Михайловича "опасность близкой расплаты за совершаемую ежедневно и ежечасно подлость!" -  то флаг Вам в руки. С моей точки зрения - Вы теряете свое время строго впустую - просто в конце Вас обхамят и включат в список тех, кого нужно "гнать поганой метлой".

Да это просто забавно, когда в научном споре оппонент углядывает какие-то глубокие политические мотивы. Особых оскорблений, как, например, позволяет себе Менде, я не вижу. А если Анатолий Петров предложит какую-то любопытную задачу (с тем же балансом энергий в осцилляторе, например), то ее вдальнейшем можно будет использовать в методических целях, да и такие споры стимулируют собственные познания в предмете. Например, с вопросом о кинетических фокусах я разобрался благодаря дискуссиям с Сергеем Юдиным, "опровергшим" принцип наименьшего действия, за что ему благодарен.

[Петров А. М.]

Коллеги! Давайте без «запрещённых приёмов» типа «ваше невнимательное чтение книги Ландау и непонимание того, о чём написано» или «текст Ландау тяжёл для начинающих изучение физики» и т.п. Вы просто пытаетесь оправдать свойственное Ландау пренебрежительное отношение к математическим строгостям как «излишней роскоши», на чём он теперь и «горит» (раньше ему это прощалось, а теперь надо решать задачи, где такие «вольности» уже не допустимы)
Вы сами же и приводите пример его некорректного (как с физической, так и с математической точки зрения) определения:
"Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения".
А разве в колебаниях осциллятора (без диссипативных потерь) ускорение не связано со скоростью? Почему же в уравнении движения скорость отсутствует? Да потому, что уравнение движение - это ньютонов баланс сил, а поскольку в этом балансе нет силы, зависящей от скорости, то и уравнение движения не устанавливает «соотношений, связывающих ускорение со скоростью».
Лагранжев формализм – это «методологическая надстройка» над ньютоновым балансом сил, в общем-то не нужная, но, к сожалению, ещё и «не безобидная».
К с.10 у Ландау система ещё не задана, и никаких ускорений (где-то «за кадром») не подразумевается. Наоборот, исходя из опыта решения вариационных задач, где (в замкнутых системах) «задание ускорений не нужно, более того в общем случае бесполезно», он пытается без них обойтись и в общем случае открытых систем, сводя их к замкнутым системам («пересчитывая» внешнее воздействие во внутреннюю потенциальную энергию системы). Вы просто закрываете глаза на совершаемое при этом насилие и над физикой, и над математикой. 
Насилие над физикой (в случае с осциллятором) заканчивается тем, что возникает «дефицит энергии»: внешняя сила совершает работу одной величины: ∫F(t)dx, - а аналитик полагает, что в систему должна поступить энергия, равная величине x(t)F(t). На кого «списать» разницу? Принимаете ошибку Ландау на себя?
«Игра» в явные и неявные зависимости величин приводит к математическим ошибкам. Действительно, функция F(t) не содержит явной зависимости от функции x(t). Но ведь эти две функции явно связываются между собой уравнением движения. Как же можно это игнорировать? И какая математика может себе позволить это не учитывать?
Лагранжев формализм – это уровень теоретической физики вчерашнего дня. Хотите там ещё на какое-то время задержаться? Ваша воля.

[aid]

Коллеги! Давайте без «запрещённых приёмов» типа «ваше невнимательное чтение книги Ландау и непонимание того, о чём написано» или «текст Ландау тяжёл для начинающих изучение физики» и т.п.
«Игра» в явные и неявные зависимости величин приводит к математическим ошибкам. Действительно, функция F(t) не содержит явной зависимости от функции x(t). Но ведь эти две функции явно связываются между собой уравнением движения. Как же можно это игнорировать? И какая математика может себе позволить это не учитывать?
Лагранжев формализм – это уровень теоретической физики вчерашнего дня. Хотите там ещё на какое-то время задержаться? Ваша воля.

