А вот это я и не сообразила, что чем ломать автобусы, надо людей рассадить не одинаковое число.
Но.Тогда логически если подумать, то число точное автобусов не установить...Можно только назвать от каких, до каких чисел...
Можно рассматривать вот такую систему уравнений.
xn = 100 + αn
(x - 2)(n + 5) = 100 + β(n + 5)
Величины α и β - рациональные числа, пробегающие ряд значений между 0 и 0.5 (исключим абсурдные случаи, когда более половины одного из автобусов оказывается пустым) так, что αn и β(n + 5) - целые числа.
Вычтем из второго уравнения первое, в первом выразим х. Получим
x = 100/n + α
5x = (2 + β - α)n + 5(2 + β)
Подставим x во второе выражение, домножим его на n и введем γ = 2 + β - α. Получим:
n
2 + 5n - 500/γ = 0
Величина γ принадлежит отрезку [1.5; 2.5], однако это ограничение более слабое, чем ограничения для α и β по отдельности, и может привести к появлению лишних корней, например, для случаев, когда α = 0.71 и β = 1.1, при котором значение β вообще находится за пределами допустимого диапазона (общее число пустых мест превышает вместимость одного автобуса). Поэтому найденные решения нужно будет дополнительно проверить.
Ищем корни приведенного выше квадратного уравнения (отрицательный корень сразу выбрасываем):
n = -5/2 + (25 + 2000/γ)
½ / 2
Значение n должно быть целым, значит, значение выражения (25 + 2000/γ)
½ - это целое число, и при этом нечетное. Значит, под корнем квадратным у нас стоят полные квадраты нечетных чисел. Поскольку подкоренное выражение монотонно убывает на отрезке γ Є [1.5; 2.5], мы можем взять граничные точки и найти все такие числа между ними.
Для γ = 1.5 получаем в качестве значения квадратного корня ~36.8, для γ = 2.5 получаем значением квадратного корня ~28.7. Значит, именно между этими числами лежат искомые нами нечетные числа, полные квадраты которых стоят под корнем. А значит, значения корней пробегают ряд чисел 29, 31, 33, 35. Соответственно, предполагаемая исходно вместимость автобуса должна пробегать ряд значений (делим на 2 и вычитаем 5/2):
n = 12, 13, 14, 15.
Однако, это еще не решение. Как и было сказано, требование γ Є [1.5; 2.5] является более слабым, чем исходные ограничения на α и β, а потому часть корней могут быть лишними (но все же мы уже точно знаем и однозначно доказали, что за пределами данных чисел корней нет вовсе). Покажем в качестве примера, как сделать явную проверку для n = 12.
Ищем решения в целых числах. 12x = 100 + 12, следовательно, x = 9, α = (12x -100) / 12 = 8/12. Аналогично находим, что β = 19/17. Таким образом, для n = 12 имеем тот самый случай, когда γ находится в рамках допустимых значений, но α и β по отдельности принимают недопустимые значения.
Аналогично отбрасывается и n = 14 (оно в принципе допустимо, но там один из автобусов получается почти пустой в обоих случаях). В итоге остается лишь два корня: n = 13 и n = 15. И два возможных решения, таким образом:
А:
Планировалось 8 автобусов вместимостью по 13 человек (полная вместимость 104 человека).
Приехало 6 автобусов вместимостью по 18 человек (полная вместимость 108 человек).
Б:
Планировалось 7 автобусов вместимостью по 15 человек (полная вместимость 105 человек).
Приехало 5 автобусов вместимостью по 20 человек (полная вместимость 100 человек).
