"Великая теорема Ферма" в пределах элементарной алгебры

[Лошкарёв]

 
П. Ферма утверждал, что знал доказательство того, что неопределённое уравнение:
                                z^n = x^n + s^n                                                       (1)
не разрешимо в целых числах z, x и s при всех целых степенях n>2.
 Только в 1996-ом году теорема эта была доказана на сотнях страниц с использованием множеств Рая, ранее неизвестных. Есть мнения, что П. Ферма ошибался, утверждая, что доказательство ему известно.
 По моему, приёмов элементарной алгебры вполне достаточно для демонстрации очевидности ВТФ.
 Так как из  (1) следует, что целое число мыслится биномом целых чисел:
                                  z = (x + y),
то:
                               z^n =(x +y)^n                                                           (2)
то есть целое число в целой степени алгебраически равно однородному многочлену степени n целых чисел x, y. Число слагаемых однородного многочлена, равного целому числу в целой степени, зависит только от степени  и неуклонно возрастает с её увеличением.
 Однако в теореме П. Ферма идёт речь  целых числах вообще, т. е. и о целых числах, порождаемых целыми числами  x  и  y в уравнении  (2). Поэтому число слагаемых однородного многочлена целых чисел, равного целому числу в целой степени, вследствие свойства ассоциативности чисел, хотя и растёт с ростом степени, но всегда менее числа биномиальных слагаемых в (2).
 Например:
              z^2 = (x + y)^2  = x^2 + y(2x + y)
              z^3 = (x + y)^3  = x^3 + 3xy(x + y) + y^3
              z^4 = (x + y)^4  = x^4 + 2(x^2)(2x + y)y + (y^2)(2x + y)^2
               ............................................
              z^n = (x + y)^n  = x^n  + ...
Все слагаемые в этих уравнениях имеют степени, равные степени числа и в то же время могут мыслиться некими числами в соответствующей степени.
 Обобщая, можно представить однородный многочлен целой степени  n, равный целому числу в целой степени в виде:
           z^2  = x^2 + s^2
           z^3  = x^3 + s^3 + r^3
           z^4  = x^4 + s^4 + r^4                                                            (3)
Комплекты троек целых чисел (пифагоровых) при степени 2 находятся по формулам, приведенным Я. И. Перельманом в «Занимательной алгебре». Им же описан способ получения комплектов чисел для степени 3, исходя из одного известного. Кстати, известно одно решение, при котором слагаемое  3xy(x + y)  есть куб целого числа: x=1, y = 8.
 Именно в этом,  феноменвльном случае  3xy(x + y) = s^3, а  y^3 = r^3.
   При решении неопределённых уравнений (3) в целых числах подбираются комплекты чисел, удовлетворяющих этому дополнительному условию.
 Очевидно, что только при целой степени 2 квадрат целого числа, мыслимого биномом, равен биному  целых чисел степени 2.
 Справедливо и равноценное этому утверждение «от противного».
В уравнении (1)
                                                z^n = x^n + s^n
при целых  x и  s  и  n>2, число  z  не целое.
  Полагая же  z  числом целым, т. е. биномом целых чисел z = (x + y),  имеем числовую функцию:
                      s^n = (x + y)^n – x^n                                                   (4)
являющуюся неполной степенью целого числа (x +y) во всякой целой степени n>2.
 А число s = [(x +y)^n – x^n]^1/n не может быть целым, так как есть корнем неполного однородного многочлена (двучлена) целых чисел, равного целому числу в  целой степени  n>2.
 Следствие теоремы П. Ферма:  s =(z^n – x^n)^1/n при целых z , x  и целых  n>2 число иррациональное.

[AK III]

              z^n = (x + y)^n  = x^n  + ...
Все слагаемые в этих уравнениях имеют степени, равные степени числа и в то же время могут мыслиться некими числами в соответствующей степени.

Нет, только крайние слагаемые в биноме есть числа в степени n.
Все остальные - это произведения двух чисел в какой-то степени.

[Лошкарёв]

Нет, только крайние слагаемые в биноме есть числа в степени n.
Все остальные - это произведения двух чисел в какой-то степени.

Спасибо за ответ!
Вы ошибаетесь.
Возведение в целую степень это кратное умножение:при кратности п, например, как могут "явиться" члены не в степени п?
(x +y)(x+y)(X+Y)...(x+Y) = (x+Y)^n
 Кстати, постотрите общую фориулу с биномиальными коэффициентами и степени слагаемых при членах бинома. Сумма степеней при них всегда равна степени п.
В алгебре, например, при трёх переменных x, y, s: x^3, (x^2)s, (x^2)y, x(y^2), x(s^2), xys все эти комбинации имеют степень 3.
Многочлен x^3 + (x^2)y + x(y^2) + x(s^2) + ... + xys однородный многочлен степени 3 с единичными коэффициетами в данном примере.
 Вы, ведь, не профессиональный математик. Поэтому ничего особенного в Вашем ответе нет. Но мне отвечала в форуме журнала "Наука и жизнь" "математик", некая "Шведка" (квалифицированный "эксперт"?!) и плела вещи вовсе уж безумные касающиеся понятий элементарной алгебры.

