012.10.20. Если нечего почитать, так может что-нибудь потешное порешать?

[Татьяна Н]

Согласен, "по радиусу" в условии задачи сбивает с толку.

А вот в задачках с метро и кровать мне все-таки кажется, что однозначного решения нет, я вчера про это написал, но у автора согласия не нашел.

Да вы представьте просто козу, привязанную веревкой. Какие бы радиусы не были, больше длины веревки она не сможет пробежать.
К тому же веревка нерастяжимая. Я так думаю.
Про метро...мне кажется ключ в том, что близнецы на кольцевых станциях метро живут....только в метро давно не ездила, плохо представляю все эти передвижения.
Ну...на кровать прежде чем лечь, необходимо сесть сначала.
А о часах - думаю, нужно подождать, когда солнце сядет и ставить часы по закату.....Но тут сомнения - нужно знать, когда закат хотя бы примерно.

[aid]

Да вы представьте просто козу, привязанную веревкой. Какие бы радиусы не были, больше длины веревки она не сможет пробежать.

Представьте нить на тонкой спице. Сделайте один оборот нити вокруг спицы. При этом расстояние от оси спицы до нити практически не изменилось, значит длина дуги, которую описал конец нити будет примерно 2pi*l, т.е. уже за один оборот в 6 с лишним раз больше длины нити.

[Татьяна Н]

Представьте нить на тонкой спице. Сделайте один оборот нити вокруг спицы. При этом расстояние от оси спицы до нити практически не изменилось, значит длина дуги, которую описал конец нити будет примерно 2pi*l, т.е. уже за один оборот в 6 с лишним раз больше длины нити.

Ну хорошо. А теперь представьте веревку длиной 60 метров, которая наматывается вокруг дерева. Дерево диаметром 1 метр, за секунду наматывается 3 метра. Значит коза за секунду делает вокруг дерева три оборота. То есть через 20 секунд веревка просто закончится и коза упрется в дерево.  Значит её движение в течении 20 минут вокруг дерева невозможно. Уже неверное решение. К тому же, радиус с каждым оборотом вокруг дерева уменьшается на 1 метр, движение будет происходить по спирали, а не по кругу. Тут может коэффициент нужно высчитать....подумать нужно. Вы ученые - вот и думайте.

[Andrey_R]

Да вы представьте просто козу, привязанную веревкой. Какие бы радиусы не были, больше длины веревки она не сможет пробежать.
К тому же веревка нерастяжимая. Я так думаю.
Про метро...мне кажется ключ в том, что близнецы на кольцевых станциях метро живут....только в метро давно не ездила, плохо представляю все эти передвижения.
Ну...на кровать прежде чем лечь, необходимо сесть сначала.
А о часах - думаю, нужно подождать, когда солнце сядет и ставить часы по закату.....Но тут сомнения - нужно знать, когда закат хотя бы примерно.

Если дерево очень тонкое, то коза вообще может бегать бесконечно долго по кругу.

На кровать можно и прыгнуть, не садясь, или, наоборот, упасть со шкафа, например, сразу в лежачее положение. Но вообще то они могут делать все что угодно не лежа, в том числе и спать стоя или сидя. Или, опять же, все, что хочется, лежа, только не спать.  

А про часы - там снег идет, солнца и звезд не видно. Да и дача может быть за полярным кругом, там зимой ни заката, ни восхода.

[yakiniku]

Задача "О козе".

Коза привязана нерастяжимой веревкой длиной 60 м
к круглому стволу дуба диаметром 1 м.
Ни с того, ни с сего коза припустила вокруг дуба "по радиусу"
равномерно со скоростью 3 м/с (при натянутой верёвке, наматывающейся на ствол дуба).
Через какое время коза доберётся до дуба?
Какое расстояние она пробежит?

Решение и детальное обсуждение:
http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1350807468

[aid]

Ну хорошо. А теперь представьте веревку длиной 60 метров, которая наматывается вокруг дерева. Дерево диаметром 1 метр, за секунду наматывается 3 метра. Значит коза за секунду делает вокруг дерева три оборота. То есть через 20 секунд веревка просто закончится и коза упрется в дерево.  Значит её движение в течении 20 минут вокруг дерева невозможно. Уже неверное решение. К тому же, радиус с каждым оборотом вокруг дерева уменьшается на 1 метр, движение будет происходить по спирали, а не по кругу. Тут может коэффициент нужно высчитать....подумать нужно. Вы ученые - вот и думайте.

