Верен ли закон сохранения момента импульса?

[Фёдор Менде]

Моментом импульса при круговом движении называется произведение массы m скорости v и радиуса r (рассотяния от центра вращения).
Закон сохранения импульса mvr гласит, что для изолированной системы момент импульса  сохраняется. Вначале выясним некоторые отдельные вопросы. На первом рисунке изображена такая изолированная вращающаяся система, на втором – её вид сверху.
1. Закон сохранения момента импульса указывает на то, что при уменьшении расстояния между массами увеличивается касательная скорость вращающихся масс. Но из рисунка видно, что сила нитей, при помощи которых сближаются массы,  нормальна к вектору касательной скорости и поэтому ускорять массы, увеличивая касательную скорость,  не может. Какая же тогда сила ускоряет массы?
2. Если мы будем перемещать грузы при помощи пружины с большего радиуса на меньший, то при этом будет расходоваться энергия пружины. Можно ли, опираясь на закон сохранения момента импульса, вычислить, какая энергия будет затрачена при перемещении грузов из начального положения в конечное?

[Фёдор Менде]

Ну, орлы мои боевые, Лехман, Цаплин, Петров, где же вы!!!

[комукак]

Ну, орлы мои боевые, Лехман, Цаплин, Петров, где же вы!!!

Не ждите Фёдор Фёдорович, т.к. крутящий момент на оси  - это тот же импульс   (силовой процесс в отрезок времени)   и этот импульс мечтает, чтобы ось была наименьшего диаметра, а  крутящий момент на экваторе  (тот же импульс) мечтает, чтобы экватор был наибольшего диаметра.

Поэтому не ждите  боевых орлов, Лехмана, Цаплина, Петрова,  и пр.

[Фёдор Менде]

Не ждите Фёдор Фёдорович, т.к. крутящий момент на оси  - это тот же импульс   (силовой процесс в отрезок времени)   и этот импульс мечтает, чтобы ось была наименьшего диаметра, а  крутящий момент на экваторе  (тот же импульс) мечтает, чтобы экватор был наибольшего диаметра.

Поэтому не ждите  боевых орлов, Лехмана, Цаплина, Петрова,  и пр.

Да нет, они меня не подведут, в теме про силы Кориолиса они круто сработали. Даже меня нагинать начали.

[Dachnik]

Ну, орлы мои боевые, Лехман, Цаплин, Петров, где же вы!!!

Может они стесняются.
Может они знают, что моментом импульса при круговом движении  L называется произведение I*W, где I - момент инерции,  W – угловая скорость.
Для массы в точке на расстоянии R, L = I*W =M*R² *W
Может они знают, что закон сохранения импульса при круговом движении  гласит, что для изолированной системы момент импульса  сохраняется для любых осей параллельных исходной.
Например крутящий момент пары сил не зависит от точки приложения.
Отложим по оси Х размер А и А+2. В точке А направим вниз силу Р, а в точке  А+2 силу Р вверх.
крутящий момент относительно начала  координат будет -Р*А+Р*(А+2) = 2Р.
Из рисунка видно, что сила нитей, при помощи которых сближаются массы,  нормальна к вектору  касательной скорости и поэтому ускорять массы, увеличивая касательную скорость,  не может.
Но нить переброшена через блок и натяжение нити от пружины до блока равно натяжению нити от блока до груза и спокойно может его тянуть.
Из рисунка видят, что тут надо рассматривать кинетический момент массы М относительно оси вращения К
Он также равен I*W =M*R² *W но имеет другой физический смысл.
Ну а теперь можно и считать.

