О формализме Лагранжа

[комукак]

А чего ж Вы петь отказались? Не умеете?

Я много чего не умею

[aid]

Ну сколько раз тебе говорить, никто с тобой спорить не собирается. Пока прописные истины не усвоишь.

Ну дык Вы же объяснить обещали. Я задаю вопросы по Вашему опусу. Теперь в кусты?
И не Вам про прописные истины вякать. Не знаешь закона Ома - сиди дома

[В.И.Костицын]

Ну дык Вы же объяснить обещали. Я задаю вопросы по Вашему опусу. Теперь в кусты?
И не Вам про прописные истины вякать. Не знаешь закона Ома - сиди дома

Пока букварь не выучишь, не приставай. Как выучишь, то доложишь. Я тебе пару контрольных вопросов задам и только после этого сможешь засорять форум своими вопросами.
Какой Вы право же нетерпеливый. Новые знания непросто в преклонном возрасте даются.

[aid]

Пока букварь не выучишь, не приставай. Как выучишь, то доложишь. Я тебе пару контрольных вопросов задам и только после этого сможешь засорять форум своими вопросами.
Какой Вы право же нетерпеливый. Новые знания непросто в преклонном возрасте даются.

Дядя, а с чего Вы взяли про мой преклонный возраст? Или это Ваша гениальная дочка определила?
В общем, стандартный слив. Как тут Лехман писал - не можешь объяснить по простому своей теории, а только огрызаешься и переходишь на личности - значит, ты нихрена не понимаешь, а просто имитируешь деятельность. С чем Вас и поздравляю.
 
А в букварь сами и сходите - вспомните, что такое сопротивление

[комукак]

Пока букварь не выучишь, не приставай. Как выучишь, то доложишь. Я тебе пару контрольных вопросов задам и только после этого сможешь засорять форум своими вопросами.
Какой Вы право же нетерпеливый. Новые знания непросто в преклонном возрасте даются.

Костицын!

Посмотри с кем ты имеешь дело :

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=182916.40

[В.И.Костицын]

Костицын!

Посмотри с кем ты имеешь дело :

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=182916.40

Да я давно понял, что без подлянки Аид умрет через 12 часов. Интеллектуальный вампир.
Кстати, посмотри собственную ссылку.
С победой!

[В.И.Костицын]

Дядя, а с чего Вы взяли про мой преклонный возраст?

Так ты еще и салага!
А в разговоры взрослых мужиков вмешиваешься. Совсем эта салажня распоясалась.

[Петров А. М.]

Как в анализе динамических систем появляется функция Лагранжа L, равная разности величин кинетической и потенциальной энергии? Покажем это на примере осциллятора, уравнение движения которого в режиме свободных колебаний описывается следующим балансом сил:
mdv/dt=–kx,
где m – величина колеблющейся массы,
 x – координата, соответствующая отклонению массы от положения равновесия,
 v – скорость изменения координаты,
 dv/dt – ускорение,
 k – жёсткость возвратной пружины (в механической интерпретации осциллятора).
Перепишем уравнение движения так, чтобы в правой части был ноль, означающий отсутствие внешнего воздействия:
mdv/dt+kx=0.
Теперь перейдём от силового баланса к энергетическому, для чего умножим оба члена уравнения на элементарное перемещение dx и проинтегрируем уравнение с нулевым нижним и переменным верхним пределами:
m(dv/dt)dx+kxdx =0,  
∫mvdv+∫kdx²/2=const,  
mv²/2+kx²/2=const.
В данном случае силовой и энергетический балансы по своему физическому содержанию равноценны и равноправны. Действительно, интегрируя силовой баланс по координате x, получаем энергетический баланс. А дифференцируя  энергетический баланс по той же координате x, возвращаемся к силовому балансу. При равной нулю внешней силе такая интегро-дифференциальная связь означает, что амплитуда колебаний в системе и, следовательно, её энергия остаются постоянными.
Однако различия между двумя рассматриваемыми балансами всё-таки имеются и существенные. Прежде всего, по внешнему виду: силовой баланс представляет собой линейное дифференциальное уравнение, а энергетический баланс – нелинейное. Поэтому, естественно, задачу об осцилляторе удобнее решать именно в терминах ньютонова баланса сил. Но есть различия и по сути: сила – это измеряемая физическая величина, т.е. первичная, а энергия – величина, вычисляемая по неким (к тому же, не однозначно определяемым) правилам, т.е. вторичная. Это различие становится принципиально важным при усложнении задачи, а именно: при учёте внешнего воздействия (когда дифференциальное уравнение движения становится неоднородным) и с переходом в многомерное пространство координат (когда применяется векторно-тензорный математический аппарат, принципиально устраняющий линейную интегро-дифференциальную связь между силой и энергией). В этих случаях корректное составление энергетического баланса, без предварительного решения задачи, невозможно, в чём мы убедимся ниже.
Для составления баланса сил наличие внешней силы препятствий не создаёт, а если мы хотим начать решение задачи с составления энергетического баланса, то придётся каким-то (не вполне или даже вовсе не корректным) способом заранее оценить величину и темп ожидаемого поступления энергии извне.
В качестве случая, удобного для проверки корректности математических выкладок, возьмём явление резонанса, возникающее при совпадении частот изменения внешней силы и собственных колебаний системы. В этом случае, при постоянной амплитуде внешней силы, амплитуда колебаний осциллятора возрастает линейно во времени и, соответственно, энергия системы возрастает по квадратичному закону.
Как известно, идея «лагранжева формализма» (функции Лагранжа или на языке теории операторов – лагранжиана) основана на том факте, что энергия системы в отсутствие внешних воздействий остаётся постоянной. Эта константа при дифференцировании (по координате) обращается в ноль (т.е. преобразуется в нулевую сумму сил). Но аналогичным образом она должна обратиться в ноль и при варьировании определяющих величину энергии параметров, каковыми являются координата и скорость. То, что в величине энергии не представлено в явном виде ускорение, даже даёт надежду на некоторое упрощение выкладок.
Правда, для варьирования параметров надо допустить, что они линейно независимы друг от друга, а именно: при изменении одной величины другая должна оставаться неизменной и наоборот. Иначе воспользоваться математическим аппаратом частных производных было бы невозможно.
Однако ясно, что такая процедура представляет собой очевидное «насилие» над физической действительностью, ибо между координатой и скоростью существует линейная (интегро-дифференциальная) зависимость, и ни одну из них физически нельзя изменить независимо от другой. Тем не менее, поскольку такая процедура уже широко применяется, нам ничего другого не остаётся, как посмотреть, к чему она приводит в итоге.