Андрей Р уже привел правильное решение - с учетом уменьшения радиуса и движения по эвольвенте. Дальше решается простым интегрированием. Альфа привела тоже верную формулу, правда результат записан в нерациональной форме.
 Надо просто s=L²/d=60²/1=3600

 За секунду вначале наматывается не 3 метра, а 2,5 см.

[Dachnik]

не имею уверенности в правильности ответа и давно хочу попросить помощи у форумян. Я готова сформулировать задачу сразу после того, как с текущими задачами будет покончено.

Да тут уже сама Коза проявилась. Она подскажет &/
Для начала, чтобы заснуть, она темные очки надела, но уши заткнуть забыла.
Затем насчитала себе полный угол поворота 120 рад. Один радиан, это длина дуги равная радиусу.
Ну и блудливая Коза.

[Татьяна Н]

Андрей Р уже привел правильное решение - с учетом уменьшения радиуса и движения по эвольвенте. Дальше решается простым интегрированием. Альфа привела тоже верную формулу, правда результат записан в нерациональной форме.
 Надо просто s=L²/d=60²/1=3600

 За секунду вначале наматывается не 3 метра, а 2,5 см.

Вы все великие математики.

[Татьяна Н]

Да и дача может быть за полярным кругом, там зимой ни заката, ни восхода.

Как романтично.
Только за полярный круг  на электричке не доедешь.

[Татьяна Н]

На кровать можно и прыгнуть, не садясь, или, наоборот, упасть со шкафа, например, сразу в лежачее положение. Но вообще то они могут делать все что угодно не лежа, в том числе и спать стоя или сидя. Или, опять же, все, что хочется, лежа, только не спать.  

 

Не получается. Задача написана дословно - "что люди делают, перед тем как лечь спать"?
Со шкафа. конечно,  можно упасть, или прыгнуть, но тут написано   не об одном конкретном человеке, а в общестатистическом смысле - "люди", значит, имеется ввиду наиболее характерное для всех людей поведение.
Стоя или сидя тоже не получается - тут же ясно написано "лечь".

[Dachnik]

Оно исчезло. Возвращаю.
(В обозначениях Альфы)
dL=R*d(alfa); dR=D/2*d(alfa) => dL=2R*dR/D => L=R*R/D=60*60/1=3600м

Ну и напрасно вернули. Удаляйте обратно вместе с плюсиком Аида.
При диаметре дерева 1 метр, за один оборот радиус веревки уменьшается на 3 метра.
Это значит, что 60/3 = 20 оборотов.
Вы взяли средний радиус и получили при Пи = 3  и радиусе 30 м   2*3*30*20 = 3600 м.
Но при постоянной линейной скорости козы, угловая скорость (число оборотов в секунду)   равна линейной скорости, деленной на радиус.
А это гипербола. Это значит, что каждый оборот происходит за гиперболически меньшее время.
Линейная интерполяция не применима.
Потому я и оговорил, что мальчик Слава, мог получить только приблизительное решение.
Точное решение не для уровня данной темы.

А вот что тута означает alfa, случайно не  alpha &/

[yakiniku]

Андрей Р уже привел правильное решение - с учетом уменьшения радиуса и движения по эвольвенте. Дальше решается простым интегрированием. Альфа привела тоже верную формулу, правда результат записан в нерациональной форме.
 Надо просто s=L²/d=60²/1=3600

 За секунду вначале наматывается не 3 метра, а 2,5 см.

Да. В системе отсчета с началом на центральной оси дуба и осью координат икс, направленной на точку крепления веревки к дубу, координаты козы могут быть выражены через единственную зависящую от времени величину - угол фи между направлением на точку касания веревки и дуба и направлением оси икс:
\[ x=R\cos\varphi -(L-\varphi R)\sin\varphi \]
\[ y=R\sin\varphi +(L-\varphi R)\cos\varphi, \]
где L=60 m - длина веревки, а R=D/2=0.5m - радиус дуба.
Вычисление скорости позволяет связать ее с производной от фи по времени:
\[ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=(L-\varphi R)\frac{d\varphi}{dt} \]
\[ t=\frac1{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\int_0^{L/R}{(L-\varphi R)d\varphi}=\frac{L^2}{D\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}=\frac{60^2m^2}{1m\cdot 3m/s}=1200s \]
====================
А перед тем как лечь спать, а равно после того как люди проснулись, и вообще все то время, что люди не спят - они бодрствуют.

