Насколько я понял, Лошкарёв здесь цитирует Гнома, который, в свою очередь, цитирует Лошкарёва. И тут вдруг появляется что-то для меня.
А я ни сном, ни духом. Попробую отреагировать на то, что вижу.Правильно ли я понял, что в 2.3 утверждается, что только квадрат
любого целого z (z>1) может быть представлен однородным
квадратичным целочисленным полиномом?
Если "да", то - возможно, кто его знает, но 23=22+22, 43=42+72-12. Да, но если "s2" не целое, то для данного рассмотрения
это просто символы обозначения, а ни как не квадрат
целого числа (кроме известного случая, разумеется).
Ваш пример это подтверждает:
5^2 = (6 - 1)^2 = 6^2 + (-1)(12 - 1) (s2 = 11) Не понял, к чему это. В выкладки не влезаю (я Вам верю).Не понял, к чему это. Нам же надо 9 представить как сумму целых
и этой суммой манипулировать. А у Вас почему-то 12, 42 и 82.
Этим же примером Вы показываете, что иногда квадрат целого
можно представить как сумму квадратов трёх целых чисел.
Да, вижу, ну и что?Число-то оно число, но в общем случае не целое.Ввиду краткости Вашего изложения я не понял, к чему это.Это требует подробного разъяснения.Эта система имеет бесконечное число решений, так как s не определено. Что такое "вопрос масштаба единицы"?
Да, это следует из формул для (a+b)2, (a+b)3 и так далее.
P.S. Лошкарёв, обращайся проще, без "сударьа".
Да и сам имечко бы дал какое-нибудь - по фамилии не удобно обращаться.
Спасибо за ответ, уважаемый1
1. На реплику "М. г." Вы отреагировали относительно "примеров"? Вот я примеры и привожу.
2. Вы пишете:Правильно ли я понял, что в 2.3 утверждается, что только квадрат любого целого z (z>1) может быть представлен однородным
квадратичным целочисленным полиномом? "
А я пишу биномом целых чисел степени 2 каждое.
Речь идёт о всяком целом числе в степени 2. z^2 числовая функция, а аргументы её целые числа, какое "происхождение" они имеют не существенно. Числа целые и дробные потому, что равноценны целым, будучи приведены к одночу знаменателю, масштабу.
3. Вера в математике, даже элементарной, хороша после "проверки".
Вы пишете: "В выкладки не влезаю (я Вам верю).Не понял, к чему это. Нам же надо 9 представить как сумму целых".
Если я не написал, что:
9^2 = 1^2 + 4^2 + 8^2,
то описка.
Суть этого к тому, что в алгебре! прежде чем число возводить в степень, нужно условиться о том, чем оно представлено.
Говоря алгебраически целое число есть неопределённый многочлен степени 1:
z = x + y + s + r +...
числовая функция произвольного числа аргументов.
Нас интересует (в связи с ВТФ) z = (x +y), при возведении в целую степень порождающая минимальное число членов однородного многочлена.
В качестве "л. о." я привёл пример решения в целых числах неопределённого уравнения степени 2, но с целым числом, мыслимым функцией 3-х аргументов.
4. Я пользуюсь алгебраической символикой, принятой и в учебниках и в справочниках, пока не нужна электронная версия. Я объяснил почему здесь это предпочтительно.
5. Вот это "трудное место":
z^2 = (x +y)^2 = x^2 + y(2x+y)
в этой числовой функции аргументы числа и слагаемое y(2x +y) число степени 2.
Обозначаем его квадратом числа s:
s^2 = y(2x+y).
В примере я показал, что выбор "нужного" (цели решения в целых числах) значения x при данном z существен для быстрого финиша. Отпала нужда изменять величины слагаемых до 16-ти и 9-ти.
Извините, хочется добавить вот что:
а)целому числу в целой степени эквивалентен "полный однородный многочлен", число членов его растёт с ростом степени;
б)возводя целое число в целую степень невозможно получить "неполный однородный многочлен"
в)неполные многочлены x^n + s^n (биномы), при n>2 приравниваются к полной степени целого числа: (x + y)^n = x^n + s^n, поэтому такое неопределённое уравнение неразрешимо в целых числах;
г) число s = [(x+y)^n - x^n]^1/n при n>2 "невозможное" в системе целых чисел. Это число иррациональное при всяких целых z = (x + y).
Намёки на неполные степени были в школе... Есть выражение "полный квадрат". Приводился пример того, что нельзя извлечь корень кубический из числа 7 - "недостаёт 1". Я описываю это явление "неполной степени" не в арифметическом, а в алгебраическом понимании.
