Число Пи, как следствие изотропии пространства

[Мастеров АВ]

Изотропия, это когда свойства объектов не меняются в пространстве, при повороте и смещении их в нм. А в нашем случае: площадь фигуры и объём объекта пропорциональны их размерам, и одинаковы в любой точке пространства, при любом повороте.

Следствием однородности и изотропности пространства является теорема Пифагора, а уж из этой теоремы получается всем хорошо известное число \(\pi\).

Начнём с теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора

Тут всё ясно. (Комментарии излишни.)
Замечу только ещё раз, что поворот фигуры в пространстве не меняет её площадь.
Это свойство нашего (изотропного) пространства.
А ещё (и это важно): объём и площадь пропорциональны размерам объектов.
(Если в пространстве есть кривизна - это не работает.)
Именно этим свойствам нашего пространства мы обязаны существованием Великой теоремы - Теореме Пифагора.

[Мастеров АВ]

И так, теорема Пифагора у нас есть.
Получим из неё \(\pi\).
Для этого рассмотрим шестигранник, вписанный в ЕДИНИЧНУЮ окружность.

Периметр шестигранника равен 6. А периметр (длина) окружности = 2\(\pi\) = 6.283...

Поделив сторону шестигранника пополам, на окружности мы найдём точку, которая станет вершиной 12-ти-гранника.

Используя теорему Пифагора посчитаем периметр 12-ти граника.

Периметр 12-ти граника: \(12\sqrt{2-\sqrt{2+1}}\)=6.211...

Снова делим сторону пополам и по теореме Пифагора получаем периметр 24-ёх граника.

Периметр 24-ёх граника: \(24\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}\)=6.265...

Далее поступаем аналогично:

Периметр 48-ми граника: \(48\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}\)=6.279...

Ну и так далее...

Посмотрите на картинку.
Она должна прояснить детали проделанных процедур.

[БубликЗяблик]

Изотропия, это когда свойства объектов не меняются в пространстве, при повороте и смещении их в нм. А в нашем случае: площадь фигуры и объём объекта пропорциональны их размерам, и одинаковы в любой точке пространства, при любом повороте.

Следствием однородности и изотропности пространства является теорема Пифагора, а уж из этой теоремы получается всем хорошо известное число \(\pi\).

пространство имеющее всюду одинаковую кривизну тоже может быть ИЗОТРОПНО
теорема пифагора справедлива  для пространства с нулевой кривизной
и для некоторых неизотропных пространств например цилиндра
а на поверхности например сферы теорема пифагора не верна
при этом такое пространство изотропно и однородно

[Мастеров АВ]

Озадачим компьютер.
Пусть железяка считает.
Для этого нам понадобится итерационная формула,
которая будет считать периметр \(3\times 2^n\)-граника.

\(S_n=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}\)

\(S_{n+1}=\sqrt{2+S_n}\), \(S_o=1\)

\(\pi_n=3\times 2^n\sqrt{2-S_n}\)
========================================================================



Убедитесь в том, что формулы работают. Для этого запустите Блокнот (стандартная программа Windows), скопируйте в Блокнот текст:

<SCRIPT>
var str="3,1415926535897932384626433832795<TABLE>"

for(i=0,s=1,j=1;i<13;i++){
   str+="<TR><TH>"+(6*j)+"</TH><TD>"+(Math.sqrt(2-s)*3*j)+"</TD></TR>"
   s=Math.sqrt(2+s);
   j<<=1; // j= j*2
}

document.write(str+"</TABLE>")
</SCRIPT>


Сохраните этот текст в файле pi.html.
Найдите этот файл в Проводнике и кликнете мышкой в него дважды.
Запустится браузер, а в нём будет текст:

3,1415926535897932384626433832795
6   3
12   3.1058285412302497
24   3.132628613281237
48   3.139350203046872
96   3.14103195089053
192   3.1414524722853443
384   3.141557607911622
768   3.141583892148936
1536   3.1415904632367617
3072   3.1415921060430483
6144   3.1415925165881546
12288   3.1415926186407894
24576   3.1415926453212157
Последняя итерация даёт ошибку 2.632 10^-9
----------------------------------------------------


ВЫВОД: Пи = 3.14... потому, что a²+b²=c², а последнее: потому, что пространство изотропно и в нём нет кривизны.

[Мастеров АВ]

Для вписанного в окружность многогранника:

\(\breve{\pi}_{n+1}=\frac{\sqrt{2}\breve{\pi}_n}{\sqrt{1+\sqrt{1-(\breve{\pi}_n/3/2^n)^2}}}\)
\(\breve{\pi}_o=3\)

Аналогичную формулу (используя Теорему Пифагора) можно получить для описывающего единичную окружность многогранника:

\(\hat{\pi}_{n+1}=\frac{2\hat{\pi}_n}{\sqrt{1+\sqrt{1+(\hat{\pi}_n/3/2^n)^2}}}\)
\(\hat{\pi}_o=2\sqrt{3}\approx 3.4641\)

Реальное \(\pi\) находится где-то между \(\breve{\pi}\) и \(\hat{\pi}\).

Асимптотически \(\pi\) вдвое ближе к вписанному. Т.е.:
\(\pi\approx\frac{2\breve{\pi}_n}{3}+\frac{\hat{\pi}_n}{3}\)
Эта формула позволяет увеличить точность вычисления (по вписанному многограннику) в 50 раз (примерно).
Начальные условия для этой формулы:
\(\pi_o=2\frac{3}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx 3.1547\)
Весьма не плохо.

[Мастеров АВ]

Чёта СУМЛЕВАЮСЬ я в своих формулах.
(Давно их получил. Будем проверять.)

Для вписанного:
\(\pi_n=3\times 2^n\sqrt{2-S_n}\)

Следовательно:
\(S_n=2-(\pi_n/3/2^n)^2\)
===========================

\(S_{n+1}=\sqrt{2+S_n}\), \(S_o=1\)

Следовательно:
\(2-(\pi_{n+1}/3/2^{n+1})^2=\sqrt{4-(\pi_n/3/2^n)^2}\), \(\pi_o=3\)

\(\pi_{n+1}=3\times 2^{n+1}\sqrt{2-\sqrt{4-(\pi_n/3/2^n)^2}}\), \(\pi_o=3\)

Это  - должно быть правильная формула.
(Проверим...)

Для 12-ти ганника:
\(\pi_1=6\sqrt{2-\sqrt{2+1}}=6\sqrt{2-\sqrt{3}}=\)3.106
\(\pi_2=12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\)3.1326
\(\pi_3=24\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=\)3.13935
\(\pi_{10}=3\times 1024\sqrt{2-\sqrt{2+..+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}=\)3.1415925
(Откуда я взял те формулы для Пи? - ЗАГАДКА!)

[БубликЗяблик]

вообще если произвольным образом деформировать без разрывов и растяжений плоскость
грубо говоря СМЯТЬ лист бумаги
то полученное многообразие будет неоднородным неизотропным (и кривизна в нём наже может быть разрывной) и при этом в нём будет исполняться теорема пифагора