Во-первых, тогда и Вы постарайтесь обойтись без "запрещенных приемов" типа "Лагранжев формализм – это уровень теоретической физики вчерашнего дня. Хотите там ещё на какое-то время задержаться? Ваша воля."
Во-вторых, функция F(t) по определению не зависит явно от x. На это указывает ее определение в формуле, на которую я сослался. В этом вполне наглядный смысл. Если рассматривая колебания частицы в поле переменной силы брать в данный момент времени разные положения частицы, от этого сила в данный момент времени зависеть не будет. Просто для разных положений частицы в определенный момент времени получите разные кинематические ур-я движения, но сама сила, действующая на частицу от положения частицы засисеть не будет - она зависит только от времени, а не от того, где в данный момент времени находится частица, на которую эта сила действует (в отличие от силы упругости -kx, например). В третьих, Вам следует доказать, что использование частных производных действительно здесь приводит к ошибкам. Вы, кажется, уже писали, что не возражаете против частных производных в целом. Так покажите, что здесь возникает мат. ошибка. Вы же что-то писали про баланс энергий, который не выполняется, якобы. Продемонстрируйте. А то, что кому-то не нравится, что орбиты планет - не окружности - не повод отказываться от законов Кеплера.

[aid]

Насилие над физикой (в случае с осциллятором) заканчивается тем, что возникает «дефицит энергии»: внешняя сила совершает работу одной величины: ∫F(t)dx, - а аналитик полагает, что в систему должна поступить энергия, равная величине x(t)F(t). На кого «списать» разницу? Принимаете ошибку Ландау на себя?

Нет, не предлагаем, т.к. мы не полагаем, что "в систему должна поступить энергия, равная величине x(t)F(t)". Объясните, почему Вы так полагаете? Хотел расписать Вам баланс энергий, но вспомнил, что это подробно и наглядно сделал Якинику. Если Вы выбираете тактику игнорирования ответов оппонентов и повторения уже опровергнутых тезисов, то дискуссия невозможна.

[Alexpo]

Коллеги! Давайте без «запрещённых приёмов» типа «ваше невнимательное чтение книги Ландау и непонимание того, о чём написано»

Содержание моих ответов полностью зависит от содержания обращения ко мне. Если бы вы просто попросили меня высказать свое понимание текста Ландау, то я бы его просто и высказал. Однако вы заявили, что там содержится ошибка. Поскольку я считаю, что там ошибки нет, то, следовательно, просто вынужден сделать вывод, что ошибаетесь вы, о чем я вам и написал.

Кроме того, вы сами делаете "запрещенные" высказывания о "вчерашнем дне", не имея на то оснований. Я уж не говорю о ваших эскападах про негодяев, подлость и т.п.

Еще раз замечу, что вы сами делаете ошибку, заявляя

Конечно, энергия системы зависит не только от координат и скоростей, но и от ускорений.

Величина энергии системы определяется координатами (потенциальная) и скоростями (кинетическая) и от величины ускорения не зависит. Это означает, что, если вам даны координаты и скорость тела, то вы знаете его энергию, независимо от ускорения.

Ускорение определяет ИЗМЕНЕНИЕ скорости и, следовательно, ИЗМЕНЕНИЕ энергии, но через значение скорости. Поэтому , влияние ускорения на величину энергии сидит внутри скорости, а сама энергия зависит от величины скорости, а не ускорения.

Ваша же формулировка говорит о явной зависимости энергии от ускорения помимо скорости, что неверно.

[Alexpo]

Вы просто пытаетесь оправдать свойственное Ландау пренебрежительное отношение к математическим строгостям как «излишней роскоши», на чём он теперь и «горит» (раньше ему это прощалось, а теперь надо решать задачи, где такие «вольности» уже не допустимы)

Да нет у Ландау пренебрежения математической строгостью. И ошибок там, где вы их находите нет. Есть методические недостатки при изложении, о чем я и написал. Но для подготовленного человека в этом нет проблемы.

Вы сами же и приводите пример его некорректного (как с физической, так и с математической точки зрения) определения:
"Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения".
А разве в колебаниях осциллятора (без диссипативных потерь) ускорение не связано со скоростью? Почему же в уравнении движения скорость отсутствует?

Все совершенно корректно, как с физической так и с математической точки зрения. Общая формулировка "Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями, называются уравнениями движения" включает в себя частный случай, когда в уравнение движения скорость не входит. Более того, оно включает в себя и частный случай, когда в уравнение движения не входит само ускорение (равномерное движение).