[Andrey_R]

Ну и напрасно вернули. Удаляйте обратно вместе с плюсиком Аида.
При диаметре дерева 1 метр, за один оборот радиус веревки уменьшается на 3 метра.
Это значит, что 60/3 = 20 оборотов.
Вы взяли средний радиус и получили при Пи = 3  и радиусе 30 м   2*3*30*20 = 3600 м.
Но при постоянной линейной скорости козы, угловая скорость (число оборотов в секунду)   равна линейной скорости, деленной на радиус.
А это гипербола. Это значит, что каждый оборот происходит за гиперболически меньшее время.
Линейная интерполяция не применима.
Потому я и оговорил, что мальчик Слава, мог получить только приблизительное решение.
Точное решение не для уровня данной темы.

А вот что тута означает alfa, случайно не  alpha &/

Можно, конечно, сделать одну поправку. 3600 м коза  пробежит, только если сначала стоит в правильном месте и побежит в правильную сторону. А если она стоит где попало, то расстояние может увеличиться еще на 120 м.   

[Andrey_R]

Да. В системе отсчета с началом на центральной оси дуба и осью координат икс, направленной на току крепления веревки к дубу, координаты козы могут быть выражены через единственную координату - угол фи между точкой касания веревки и дуба:
\[ x=R\cos\varphi -(L-\varphi R)\sin\varphi \]
\[ y=R\sin\varphi +(L-\varphi R)\cos\varphi, \]
где L=60 m - длина веревки, а R=D/2=0.5m - радиус дуба.
Вычисление скорости позволяет связать ее с производной от фи по времени:
\[ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}=(L-\varphi R)\frac{d\varphi}{dt} \]
\[ t=\frac1{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}\int_0^{L/R}{(L-\varphi R)d\varphi}=\frac{L^2}{D\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}=\frac{60^2m^2}{1m\cdot 3m/s}=1200s \]
====================

А перед тем как лечь спать, а равно после того как люди проснулись, и вообще все то время, что люди не спят - они бодрствуют.

Про "бодрствуют", причем не лежа, я написал сразу после размещения задачи, но автору это не понравилось.

[yakiniku]

Можно, конечно, сделать одну поправку. 3600 м коза  пробежит, только если сначала стоит в правильном месте и побежит в правильную сторону. А если она стоит где попало, то расстояние может увеличиться еще на 120 м.    

Я давал ссылку на сайтеке - там эта оговорка обсуждалась - что наматывание веревки на дуб должно происходить с начального момента времени.

Задача - "Зимой в усадьбе" (современная версия).
Оригинал относится ко времени появления первых
бытовых напольных часов (где-то лет 500 тому назад).

Приехали Вы к себе на дачу поездом.
День пасмурный, снег идёт, кругом сугробы....
В сарае необходимые дела сделали, в бане...
Захотели время посмотреть...
Ай, вот незадача, - мобильник и наручные часы в городе забыли.
А в доме только старые напольные. Исправные, но стоят.
Ни тебе телевизора, ни тебе радио...
А завтра-то надо возвращаться первым поездом, в шесть утра.
То-есть, надо попытаться как-то время поставить, хотя бы
с бытовой точностью, чтобы и дела на даче сделать,
и выспаться в тепле, и утром к поезду не опоздать.
Вопрос: "Какие Ваши действия в создавшейся ситуации?"

P.S. Между прочим, эта задача давалась в начальных классах
церковно-приходских школ. В то же время её аналог был
популярен среди физиков начала XX века. Решению этого
аналога присвоили имя автора СТО, хотя к тому времени оно
было известно уже лет 400. На форумах приведенная в нём
задачная ситуация полощется до сих пор.

Завести часы, сходить на станцию, заметить время по станционным часам, вернуться с той же скоростью домой, заметить сколько времени занял поход в оба конца. Поставить часы на показание часов на станции плюс половина времени ходьбы. По смыслу задачи время ходьбы до станции много меньше времени оставшегося до поезда (в противном случае нужно идти прям сичас, и то дай бог успеть). Действительно, типичная синхронизация удаленных часов по Эйнштейну.

[Dachnik]

Анаксагор!
Почему мой ответ на зачли.
При вероятности победы 50/50 пять побед подряд будет иметь вероятность
0,5*0,5*0,5*0,5*0,5 = 0,03 = 3%
Вот студент и рассмеялся.

А перед сном молится надо.
Хотя Дездемона молилась, а оно вон что вышло.