[Петров А. М.]

Итак, находим первую вариацию от энергетического баланса осциллятора:
δ∫mdv²/2+δ∫kdx²/2=0  или  m∫vδvdt+k∫xδxdt=0.  
Замечая, что δv=(d/dt)δx, интегрируем первый член по частям:
mv[δx(t)–δx(0)]–m∫(dv/dt)δxdt+k∫xδxdt=0.
Поскольку, по условию задачи, вариации координат в начальной и конечной точках интегрирования равны нулю, то первый член, включающий разность вариаций координат в указанных точках, в этом выражении исчезает. В результате получаем следующее уравнение:
m∫(dv/dt)δxdt–k∫xδxdt=0  или  δ∫(mv²/2–kx²/2)dt=0.
Подынтегральное выражение в этом уравнении и есть функция Лагранжа:
L=mv²/2–kx²/2.
А  интеграл от функции Лагранжа по времени, как известно, называется  «действием».
Что означает равенство нулю вариации действия? В общем случае – «всё, что угодно»: от экстремального (наименьшего или наибольшего) значения действия на данной траектории до его «стационарного» характера (физический смысл последнего в нашем случае заключается  в постоянстве энергии системы).
Если абстрагироваться от возможной некорректности применения аппарата частных производных, то для режима свободных колебаний осциллятора метод силовых балансов  и лагранжев формализм, с определённым допущением, можно признать равноценными.
Но в случае вынужденных колебаний картина иная. Метод силовых балансов здесь применим без ограничений. А вот лагранжев формализм (будем иметь в виду случай резонансного накопления энергии в системе) утрачивает свою «базовую опору» в виде постоянства величины энергии в системе. Посмотрим, какой «выход» из этого положения находят авторы «Механики» Ландау и Лифшиц (сс.82-85):
«…Уравнение движения есть
md²x/dt²+kx=F(t),  или
d²x/dt²+ω²x=(1/m)F(t),        (22.2)
где мы снова ввели частоту ω свободных колебаний.
…В случае резонанса амплитуда колебаний растёт линейно со временем…
Энергия системы, совершающей вынужденные колебания, разумеется, не сохраняется; система приобретает энергию за счёт источника внешней силы».
А теперь сопоставим конечные результаты решения этой задачи разными методами. Интегрируя баланс сил по координате x с переменным верхним пределом, получаем энергетический баланс системы:
mv²/2+kx²/2=∫F(t)dx  или  mv²/2+kx²/2=∫F(t)v(t)dt.  
Решив это уравнение и подставив в него найденные функции x(t) и v(t), получаем тождественное равенство: в левой части – возрастающая во времени по квадратичному закону энергия системы, в правой части – величина работы внешней силы в качестве источника пополнения энергии системы.
А что у Ландау-Лифшица? Цитируем:
«§22. Вынужденные колебания.
…В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией (1/2)kx² система обладает ещё потенциальной энергией Uе(x, t), связанной с действием внешнего поля…
–∂Uе/∂x есть внешняя “сила”, действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим её как F(t). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член  –xF(t), так что функция Лагранжа системы будет
L=mv²/2–kx²/2+xF(t).        (22.1)».
Вот так, ещё не решая задачу, Ландау-Лифшица уже «прикинули», как будет пополняться энергия осциллятора в режиме вынужденных колебаний и … грубейшим образом ошиблись!
По Ландау-Лифшицу энергия осциллятора в режиме резонанса должна пополняться по закону xF(t), т.е. линейно во времени. А на самом деле эта энергия возрастает по закону  ∫F(t)dx =∫F(t)v(t)dt, т.е. квадратично во времени! Причём, на с.85 авторы сами фактически признают допущенную ошибку, но исправлять её отнюдь не собираются, поскольку для этого нужно было бы отказаться от используемой ими порочной методологии:
«Определим полную энергию, передаваемую системе за всё время действия силы (от  –∞ до +∞), предполагая  начальную энергию равной нулю… Получим искомую передачу энергии… Она определяется квадратом модуля компоненты Фурье силы F(t) с частотой, равной собственной частоте системы».
Позорное в этой истории не то, что подобные ошибки совершаются, а то, что официальные научные инстанции (включая РАН и МГУ, как ведущий вуз страны), вместо скорейшего исправления обнаруженных ошибок, встают на путь их замалчивания, ставя превыше всего защиту «чести мундира» (к сожалению, уже изрядно «траченного молью»).