Откройте любой учебник по теории дифференциальных уравнений и найдите определение дифференциального уравнения второго порядка. Для x(t) это
F(t,x,x',x'')=0
т.е. в него могут входить переменная t, сама функция x(t) и ее производные x' и x''. Однако, наличие всех этих составляющих не обязательно (кроме  x''). Уравнение F(t,x,x'')=0 по прежнему является дифф. уравнением второго порядка, несмотря на отсутствие x' (скорости)

А разве в колебаниях осциллятора (без диссипативных потерь) ускорение не связано со скоростью? Почему же в уравнении движения скорость отсутствует?

Здесь у вас идет игра словами. Конкретно словом "связано". У Ландау слово "связано" не означает зависимость ускорения от скорости и координат. В книге в этом случае говорится просто о связи между координатой, скоростью и ускорением, которая выражается уравнением движения. Если же говорить о том, что от чего зависит, то из самого смысла уравнения движения - это зависимость координаты от скорости и ускорения. Ландау об этом специально не пишет, поскольку это должны знать все, кто приступил к чтению его книги. Я еще раз повторяю, это не учебник по элементарной физике. Так вот, в эту связь скорость может входить, а может и не входить, как это имеет место в уравнении гармонического осциллятора.

Ускорение всегда связано со скоростью, в том смысле, что является производной скорости. Но нельзя говорить, что ускорение зависит от скорости. И эта связь непосредственного отношения к вхождению или невхождению скорости в уравнение движения не имеет.

К с.10 у Ландау система ещё не задана, и никаких ускорений (где-то «за кадром») не подразумевается.

Неверно. Система задана тем, что написано "Для определения положения системы из N материальных точек....". Ускорения подразумеваются. Я еще раз повторяю, это не учебник по элементарной физике. Напоминаю, параграф называется "Уравнения движения". Причем этот параграф чисто справочного толка для введения НЕКОТОРЫХ понятий и обозначений. Тот, кто начинает читать Ландау, уже должен знать, что уравнения движения относятся к разделу механики, который называется кинематикой. Кинематика по определению не занимается вопросом о причинах и величинах ускорений. А уравнения движения лишь связывают координату с ускорением, а не дают выражение для величины ускорения. Поэтому ускорения в кинематике считаются заданными. Так вот, если ускорения заданы (вопрос об этом выходит за рамки параграфа уравнения движения), то для того чтобы "предсказать дальнейшее её движение" достаточно задать только начальные координаты и начальные скорости. Об этом совершенно правильно написано у Ландау.

[Петров А. М.]

Обиделись за лагранжев формализм? Так ведь он, действительно, создан не сегодня и даже не вчера, а во второй половине XVIII – первой половине XIX века. Можно ли его применять сегодня? Можно, но только в строго ограниченной области, а не как универсальное средство для решения любых динамических задач. По крайней мере, мы видим, что даже для решения такой простой задачи, как о вынужденных колебаниях осциллятора, он приводит к ошибке. Какой?
Координату и скорость Ландау-Лифшиц находят правильно (потому что «подгоняют» свой формализм под ньютонов баланс сил и выдают решение задачи на его основе за своё). А вот расчёт энергии системы если вести его на основе лагранжева формализма, ошибку скрыть не может. Если это всё ешё не ясно,  придётся показать ещё раз.
Но сначала выскажу удивление тем, что якобы для меня «баланс энергий … подробно и наглядно сделал Якинику». Он просто отослал меня к функции Гамильтона, представляющей собой общую энергию системы. Само понятие энергетического баланса, как равенства величин выполняемой внешней силой работы и накапливаемой в системе энергии, насколько я понял, ему чуждо. Ведь что в лагранжевом, что в гамильтоновом формализме внешнее воздействие заранее (ешё до решения задачи) пересчитывается в «дополнительную потенциальную энергию системы» и включается в общую энергию системы (естественно, со знаком минус, потому что поначалу это лишь «зарезервированный объём» ожидаемого поступления энергии, которой в системе нет). Ну, а раз так, то никакого баланса (работы и энергии) в системе будто бы и нет.
Но энергетический баланс составлять всё-таки  нужно. За счёт чего энергия системы возрастает? За счёт работы внешней силы. Так давайте проверим, правильно ли мы решили задачу, а, именно, совпадают ли величины работы внешней силы и накапливаемой в системе энергии.
Однако читаю недоумённое: «... мы не полагаем, что "в систему должна поступить энергия, равная величине x(t)F(t)". Объясните, почему Вы так полагаете?».
Я тоже так не полагаю. Так полагают Ландау-Лифшиц (с. 82): «… В потенциальной энергии появляется член  –xF(t) …». Это и есть та энергия, которая, по мере движения системы, должна в ней накапливаться за счёт работы внешней силы.
Однако величина  работы внешней силы, согласно законам физики, равняется ∫F(t)dx, что не совпадает с «запланированной» величиной энергии xF(t), которая должна поступить в систему согласно лагранжеву формализму. Значит, задача на основе его применения решена неверно. Что и требовалось доказать.