[tory]

[Фёдор Менде]

Может они стесняются.
Может они знают, что моментом импульса при круговом движении  L называется произведение I*W, где I - момент инерции,  W – угловая скорость.
Для массы в точке на расстоянии R, L = I*W =M*R² *W
Может они знают, что закон сохранения импульса при круговом движении  гласит, что для изолированной системы момент импульса  сохраняется для любых осей параллельных исходной.
Например крутящий момент пары сил не зависит от точки приложения.
Отложим по оси Х размер А и А+2. В точке А направим вниз силу Р, а в точке  А+2 силу Р вверх.
крутящий момент относительно начала  координат будет -Р*А+Р*(А+2) = 2Р.
Из рисунка видно, что сила нитей, при помощи которых сближаются массы,  нормальна к вектору  касательной скорости и поэтому ускорять массы, увеличивая касательную скорость,  не может.
Но нить переброшена через блок и натяжение нити от пружины до блока равно натяжению нити от блока до груза и спокойно может его тянуть.
Из рисунка видят, что тут надо рассматривать кинетический момент массы М относительно оси вращения К
Он также равен I*W =M*R² *W но имеет другой физический смысл.
Ну а теперь можно и считать.

Ну так в чём же дело?

[Фёдор Менде]

В топике имеется два вопроса, на которые желательно получить ответ

[Петров А. М.]

Задача изначально не полностью определена. Если колебания масс отсутствуют (а они могли бы возникнуть в процессе раскрутки), то пружина остаётся в стабильно растянутом состоянии с фиксированным запасом потенциальной энергии. Что понимать под выражением «будем перемещать грузы при помощи пружины»? Видимо, будет внешнее вмешательство со стороны того, кто и будет переводить систему с одного энергетического уровня на другой, в данном случае - при неизменной величине момента импульса (mvr или mr²Ω – неважно, поскольку это одно и то же).
Фигурист, прижимая к себе или разводя в стороны руки, усилиями своих мышц переводит самого себя из одного энергетического состояния в другое, а затем удерживает себя в одном из них. Он может осуществлять переходы из одного состояния в другое теоретически настолько медленно, что величину ускорения можно будет считать нулевой. Или, напротив, совершать этот процесс настолько «молниеносно», что величина ускорения (опять же теоретически) «зашкалит» любой измерительный прибор (что, в масштабах конкретной задачи, может означать бесконечно большую величину). Иначе говоря, величина ускорения – для данной задачи «нерабочий параметр». Его следует заведомо исключить из рассмотрения. И тогда физический смысл задачи станет предельно ясным.
По мере сближения масс (приближения их к центру вращения) кинетическая энергия системы возрастает. Пополняет её тот, кто притягивает массы к оси вращения. И, наоборот, при ослаблении натяжения нитей и удалении масс друг от друга избыток энергии возвращается к тому, кто эти нити удерживает. Правда, воспользоваться этим избытком энергии, если, к примеру, речь идёт о человеке, а не механизме, вряд ли удастся. Представьте себе, что вы, подобно Сизифу, закатили камень на гору, а потом, если ненароком зазевались, камень только что затраченную вами энергию вам же «с благодарностью» возвращает, да так, что будете радоваться, коли остались живы.
В общем, решение задачи сводится к тому, чтобы для заданной величины момента импульса составить график обратно пропорциональной зависимости линейной скорости от радиуса вращения масс.

[tory]

Ответ на 1 вопрос можно найти в любой книге по аналитической механике (потенциалы Рауса, циклические координаты
Ответ на 2 вопрос: можно. (Теорема об изменении полной энергии)


http://alexandr4784.narod.ru/gantmacher.htm) Пример в конце 12 параграфа
Перемещение грузов определяется потенциалом П(r), который может иметь разный вид (постоянный, возрастающий, убывающий и т.д.)

[Фёдор Менде]

Ответ на 1 вопрос можно найти в любой книге по аналитической механике (потенциалы Рауса, циклические координаты
Ответ на 2 вопрос: можно. (Теорема об изменении полной энергии)


http://alexandr4784.narod.ru/gantmacher.htm) Пример в конце 12 параграфа
Перемещение грузов определяется потенциалом П(r), который может иметь разный вид (постоянный, возрастающий, убывающий и т.д.)

Спасибо за ответ, но для нашего форума он недостаточен. Наш форум является образовательным и поэтому требуется подробное разбирательство. Я, например, хотел бы понять, откуда при сближении масс берётся касательная сила, ускоряющая массы, ведь сила со стороны нитей всегда нормальна к вектору их скорости.

[Фёдор Менде]

Где же наш смелый аид подевался,
Он же на форум всегда прорывался,
Ну а теперь не мычит, не пищит,
Где-то в кустах, иль в окопе сидит!