[aid]

Так ты еще и салага!
А в разговоры взрослых мужиков вмешиваешься. Совсем эта салажня распоясалась.

Вот демонстрация поведения Костициных. Если они считают собеседника старым, будут издеваться над возрастом, если молодым, будут издеваться ... над возрастом. В общем в любом случае перейдут на личные оскорбления. А что им еще остается, если аргументировать свой бред не могут.

[В.И.Костицын]

Вот демонстрация поведения Костициных. Если они считают собеседника старым, будут издеваться над возрастом, если молодым, будут издеваться ... над возрастом. В общем в любом случае перейдут на личные оскорбления. А что им еще остается, если аргументировать свой бред не могут.

Главное, что ты свой бред хорошо аргументируешь.

[aid]

Главное, что ты хорошо аргументируешь.

Да, главное - аргументировать. Поэтому у меня и рейтинг повыше, чем у Вас

[aid]

Но в случае вынужденных колебаний картина иная. Метод силовых балансов здесь применим без ограничений. А вот лагранжев формализм (будем иметь в виду случай резонансного накопления энергии в системе) утрачивает свою «базовую опору» в виде постоянства величины энергии в системе. Посмотрим, какой «выход» из этого положения находят авторы «Механики» Ландау и Лифшиц (сс.82-85):
...
А теперь сопоставим конечные результаты решения этой задачи разными методами. Интегрируя баланс сил по координате x с переменным верхним пределом, получаем энергетический баланс системы:
mv²/2+kx²/2=∫F(t)dx  или  mv²/2+kx²/2=∫F(t)v(t)dt.  
...
А что у Ландау-Лифшица? Цитируем:
«§22. Вынужденные колебания.
…В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией (1/2)kx² система обладает ещё потенциальной энергией Uе(x, t), связанной с действием внешнего поля…
–∂Uе/∂x есть внешняя “сила”, действующая на систему в положении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим её как F(t). Таким образом, в потенциальной энергии появляется член  –xF(t), так что функция Лагранжа системы будет
L=mv²/2–kx²/2+xF(t).        (22.1)».
Вот так, ещё не решая задачу, Ландау-Лифшица уже «прикинули», как будет пополняться энергия осциллятора в режиме вынужденных колебаний и … грубейшим образом ошиблись!
По Ландау-Лифшицу энергия осциллятора в режиме резонанса должна пополняться по закону xF(t), т.е. линейно во времени. А на самом деле эта энергия возрастает по закону  ∫F(t)dx =∫F(t)v(t)dt, т.е. квадратично во времени!

Это можно было посчитать Вашим искренним заблуждением, если бы Вам не показали подробным образом, как с помощью формализма Лагранжа находится скорость пополнения энергии. Естественно, она получается равной мощности внешней силы, как и при ньютновском подходе.

