Глава 3. Метод параметрической нелинейности

[Мастеров АВ]

Метод параметрической нелинейности

При анализе свойств нелинейных уравнений (как правило) возникает такая затруднительная ситуация: Учёный точно знает: "Решение его нелинейное уравнение имеет!", но записать его аналитически (в виде формулы, как математическое выражение) он не может.

В чём проблема?

А нам (учёным) математических функций не хватает, чтобы записать решение уравнения в виде конечного ряда функций, свойства которых мы понимаем. Запись в виде бесконечного ряда иногда выручает, но... Не всегда такая запись позволяет нам оценить свойства исследуемого уравнения.

Предлагаемый мной метод ("Метод параметрической нелинейности") позволяет решить эту проблему.
Впервые этот метод я применил (изобрёл) для решения нелинейного интегро-дифференциального уравнения в 1985-том году, в дипломной работе. Но потом, несколько лет, я потратил на то, чтобы понять, что применил именно метод, а не решил частный случай.

СУТЬ МЕТОДА (коротко, в двух словах) можно сформулировать так: Не спешите записывать уравнение для вашей модели, а подберите для математической записи модели такую аппроксимацию функций, которая позволит вам найти явное аналитическое решение. Или (на худой конец) упростит численный анализ уравнения.

ПОЯСНЮ: Часто мои бывшие коллеги записывают модель в виде уравнения (аппроксимируют нелинейность, к примеру и как правило, кубической параболой), а потом думают: "Как его решат?". Поскольку аналитически (как правило) уравнение оказывается не пробиваемым - грузят компьютер своими проблемами.

А мы поступим иначе. Мы постараемся записать уравнение так (будим подбирать аппроксимацию функций так), чтобы аналитическая запись решения уравнения у нас получалась на автомате.

[Мастеров АВ]

Рассмотрим простой пример: Физический маятник, который обычно записывают уравнением:

\(\ddot{x}+F(x(t))=0\)

\(\small t\ge 0\)

(1)

ЗАДАЧА: найти такую нелинейность, при которой этот осциллятор будет звенеть только на двух первых гармониках. Т.е., звенеть он должен так:

\(x(t)=A\ sin(t)+aA^2(1-cos(2t))\)

\(\small t\ge 0\)

(2)

Подставим (2) в (1):

\(F(x(t))=A\ sin(t)-4aA^2cos(2t)\)

\(\small t\ge 0\)

(3)

Выпишем (2) и (3) вместе:

\(\begin{equation*} \begin{cases}    F(x(t))=A\ sin(t)-4aA^2cos(2t)\\    x(t)=A\ sin(t)+aA^2(1-cos(2t))  \end{cases} \end{equation*}\)

\(t\ge 0\)

(4)

Эта система двух уравнений описывает искомую нелинейность. Вид ее показан на Fig. 2.

На Fig. 1 показано периодические колебания осциллятора (1) с этой нелинейностью.
Исключив время из системы уравнений (4), можно получить явное выражение для нелинейности:

\(F(x(t))=x-4aA^2+\frac{3}{8a}\left(1-\sqrt{1-8ax}\right)\)

(5)

Вряд ли решённая нами задача имеет практическую ценность, но она наглядно демонстрирует, что подбирая аппроксимацию нелинейности в классе параметрических функций, можно найти такую аппроксимацию, для которой решение можно записать аналитически в виде конечного ряда функций.

[Мастеров АВ]

Давайте рассмотрим ещё один пример, из серии тех, что мы решали в первой главе.
Пусть у нас имеется бистабильная (триггерная) среда:

\(U_{n+1}(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(x-y)F(U_n(y))dy\)

\(-\infty<x<\infty\)

(6)

В первой главе это уравнение шло под номером (32), но нелинейность в нём была разрывной (в виде ступеньки).
В данном случае нелинейность (\(S\)- образная функция) будет гладкой (см. Fig. 4).
Ядро уравнения \(G(x)\) - чётная, колоколо-образная функция (типа - гауса) (см. Fig. 3).
Мы ограничились качественным описанием и ядра уравнения, и его нелинейности. Это значит, что запись (6) не является уравнением. Это - модель (наше представление о внутреннем устройстве бистабильной среды).

Пусть нас интересует неустойчивый (колоколо-образный) солитон (функция \(U(x)\)), каковых мы видели во множестве в первой главе. Если для нелинейности в виде ступеньки солитоны существуют, то можно предположит, что: для гладкой нелинейности солитоны существуют тоже.

Действие \(S\)- образной нелинейности на солитон (\(F(U(x))\)) качественно его не изменит - солитон останется колоколо-образным. Поэтому все три функции (\(G(x)\), \(U(x)\) и \(F(U(x))\)) и изобразил на одной картинке Fig. 3. И аппроксимировать их мы станем одной функцией (гаусом разной ширины и высоты).