Выскочил из окопа командир с пистолетом.
- Орлы мои боевые - вперёд на врага!
А когда орлы вернулись, в окопе двое сидят.
- А вы чего здесь?
- Так вы же кричали орлы, а мы львы.

[Фёдор Менде]

Еще раз извиняюсь, что не имею физической возможности регулярно отслеживать сайт. Работать надо. 1) Ускорение, действительно, ортогонально касательной скорости. Но результирующая скорость получается как векторная сумма ортогонального приращения и касательной скорости - по параллелограмму векторов. Векторная (диагональная) сумма результирующей скорости по модулю больше начальной, и прирастает во времени. А ее отклонение от начальной скорости и обуславливает переход на другую, меньшую круговую орбиту тел.

Не совсем ясно. Мы можем приближать тело к центру с постоянной скоростью без ускорения, и тогда не будет того параллелограмма, о котором Вы говорите.

[tcaplin]

 Еще раз извиняюсь, что не имею физической возможности регулярно отслеживать сайт. Работать надо.

Но из рисунка видно, что сила нитей, при помощи которых сближаются массы,  нормальна к вектору касательной скорости и поэтому ускорять массы, увеличивая касательную скорость,  не может. Какая же тогда сила ускоряет массы?

1) Ускорение, действительно, ортогонально касательной скорости. Но результирующая скорость получается как векторная сумма ортогонального приращения и касательной скорости - по параллелограмму векторов. Векторная (диагональная) сумма результирующей скорости по модулю больше начальной, и прирастает во времени. А ее отклонение от начальной скорости и обуславливает переход на другую, меньшую круговую орбиту тел.
2) Мгновенная сила F=mω²r
 Затраченная работа:
 A=int(Fdr)=int(mω²rdr)
где ω(r) находится из закона сохранения углового момента:
 mr²ω=mr_нач²ω_нач=const=j_нач;

ω(r)=j_нач/mr²

P.S. Dachnik и tory. Здесь вопрос не в том, умеете ли Вы переписывать формулы из справочников и учебников.
 Вопрос в умении их применить в конкретном случае. Именно это и показывает ваш уровень понимания вопроса.

[tcaplin]

Мы можем приближать тело к центру с постоянной скоростью без ускорения, и тогда не будет того параллелограмма, о котором Вы говорите.

Параллелограмм векторов скоростей есть всегда. Постоянна или переменна радиальная составляющая - не имеет значения.

[Фёдор Менде]

Параллелограмм векторов скоростей есть всегда. Постоянна или переменна радиальная составляющая - не имеет значения.

Согласен, но откуда берётся ускорение в направлении движения массы, если скорости в параллелограмме сил постоянные. Нужно найти силу в направлении движения, ускоряющую тело.

[tcaplin]

Тогда объясните, как он образуется, если приложенная сила всегда нормальна окружной скорости, и вектор скорости к центру также нормален к касательной скорости.

Есть касательная скорость. Есть радиальная. Под 90 град друг к другу. И есть результирующая, как векторная (диагональная) сумма первых двух...

[Фёдор Менде]

Ну, Вы что же, не умеете векторно суммировать скорости?  Есть касательная скорость. Есть радиальная. Под 90 град друг к другу. И есть результирующая, как векторная (диагональная) сумма первых двух...

Так я же не об этом. Постоянные скорости при таком сложении и дадут постоянную скорость. Откуда ускорение?

[tcaplin]

но откуда берётся ускорение в направлении движения массы, если скорости в параллелограмме сил постоянные. Нужно найти силу в направлении движения, ускоряющую тело.

Даже при постоянном радиусе ускорение (центростремительное) есть. Оно меняет скорость не по величине, но по направлению. Но работу не совершает, так как в направлении силы путь равен нулю.
 Здесь же часть ускорения работает на уменьшение радиуса. Скорости постоянны по модулю, но не по направлению.

[tcaplin]

 Можно сказать, что тело идет по спиральной траектории с постоянно уменьшающимся радиус-вектором. Результирующая скорость тела уже не ортогональна радиус-вектору, то есть имеется ненулевая проекция силы на направление хода тела.