[комукак]

Да я давно понял, что без подлянки Аид умрет через 12 часов. Интеллектуальный вампир.
Кстати, посмотри собственную ссылку.
С победой!

Спасибо!

Чё й то я БФ не узнаю : куда ни сунусь - кругом :   Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид...........

зааидишило БФ

[комукак]

Да, главное - аргументировать. Поэтому у меня и рейтинг повыше, чем у Вас

щасс это уже рейтингом называется ?

[aid]

Спасибо!

Чё й то я БФ не узнаю : куда ни сунусь - кругом :   Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид, Аид...........

зааидишило БФ

Видите ли - я то с форума свалить не обещал, как некоторые, у которых сообщений вдвое против меня при стаже меньше чем у меня

[Вашкевич Виктор]

Это можно было посчитать Вашим искренним заблуждением, если бы Вам не показали подробным образом, как с помощью формализма Лагранжа находится скорость пополнения энергии. Естественно, она получается равной мощности внешней силы, как и при ньютновском подходе.

Нет, в случае резонанса возросшая энергия системы не равна мощности внешней силы.
Потому  ученый люд и не имеет научного определения  "добротности контура",
что из его определения придется признать нарушение закона сохранения энергии при резонансе.

[Петров А. М.]

aid:
"Это можно было посчитать Вашим искренним заблуждением, если бы Вам не показали подробным образом, как с помощью формализма Лагранжа находится скорость пополнения энергии. Естественно, она получается равной мощности внешней силы, как и при ньютоновском подходе".

«Не потому, что осознал, а потому что иссякло»? Более весомо возразить уже нечем?
При чём тут мои заблуждения, когда я цитирую Ландау-Лифшица? В том-то и дело, что у них «противоречие на противоречии сидит и противоречием погоняет». В одном месте они вынуждены признать «объективную реальность», что энергия осциллятора в режиме резонанса возрастает квадратично во времени. Однако принятую методологию «не вырубишь топором»! Чёрным по белому написано: за счёт внешней силы энергия системы изменяется по закону xF(t), т.е. линейно во времени!
Готовы каждому объяснять, где у Ландау-Лифшица читать, где не читать, что и как надо трактовать? Интересно, кто на эту неблагодарную (и, в общем-то, постыдную) работу нанимает и за какие деньги. Думаю, что не «Батька». У него сейчас и с деньгами туговато, да и не его это профиль. Не иначе как какой-то скрытый российский «научный олигарх», которому «снизу припекает»…
Самое печальное, что у этого учебного пособия всё ещё гриф «рекомендовано министерством образования Российской Федерации …». Когда-то всё равно ведь откроется правда: стране будет позорно, а не тому негодяю, который сейчас нанимает «мелких душонок» для «мелких козней» в надежде продлить своё пребывание у руля отечественной системы науки и образования.

[aid]

Чёрным по белому написано: за счёт внешней силы энергия системы изменяется по закону xF(t), т.е. линейно во времени!

Цитату в студию с такой фразой.

[комукак]

aid:
"Это можно было посчитать Вашим искренним заблуждением, если бы Вам не показали подробным образом, как с помощью формализма Лагранжа находится скорость пополнения энергии. Естественно, она получается равной мощности внешней силы, как и при ньютоновском подходе".

«Не потому, что осознал, а потому что иссякло»? Более весомо возразить уже нечем?
При чём тут мои заблуждения, когда я цитирую Ландау-Лифшица? В том-то и дело, что у них «противоречие на противоречии сидит и противоречием погоняет». В одном месте они вынуждены признать «объективную реальность», что энергия осциллятора в режиме резонанса возрастает квадратично во времени. Однако принятую методологию «не вырубишь топором»! Чёрным по белому написано: за счёт внешней силы энергия системы изменяется по закону xF(t), т.е. линейно во времени!
Готовы каждому объяснять, где у Ландау-Лифшица читать, где не читать, что и как надо трактовать? Интересно, кто на эту неблагодарную (и, в общем-то, постыдную) работу нанимает и за какие деньги. Думаю, что не «Батька». У него сейчас и с деньгами туговато, да и не его это профиль. Не иначе как какой-то скрытый российский «научный олигарх», которому «снизу припекает»…
Самое печальное, что у этого учебного пособия всё ещё гриф «рекомендовано министерством образования Российской Федерации …». Когда-то всё равно ведь откроется правда: стране будет позорно, а не тому негодяю, который сейчас нанимает «мелких душонок» для «мелких козней» в надежде продлить своё пребывание у руля отечественной системы науки и образования.

Аиды  -  они как тараканы  - их много и если они есть  - значит это кому то   - нужно.
Одного раздавишь и на его место  - десяток прибегут.