[Петров А. М.]

В чём же состоит основная математическая некорректность, которая приводит к неправильному решению задачи? Оппонент сам на это указывает:
«…Функция F(t) по определению не зависит явно от x. На это указывает её определение в формуле, на которую я сослался. В этом вполне наглядный смысл. Если, рассматривая колебания частицы в поле переменной силы, брать в данный момент времени разные положения частицы, от этого сила в данный момент времени зависеть не будет. Просто для разных положений частицы в определённый момент времени получите разные кинематические ур-я движения, но сама сила, действующая на частицу от положения частицы зависеть не будет - она зависит только от времени, а не от того, где в данный момент времени находится частица, на которую эта сила действует (в отличие от силы упругости -kx, например)… Вам следует доказать, что использование частных производных действительно здесь приводит к ошибкам».
Действительно, величина функции F(t) не зависит от того, в каком положении находится частица, т.е. сама по себе не зависит от координаты x(t). Но ведь она существует «не сама по себе». Для величины работы, выполняемой внешней силой, важной оказывается «согласованность» изменеиий во времени функций F(t) и x(t).
Поскольку лагранжев формализм, оперируя произведением функций x(t)•F(t), предполагает возможность, при частном дифференцировании этого произведения по его сомножителям, проигнорировать установленную уравнением движения связь между ними, то мы попробуем оценить погрешность этой процедуры на примере частного дифференцирования самого уравнения движения (Ландау-Лифшиц, с. 83):
d²x/dt²+ω²x=(1/m)F(t).
Соблюдая требования лагранжева формализма, частным дифференцированием уравнения движения по х получаем следующий результат: ω²=0. Аналогичным образом, дифференцируя уравнение движения по F(t), получаем: 0=1/m.
Из абсурдности обоих полученных результатов следует некорректность применения лагранжева формализма для решения данной задачи.
И всё же удивительно, сколь сильна вера в «объективность» субъективно принимаемых нами формализмов. Возьмём формулу второго закона Ньютона: mdv/dt=F, - и проинтегрируем её левую часть по координате х с переменным верхним пределом (начиная с нулевых значений координаты x и скорости v):
m∫(dv/dt)dx=m∫(dx/dt)dv=mv²/2=E.
Мы получили, по крайней мере, два различных выражения для кинетической энергии, которые можно представить в виде явной функциональной зависимости: либо как традиционно используемое выражение E(v), либо как почти не используемое, но подразумеваемое, E(dv/dt). В первом случае кинетическая энергия явно зависит от скорости, во втором – от ускорения. Соответственно, в первом случае зависимость кинетической энергии от ускорения – неявная, как во втором случае – от скорости. Ну, и что из этого следует? Если приоритет не отдан физическому смыслу задачи, математические «игры» в явные или неявные функциональные зависимости оказываются просто бессодержательными.
Видимо, уже можно подводить итог, поскольку «охранительная» позиция оппонентов понятна и ясна: «не отступать ни на пядь, держаться до последнего!». Вопрос, правда, в том,, оценят ли это по достоинству.

[aid]

Обиделись за лагранжев формализм? Так ведь он, действительно, создан не сегодня и даже не вчера, а во второй половине XVIII – первой половине XIX века.