[AK III]

Возведение в целую степень это кратное умножение:при кратности п, например, как могут "явиться" члены не в степени п?
(x +y)(x+y)(X+Y)...(x+Y) = (x+Y)^n
 Кстати, постотрите общую фориулу с биномиальными коэффициентами и степени слагаемых при членах бинома. Сумма степеней при них всегда равна степени п.

Да, но произведение двух степеней не равно числу в степени их суммы степеней:

2^2*3^2 =  4*9 = 36 <> N^4 - не равно четвертой степени никакого числа (а только квадрату 6).

[Лошкарёв]

Да, но произведение двух степеней не равно числу в степени их суммы степеней:

2^2*3^2 =  4*9 = 36 <> N^4 - не равно четвертой степени никакого числа (а только квадрату 6).

 Спасибо за ответ, уважаемый!
Отличный пример!
Вы "опускаете" начало примера, а именно его алгебраическую форму.
Итак, если у вас числовая функция 2-х переменных x, y, то она не определена конкретно. Например так:z^n = (x^a)(y^b), (a + b) = n.
В Вашем примере x=2, y=3, a=b=2.
Стало быть, Z^4 = 36 (единиц степени 4) = [(36)^1/4 (единиц степени 1)]^4.
1. Если речь шла о функции степени 4-ре, то число такое есть:
[(2^1/2)(3^1/2]^4.
А если z^2 =(x^2)(y^2), z = xy(квадратных единиц) = [(6)^1/2 (единиц)]^2.
2. Воротимся к "началу разговора" целом числе в целой степени:
z^n = (x + y)^n. Справа и слева одно число в степени n. При возведении в степень суммируются слагаемые одной и той же (размерности) степени n.
 Я вынужден здесь обратиться к геометрической модели, мыслимой для степеней 1, 2, 3.
 1. z = (x + y)
 2. z^2 = x^2 + y(2x +y)
 3. z^3 = x^3 + 3xy(x+y) + y^3
Сумма "единиц" первых степеней (длины отрезков) есть сумма длин.
Сумма "квадратных единиц" ("площадей" квадрата и прямоугольника).
Сумма "кубических единиц" ("объёмов" двух кубов и параллепипеда).
Заметьте, что во всех примерах соблюдается правило суммирования единиц одной размерности, а понятие "равновеликие" применяется для замещения произведения чисел размерности 1 каждое, одним числом размерности суммарной. Например, r^3 = 3xy(x + y) так как перемножаются числа: 3x, y, (x + y) исходной размерности 1.
 Вот исключительный случай: (x + y)^3, x =1, y=8, так что  1^3 + (3)(1)(8)(1 + 8) + 8^3. r есть целое число. Куб с ребром 6 равновелик параллепипеду
3 х 8 х 9 или 1 х 24 х 9 или...
 В арифметике 1 + 1 + 1 = 3 раза по 1, а  мерность этой "единицы" не оговаривается.
 Но в алгебре  z = 3x  x = 1  z = 3.  Но если z = xy, а x = 1, y = 3, xy = 3 "новым единицам".
 

[Константин Давидюк]

Через неделю - другую откроется новый ресурс на форуме
 http://www.forum.za-nauku.ru/index.php

Я приглашаю вас там разместить эту тему в разделе "Фундаментальная математика". У меня ест пару интересных идей на счет этой задачи.

[Лошкарёв]

Через неделю - другую откроется новый ресурс на форуме
 http://www.forum.za-nauku.ru/index.php

Я приглашаю вас там разместить эту тему в разделе "Фундаментальная математика". У меня ест пару интересных идей на счет этой задачи.

Спасибо, уважаемый!
1. Я согласен.
2. Каковы должны быть мои действия?

[Константин Давидюк]

Вот раздел:
http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/board,17.0.html

Создавайте ваши темы и в любом количестве и чем больше, тем лучше.

[Лошкарёв]

Вот раздел:
http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/board,17.0.html

Создавайте ваши темы и в любом количестве и чем больше, тем лучше.

Спасибо, уважаемый!
Однако, попытка регистрации безушпешна. Пробовал и сегодня, но ответ прежний "регистрация невозможна".
Что за диво?