\(G(x)=\large\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}}\)

(7)

\(F(U(x))=e^{-x^2/\sigma^2}\)

(8)

Подставим пару этих выражений в (6), и после интегрирования получим искомое решение:

\(U(x)=\large\frac{e^{-x^2/(1+\sigma^2)}}{\sqrt{1+\sigma^{-2}}}\)

(9)

Т.о., нелинейность задаётся парой уравнений ((8) и (9)):

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(U(x))=e^{-x^2/\sigma^2}\\ U(x)=\large\frac{e^{-x^2/(1+\sigma^2)}}{\sqrt{1+\sigma^{-2}}}  \end{cases} \end{equation*}\)

(10)

Исключая из системы уравнения (10) переменную \(x\), получим явное выражение для нелинейности, для которой нами найдено решение:

\(F(U)=\beta\cdot U^{1+\sigma^{-2}}\)

(11)

\(\beta=\left(\sqrt{1+\sigma^{-2}}\right)^{1+\sigma^{-2}}\)

(12)

Например, для \(\sigma=1\) нелинейность и соответствующее ей решение запишутся так:

\(F(U)=2U^2\) \(U(x)=\large\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2}}\)

(13)

У читателя может возникнуть законный вопрос: Парабола не похожа на \(S\)- образную нелинейность. Вот если бы парабола загибалась...
ОТВЕТ: Найденное нами решение задействует только начальный участок нелинейности. Тот, который и вправду на параболу похож. А тот участок нелинейности, где она загибается... Наше решение просто до туда "не достаёт". (\(0\le U\le 1/\sqrt{2}\), см. Fig. 5 и Fig. 6)

[Мастеров АВ]

Рассмотрим ещё один пример. И в нём мы усложним себе задачу. Время у нас будет непрерывным и искать мы станем бегущий фронт для гладкой \(S\)- образной нелинейности. А искать мы станем стационарно бегущий фронт.
И так, в непрерывном времени уравнение (6) примет вид:

\(\large\frac{\partial U}{\partial t}\normalsize+U(x,t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(x-y)F(U(y,t))dy\)

\(\small U(x,0)=U_o(x),\ t\ge 0,\ -\infty<x<\infty\)

(14)

Ядро уравнения (функцию \(G(x)\)) мы оставим прежней (см (7)).

Для стационарно бегущего (со скоростью \(\nu\)) решения это уравнение запишется так:

\(-\nu\large\frac{dU}{dx}\normalsize+U(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(x-y)F(U(y))dy\)

\(-\infty<x<\infty\)

(15)

Бегущий фронт (гладкая функция) будет (качественно) напоминать нам интеграл вероятностей:

\(erf(x)=2\int\limits_{0}^{x}\large\frac{e^{-y^2}}{\sqrt{\pi}}dy\)

(см. Fig. 7)

(16)

Действие на такую функцию \(S\)- образной нелинейностью качественно её не изменит. Т.е., \(F(U(x))\) будет качественно совпадать с интегралом вероятностей. Так и станем аппроксимировать \(F(U(x))\) интегралом вероятностей:

\(F(U(x))=erf(x/\sigma)\)

(17)

Подставляя выражения (7) и (17) в уравнение (16), и интегрируя известные функции, получим решение:

\(U(x)=erf(\xi)-\large e\normalsize^{p(p-2\xi)}(erf(\xi-p)+sign(p))\)

(см. Fig. 8)

(18)

Где: \(\xi=x/\alpha\), \(p=\alpha/2\nu\) и  \(\alpha=\sqrt{1+\sigma^2}\)

Тогда пара уравнений (17) и (18) задаст нам параметрическое выражение для нелинейности, для которой выражение (18) является решением уравнения (15).

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(U(x))=erf(x/\sigma)\\ U(x)=erf(\xi)-\large e\normalsize^{p(p-2\xi)}(erf(\xi-p)+sign(p))  \end{cases} \end{equation*}\)

(см. Fig. 9)

(19)

Попробуем добыть практически ценный результат из наших манипуляций с формулами.
Ценностью для нас могла бы стать явная зависимость между параметрами нелинейности  и скоростью фронта. (Ну а что ещё?)
Для малых скоростей эта зависимость выглядит так:

\(\nu\approx\frac{\sqrt{\pi}}{2}\sqrt{\frac{K-1}{K+1}}U_p\)

(см. Fig. 9 и Fig. 10)

(20)

Где: \(K\) - коэффициен усиления нелинейности (максимальный тангенс угла наклона касательной, к графику функции, изображённой на Fig. 9).
На Fig. 10 показана зависимость скорости фронта от величины порога для \(K=\sqrt{2}\), которая была получена численно (почти 30 назад).

------------------

Мы рассмотрели три примера, которые наглядно продемонстрировали метод в работе.
Теперь, обобщая интуитивно очевидный вывод, сформулируем метод.

[Мастеров АВ]

Метод параметрической нелинейности

Пусть у нас есть два типа моделей, которые мы хотели бы исследовать:

\(\large L\normalsize U=F(U)\)		(I)
\(U=\large L\normalsize F(U)\)		(II)

Где: \(\large L\normalsize\) - линейный оператор: дифференциальный, интегральный, интегро-дифференциальный или ещё какой. Тут важно только то, что мы умеем с ними работать.
ЗАМЕЧУ, что первый из рассмотренных в этой главе примеров относится к первому типу, а остальные - ко второму.
Для первого типа моделей мы ищем аппроксимацию нелинейности в классе таких параметрических функций:

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(U(x))=\large L\normalsize u(x)\\ U(x)=u(x)  \end{cases} \end{equation*}\)

(21)

Для второго типа уравнений - таких:

\(\begin{equation*} \begin{cases} F(U(x))=f(x)\\ U(x)=\large L\normalsize f(x)  \end{cases} \end{equation*}\)

(22)

Где: \(u(x)\) и \(f(x)\) - произвольные функции.
Это - всё.
Если есть вопросы - спрашивайте.