А законы Ньютона открыты еще раньше

Можно ли его применять сегодня? Можно, но только в строго ограниченной области, а не как универсальное средство для решения любых динамических задач. По крайней мере, мы видим, что даже для решения такой простой задачи, как о вынужденных колебаниях осциллятора, он приводит к ошибке.

Уравнения Лагранжа в том виде, как они приведены у ЛЛ, действительно применимы только в ограниченной области, но ограничения не в том, что Вы думаете. Например, они будут неприменимы в таком виде при наличии трения.

Координату и скорость Ландау-Лифшиц находят правильно (потому что «подгоняют» свой формализм под ньютонов баланс сил и выдают решение задачи на его основе за своё).

Что значит - за свое? Вы же написали, что формализм появился в 19 веке, а Ландау жил попозже И где  Вы увидели подгонку? Попахивает клеветой.

А вот расчёт энергии системы если вести его на основе лагранжева формализма, ошибку скрыть не может. Если это всё ешё не ясно,  придётся показать ещё раз.
Но сначала выскажу удивление тем, что якобы для меня «баланс энергий … подробно и наглядно сделал Якинику». Он просто отослал меня к функции Гамильтона, представляющей собой общую энергию системы. Само понятие энергетического баланса, как равенства величин выполняемой внешней силой работы и накапливаемой в системе энергии, насколько я понял, ему чуждо. Ведь что в лагранжевом, что в гамильтоновом формализме внешнее воздействие заранее (ешё до решения задачи) пересчитывается в «дополнительную потенциальную энергию системы» и включается в общую энергию системы (естественно, со знаком минус, потому что поначалу это лишь «зарезервированный объём» ожидаемого поступления энергии, которой в системе нет). Ну, а раз так, то никакого баланса (работы и энергии) в системе будто бы и нет. Но энергетический баланс составлять всё-таки  нужно. За счёт чего энергия системы возрастает? За счёт работы внешней силы. Так давайте проверим, правильно ли мы решили задачу, а, именно, совпадают ли величины работы внешней силы и накапливаемой в системе энергии.

Тоже выскажу удивление - я в сообщении Якинику видел объяснение, а Вы - не видели. К чему бы это. Ладно, повторю один раз без особой надежды, что Вы и в этот раз увидите.
  Итак, находим H=mv^2/2+kx^2/2-x*F(t). dH/dt=(dH/dt)частная=-xdF/dt. Отсюда /\H=-∫x(dF(t)/dt)dt=-/\(xF)+∫F(t)dx
Далее небольшая ремарка. Если Вы хотите рассматривать изменение энергии как результат работы внешней силы, то в качестве энергии можете выбрать Е=mv^2/2+kx^2/2. Действительно, само введение понятия потенциальной энергии - уже формализм, выходящий за рамки ньютонова подхода. Исходно было бы применять теорему об изменении кинетической энергии через работу внешних сил. Иначе Вы можете объявить невыполняющимся баланс даже для обычного осциллятора - мол сила упругости действует, а энергия не меняется.
Итак, Н=Е-x*F(t). /\E= /\H+/\(xF)=-/\(xF)+∫F(t)dx+/\(xF)=∫F(t)dx.

Что и требовалось доказать.

Однако читаю недоумённое: «... мы не полагаем, что "в систему должна поступить энергия, равная величине x(t)F(t)". Объясните, почему Вы так полагаете?».
Я тоже так не полагаю. Так полагают Ландау-Лифшиц (с. 82): «… В потенциальной энергии появляется член  –xF(t) …». Это и есть та энергия, которая, по мере движения системы, должна в ней накапливаться за счёт работы внешней силы.
Однако величина  работы внешней силы, согласно законам физики, равняется ∫F(t)dx, что не совпадает с «запланированной» величиной энергии xF(t), которая должна поступить в систему согласно лагранжеву формализму. Значит, задача на основе его применения решена неверно. Что и требовалось доказать.

Просто Вы неправильно понимаете смысл потенциальной энергии в нестационарном случае. В случае U=U(x,t)  /\U=-∫F(t)dx - при фиксированном моменте времени. А Вы бездумно пытаетесь перенести частные соотношения на более общий случай. Типичная ошибка опровергателей.