[Константин Давидюк]

Спасибо, уважаемый!
Однако, попытка регистрации безушпешна. Пробовал и сегодня, но ответ прежний "регистрация невозможна".
Что за диво?

Щас разберемся!

Отправил запрос Админу на ваше имя.
Нужно время, сутки или  двое.

Они опасаются левых людей, поэтому регестрируют только по рекомендации. Я за вас поручился.

Уважемый Лошкарев, киньте мне в личку ваше имя, отчество и место проживания (город). Это необходимо для регистрации.

[МаленькийГном]

Левый человек - этот, кто не согласен с Вашими теориями?

[Лошкарёв]

Левый человек - этот, кто не согласен с Вашими теориями?

Спасибо за ответ, уважаемый!
 Я сам левша, так что "несогласные" мне интереснее "согласных"...
Но интересно "несогласие" конкретное, т. е. выраженное в виде вскрытых противоречий в моих высказываниях. Понаторевшей в болтовне г-жи "Шведке" удалось свести обсуждение к фантазиям и лжи.
Вот и Вам я предлагаю опровергать суть изложенных мной утверждений конкретно.
Они просты:
 1. Всякое число мыслимо суммой чисел.
 2. При возведении в целую степень числа, мыслимого биномом чисел, имеем однородный многочлен целых чисел, эквивалентный числу в целой степени.
 2. Только целое число в степени 2 эквивалентно однородному биному целых чисел степени два.
 3. В уравнении П. Ферма в правой части однородный бином целой степени.
 4. Если слева целое число, то справа однородный многочлен целых чисел степени 2:
                                  z^n = x^n + s^n
следовательно:
                                  z^2 = x^2 + s^2
так что есть "пифагоровы тройки" целых чисел z, x, s, удовлетворяющие этому уравнению.
 Если у Вас есть возражения по существу, то пожалуйста их приведите.
"Романтике" ВТФ сотни лет, а я не вижу для неё оснований.

[Константин Давидюк]

Левый человек - этот, кто не согласен с Вашими теориями?

Левый человек это тот, который ходит по инету под чужими именами, открыто матерится и не является специалистом в какой-либо области.


Николай Алексеевич, вы зарегестрированы, логин и пароль высланы на почту.

[Лошкарёв]

Левый человек это тот, который ходит по инету под чужими именами, открыто матерится и не является специалистом в какой-либо области.


Николай Алексеевич, вы зарегестрированы, логин и пароль высланы на почту.

Спасибо, уважаемый!
 Я уже посетил форум и кое что прочёл.
Однако мне не удалось открыть "Новую тему". Обыкновенно есть такая "кнопка" в разделах, а там не нашёл...

[МаленькийГном]

Вот и Вам я предлагаю опровергать суть изложенных мной утверждений конкретно.
Они просты:
 1. Всякое число мыслимо суммой чисел.
 2. При возведении в целую степень числа, мыслимого биномом чисел, имеем однородный многочлен целых чисел, эквивалентный числу в целой степени.
 2. Только целое число в степени 2 эквивалентно однородному биному целых чисел степени два.
 3. В уравнении П. Ферма в правой части однородный бином целой степени.
 4. Если слева целое число, то справа однородный многочлен целых чисел степени 2:
                                  z^n = x^n + s^n
следовательно:
                                  z^2 = x^2 + s^2
так что есть "пифагоровы тройки" целых чисел z, x, s, удовлетворяющие этому уравнению.

Что означают слова "степень числа, мыслимая биномом числа".

Пусть \[ z \] целое число. Вы утверждаете, что в правой части выражения \[ z^n=x^n+y^n \] стоит однородный многочлен целых чисел степени 2. Почему?
\[ (tx)^n+(ty)^n=t^n(x^n+y^n) \] -однородный многочлен степени n. Кроме того, \[ x^2+xs-s^2 \] однородный многочлен степени 2. Ну будет ли верно равенство
\[ x^2+xs-s^2=x^2+s^2 \]
Поэтому у Вас не ошибка. У Вас большой пробел  в рассуждениях.

[МаленькийГном]

Спасибо за ответ, уважаемый!
 Я сам левша, так что "несогласные" мне интереснее "согласных"...
Но интересно "несогласие" конкретное, т. е. выраженное в виде вскрытых противоречий в моих высказываниях. Понаторевшей в болтовне г-жи "Шведке" удалось свести обсуждение к фантазиям и лжи.
Вот и Вам я предлагаю опровергать суть изложенных мной утверждений конкретно.
Они просты:
 1. Всякое число мыслимо суммой чисел.
 2. При возведении в целую степень числа, мыслимого биномом чисел, имеем однородный многочлен целых чисел, эквивалентный числу в целой степени.
 2. Только целое число в степени 2 эквивалентно однородному биному целых чисел степени два.
 3. В уравнении П. Ферма в правой части однородный бином целой степени.
 4. Если слева целое число, то справа однородный многочлен целых чисел степени 2:
                                  z^n = x^n + s^n
следовательно:
                                  z^2 = x^2 + s^2
так что есть "пифагоровы тройки" целых чисел z, x, s, удовлетворяющие этому уравнению.
 Если у Вас есть возражения по существу, то пожалуйста их приведите.
"Романтике" ВТФ сотни лет, а я не вижу для неё оснований.