Насчет  3600 метров.
Расчет Аида
S = 60²/1 = 3600
Формула Аида длины эвольвенты при постоянном диаметре дуба
S =K*D²
Это значит, что скорость 2KD
Вообще то длина пути не зависит от времени.

Для того, чтобы коза двигалась по эвольвенте, скорость должна меняться.
Но пала коза упирается и сохраняет скорость постоянной.
И поэтому уравнения эвольвенты не применимы.

[Альфа]

Потому я и оговорил, что мальчик Слава, мог получить только приблизительное решение.
Точное решение не для уровня данной темы.

А вот что тута означает alfa, случайно не  alpha &/

Решение, предложенное Андреем_R, мне неинтересно. Если бы я его здесь представила, вы сказали бы, что я его срисовала с сайта http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1350807468, где оно обсуждалось два месяца назад.

Вот вам моя формула, в которой у несведущих уже не возникнет вопросов с размерностью (знаки умножения опустила):
  
               L = alfa ( R - (r/2)alfa ),
 
а в обозначениях Андрея_R я могу привести более простое решение :

   dL = R*d(alfa) = R*d(R/r) = r*(R/r)d(R/r) => L = R*R/D = 60*60/1 = 3600м

А вместо букетов из плюсиков в мой рейтинг, получаю обвинения в нерациональности решения, к тому же вы обозвали меня козой.

Вам не даёт покоя подпись под моей авой? Получите ещё:

СЛАВА советскому народу, победившему в ВОВ!

[Dachnik]

Вот вам моя формула, в которой у несведущих уже не возникнет вопросов с размерностью (знаки умножения опустила):  
               L = alfa ( R - (r/2)alfa ),
а в обозначениях Андрея_R я могу привести более простое решение :
   dL = R*d(alfa) = R*d(R/r) = r*(R/r)d(R/r) => L = R*R/D = 60*60/1 = 3600м

Это не решение, а готовый ответ. Решением задачи  должно бы вывод приведенной вами формул.
На соседнем форуме вывод этот  не признан корректным.
Обратите внимание на этот рисунок.

А вместо букетов из плюсиков в мой рейтинг, получаю обвинения в нерациональности решения, к тому же вы обозвали меня козой.

Ну ладно. За козу извиняюсь.
А вот ответ чужого решения Вы зря привели.
Решение тама лохотронное.
Я такое тоже приводил, но предупреждал, что оно на детском уровне.
Потому пока без букетиков из плюсиков, а минусы я и ставить не умею.

[Альфа]

Это не решение, а готовый ответ. Решением задачи  должно бы вывод приведенной вами формул.
На соседнем форуме вывод этот  не признан корректным.
Обратите внимание на этот рисунок.
Ну ладно. За козу извиняюсь.
А вот ответ чужого решения Вы зря привели.
Решение тама лохотронное.
Я такое тоже приводил, но предупреждал, что оно на детском уровне.
Потому пока без букетиков из плюсиков, а минусы я и ставить не умею.

Вывод своей формулы я покажу несколько позже. Мы здесь собрались для того, чтобы решать задачу, а не просто узнать её решение.

Сейчас другие форумяне решают эту задачу по-своему и могут получить решение, которое будет выглядеть по-другому. Мы сравним результаты. Зачем же я буду сейчас предлагать им свой вариант решения?

Что касается решения, которое предложил Андрей_R, то я не согласна с вами. Решение это верное. Достаточно сравнить ответы полученные из моей формулы с ответами, полученными из его формулы, чтобы убедиться в их одинаковости.

Что касается ваших выводов о лохотронности решения, за которым стоит соседний форум, Андрей_R и наши местные орты, то могу сказать вот что:
 -  по образованию я экономист и эвольвентов там всяких не проходила.
Однако правильность решения Андрея_R и соседнего форума легко могу доказать. Мне не понадобятся рисунки с другого форума, я докажу основываясь на моём варианте решения их задачи.

Мы вполне можем взять за переменную не уголок d(fi), а полный угол, проходимый козой alfa = R/r, так как он больше ни от чего не зависит. И далее берём интеграл (см. мою запись) и в одной строке убеждаемся, что ответ верен.

Я пока не умею пользоваться форумным математическим редактором; не знала, как поставить знак интеграла перед dL. Поэтому у меня там стоит знак следования (=>), и кажется, что задача по моемУ методу решается не в одну, а в две строчки.

[ssp123]

коза пробежит ровно 60 метров- по длине веревки, а за сколько- каждая коза по разному