[Петров А. М.]

Нет уж, простенькой символьной записью не отделаетесь! Чем хороша задача об осцилляторе? Тем, что в ней все характеристики системы поддаются строгому расчёту, вплоть до конкретных формул и цифр.
Ранее мною уже был показан фрагмент вычисления энергетического баланса осциллятора в тригонометрических функциях. Теперь представим этот расчёт полностью, но, для более компактной записи, воспользуемся преимуществом экспоненциальных функций перед тригонометрическими и дадим этот расчёт в комплексных числах (имея в виду, что реальный физический процесс описывается действительной частью этих чисел).
Итак, имеем уравнение движения осциллятора в режиме резонанса на частоте ω (Ландау-Лифшиц, сс. 83-85):
m (d²x/dt²) + mω²x = f exp(iωt).
Решение этого уравнения следующее:
x=(–ift/2mω) exp(iωt),
dx/dt=(–if/2mω) exp(iωt) +(ft/2m) exp(iωt),
d²x/dt²=(f/m) exp(iωt) +(ifωt/2m) exp(iωt).
Воспользовавшись полученным решением, рассчитаем энергетический баланс системы. Для этого проинтегрируем уравнение движение по координате х (с переменным верхним пределом, начиная с нулевых значений координаты х и времени t; для экономии места в выкладках скорость обозначим буквой v=dx/dt). Итак, последовательными преобразованиями получаем:
∫m(d²x/dt²)dx + ∫mω²xdx = ∫f exp(iωt) dx,
m ∫(dv/dt)dx + mω²∫xdx = f ∫exp(iωt) (dx/dt)dt,
m ∫vdv + mω²∫xdx = f ∫(–if/2mω+ft/2m) exp(i2ωt) dt,
m∫d(v²/2)+mω²∫d(x²/2)=(–if²/2mω)∫exp(i2ωt)dt+
+(f²/2m)∫texp(i2ωt)dt,
(–f²/8mω²)exp(i2ωt)dt+(f²/8mω²)+(f²t²/8m)exp(i2ωt)dt+
+(–if²t/4mω)exp(i2ωt)dt+(–f²t²/8m)exp(i2ωt)dt=
=(–f²/4mω²)exp(i2ωt)dt+(f²/4mω²)+(–if²t/4mω)exp(i2ωt)+
+(f²/8mω²)exp(i2ωt)dt+(–f²/8mω²)
и окончательно
(–f²/8mω²)exp(i2ωt)+(f²/8mω²)+(f²t²/8m)exp(i2ωt)+
+(–if²t/4mω)exp(i2ωt)+(–f²t²/8m)exp(i2ωt)=
=(–f²/8mω²)exp(i2ωt)dt+(f²/8mω²)+(–if²t/4mω)exp(i2ωt).
В правой части энергетического баланса представлена работа внешней силы, которая разделяется на три составляющие: 1) постоянную (на нулевой частоте); 2) с постоянной амплитудой на удвоенной частоте относительно собственной частоты резонатора; 3) с линейно во времени возрастающей амплитудой на той же удвоенной частоте. Все три указанные составляющие непосредственно преобразуются в точно такие же по величине три составляющие кинетической энергии системы, представленные в левой части энергетического баланса - первым, вторым и четвёртым слагаемым. Третье слагаемое (левой, внутренней части энергетического баланса) фиксирует факт преобразования кинетической энергии в потенциальную энергию (энергию «сжатой пружины» в механическом варианте колебательной системы), которая представлена пятым членом левой части энергетического баланса (естественно, эти величины равны друг другу по абсолютной величине и противоположны по знаку).
Напомним, что лагранжев формализм исходит из того, что весь этот сложный динамический процесс можно свести к более простому процессу в некой замкнутой системе, заранее «пересчитав» результат внешнего воздействия в «дополнительную потенциальную энергию системы», равную (со знаком минус) –xF(t). В рассматриваемом нами примере эта величина должна равняется (–if²t/2mω)exp(i2ωt), что, конечно, до крайности примитивизирует и грубо искажает реальный физический процесс.
Нечего и говорить, что никакого «минимального действия» в резонансном процессе нет, прежде всего, по причине «не экстремального» характера данной динамической задачи и бессмысленности введения и использования в ней понятия «действия». Мы просили оппонента, не согласного с таким заключением, дать расчёт «действия» для осциллятора и показать, каким образом достигается его минимум. Как и в случае с энергетическим балансом, его ответ свёлся лишь к не связанным с конкретной задачей манипуляциям абстрактными символами.
А теперь, как говорят французы, «revenons à nos moutons» («вернёмся к нашим баранам»; только прошу не принимать это ни за какой намёк).
На Большом Форуме была открыта тема «А научный ли журнал Менде?». Если мы своими публикациями кого-то ещё не убедили в том, что этот журнал научный, то мы обязуемся продолжать нашу работу с ещё бóльшим усердием, чтобы это доказать.
Однако сейчас, мне кажется, настал «момент истины» для ответа на другой вопрос: «А научный ли форум Алекспо?». Я имею в виду вовсе не возможную ошибочность каких-то высказываемых на нём суждений. Ошибиться может каждый. Я имею в виду действия человека после того, как он обнаружил, что ошибся. Признание ошибки – достойный поступок, снимающий с «повестки дня» вопросы, подобные поставленному выше.
Но,конечно, возможны и другие варианты действий. Когда некто усомнился в научности работ Ф.Ф.Менде, он сам попросил, через Президента РАН, чтобы комиссия академика Круглякова на своём заседании рассмотрела этот вопрос и вынесла своё решение. Поскольку никакого ответа не последовало, будем этот вопрос на сегодня считать закрытым. Но не следует ли аналогичным образом поставить тот же вопрос в отношении каких-то других людей?