Хотя, возможно в п. 4 у Вас есть несколько опечаток. Но это почти ничего не меняет

[Лошкарёв]

Что означают слова "степень числа, мыслимая биномом числа".

Пусть \[ z \] целое число. Вы утверждаете, что в правой части выражения \[ z^n=x^n+y^n \] стоит однородный многочлен целых чисел степени 2. Почему?
\[ (tx)^n+(ty)^n=t^n(x^n+y^n) \] -однородный многочлен степени n. Кроме того, \[ x^2+xs-s^2 \] однородный многочлен степени 2. Ну будет ли верно равенство
\[ x^2+xs-s^2=x^2+s^2 \]
Поэтому у Вас не ошибка. У Вас большой пробел  в рассуждениях.

Спасибо за ответ, уваджаемый!
 1. Я такого не писал.
 2. Потому, что z^2 = (x + y)^2 = x^2 + y(2x + y)
справа бином челых чисел степени 2, так что второй член бинома степени 2 представляем числом  s^2:
                       z^2  = x^2  + s^2
 Пишите без загадок, конкретно. "Пробел" в равенстве
                                 z^2 = x^2 + y(2x + y) = x^2 + s^2
 где: s^2 = y(2x + y).
Да где же он?
 Покажите место "пробела" вместо рассуждения о моих "рассуждениях", которых нет.

[Лошкарёв]

Хотя, возможно в п. 4 у Вас есть несколько опечаток. Но это почти ничего не меняет

Уважаемый!
Вот п. 4:
  4. Если слева целое число, то справа однородный многочлен целых чисел степени 2:
                                  z^n = x^n + s^n
следовательно:
                                  z^2 = x^2 + s^2
так что есть "пифагоровы тройки" целых чисел z, x, s, удовлетворяющие этому уравнению.
 Прошу указать места "опечаток" и значение слова "это".
Пожалуйста, пишите только определённо:мы же в области алгебры, точной науки. К чему тут "почти"?
 

[МаленькийГном]

Сформулирую вопросы, которые возникли у меня после прочтения вашего доказательства.

Они просты:
 1. Всякое число мыслимо суммой чисел.

Не понятно, что означает "число мыслимо суммой чисел". Понимаю - "число есть сумма чисел" или "число разложимо в сумму чисел", "мыслимо" - на понимаю, разъясните

2. При возведении в целую степень числа, мыслимого биномом чисел, имеем однородный многочлен целых чисел, эквивалентный числу в целой степени.

"Бином чисел, эквивалентный числу в целой степени" - как Вы определяете от ношение эквивалентности, отличное от отношение равенства?

2. Только целое число в степени 2 эквивалентно однородному биному целых чисел степени два.

Почему? Это утверждение не очевидно (с учётом того, что отношение эквивалентности не определено). А в степени 1 - тоже не эквивалентно?

3. В уравнении П. Ферма в правой части однородный бином целой степени.

Понятно, но степень однородности равна n: \[ (tx)^n+(ty)^n=t^n(x^n+y^n) \] для произвольныйх x, y, n.

4. Если слева целое число, то справа однородный многочлен целых чисел степени 2:
                                  z^n = x^n + s^n
следовательно:
                                  z^2 = x^2 + s^2
так что есть "пифагоровы тройки" целых чисел z, x, s, удовлетворяющие этому уравнению.

Это утверждение в принципе неверно. Кроме того случая, когда у Вас свое понимание, что такое степень однородности многочлена.

Спасибо за ответ, уваджаемый!
 1. Я такого не писал.

Писали, и я не "уваджаемый"

2. Потому, что z^2 = (x + y)^2 = x^2 + y(2x + y)
справа бином челых чисел степени 2, так что второй член бинома степени 2 представляем числом  s^2:
                       z^2  = x^2  + s^2
 Пишите без загадок, конкретно. "Пробел" в равенстве
                                 z^2 = x^2 + y(2x + y) = x^2 + s^2
 где: s^2 = y(2x + y).
Да где же он?

Число s целое? Я думаю, что первый пробел заключается в доказательстве этого факта. Если s не целое, тройка чисел x, s, z не будет пифагоровской.

Удачи.

[МаленькийГном]

Зря я влез в эту историю