[aid]

Нет уж, простенькой символьной записью не отделаетесь!

С каких это пор частный расчет ценится больше, чем общее доказательство? Если считаете, что я ошибся, покажите где. Вы не признаете своих ошибок. Вам указывают на них, но вместо того, чтобы признать, Вы вываливаете все новые фантазии. Возникает ли вопрос - а научен ли подход Петрова?

Напомним, что лагранжев формализм исходит из того, что весь этот сложный динамический процесс можно свести к более простому процессу в некой замкнутой системе, заранее «пересчитав» результат внешнего воздействия в «дополнительную потенциальную энергию системы», равную (со знаком минус) –xF(t). В рассматриваемом нами примере эта величина должна равняется (–if²t/2mω)exp(i2ωt), что, конечно, до крайности примитивизирует и грубо искажает реальный физический процесс.

Как говорится - много букв. Так что там у Вас с энергетическим балансом? Меня не интересуют эмоциональные выкрики про примитивизацию процесса. Примитивизация процесса происходит при составлении уравнения, а не при его решении. Например, примитивизация в том, что не учитывается ангармонизм. Вы все время видите ошибки там, где их нет.

Нечего и говорить, что никакого «минимального действия» в резонансном процессе нет, прежде всего, по причине «не экстремального» характера данной динамической задачи и бессмысленности введения и использования в ней понятия «действия». Мы просили оппонента, не согласного с таким заключением, дать расчёт «действия» для осциллятора и показать, каким образом достигается его минимум. Как и в случае с энергетическим балансом, его ответ свёлся лишь к не связанным с конкретной задачей манипуляциям абстрактными символами.

Пытайтесь просто понять смысл слов оппонента. Я повторю - действие для осциллятора не будет минимальным, если рассматривать промежуток времени больше полупериода. И не надо резонанса или вынужденных колебаний. Это же будет для обычного осциллятора, совершающего гармонические колебания.

Ошибиться может каждый. Я имею в виду действия человека после того, как он обнаружил, что ошибся. Признание ошибки – достойный поступок, снимающий с «повестки дня» вопросы, подобные поставленному выше.

Вот именно, постарайтесь это примерить на себя.

Когда некто усомнился в научности работ Ф.Ф.Менде, он сам попросил, через Президента РАН, чтобы комиссия академика Круглякова на своём заседании рассмотрела этот вопрос и вынесла своё решение.

Как-то скромно. Почему он не обратился в нобелевский комитет, чтобы там проверили научность его работ? Увы, Менде оказался столь мелкой моськой, на которую комиссия Круглякова даже не обращает внимания.