Преобразования импульса и энергии - 16. В соответствии с прямыми и обратными обощенными преобразованиями Лоренца
рассмотрим элементарные перемещения некоторой частицы для
четырехмерных векторов \( ds =[cdt, dx, dy, dz] ; ds' = [cdt', dx', dy', dz' ] ; g= 1 - \frac{v^2}{c^2}. \)
\( dt' = (dt - \frac{dx*v}{c^2})*g^{fs}; dx' = (dx - dt*v)*g^{fs}; dy' = dy; dz' = dz; (d3=>) \)
\( dt = \frac{dt' + \frac{dx'*v}{c^2}}{g^{fs+1}}; dx = \frac{dx' + dt'*v}{g^{fs+1}}; dy = dy'; dz = dz'; (d3<=) \)
По аналогии можно рассмотреть обощенные преобразования Лоренца и для некоего произвольного вектора A = [At, Ax, Ay, Az] A'=B*A, где B - матрица, а A' = [At', Ax' , Ay', Az'].
\( At' = (At - \frac{Ax*v}{c^2})*g^{fs}; Ax' = (Ax - At*v)*g^{fs}; Ay' = Ay; Az' = Az; (A=>) \)
\( At = \frac{At' + \frac{Ax'*v}{c^2}}{g^{fs+1}}; Ax = \frac{Ax' + At'*v}{g^{fs+1}}; Ay = Ay'; Az = Az'; (A<=) \)
Введем по определению 4 импульс P4 = [Pt, Px, Py, Pz],
где положим по определению \( Pt := \frac{mo*c}{G^{fs+1}} = \frac{E}{c} + mo*c*[\frac{1+\frac{0,5}{fs}}{G^{fs}} - (1+\frac{0,5}{fs}) ];\) где \( G=1 - \frac{U^2}{C^2}. \)
В этом случае формулы преобразования импульса и энергии при переходе от одной системы отсчета к другой примут вид
\( Pt'=\frac{E'}{c} + mo*c*[\frac{1+\frac{0,5}{fs}}{G'^{fs}}- (1+\frac{0,5}{fs}) ] = (Pt - \frac{Px*v}{c^2})*g^{fs}; Px' = (Px - Pt*v)*g^{fs}; Py' = Py; Pz' = Pz; (PE=>) \)
\( Pt =\frac{E}{c} + mo*c*[\frac{1+\frac{0,5}{fs}}{G^{fs}} - (1+\frac{0,5}{fs}) ] = \frac{Pt' + \frac{Px'*v}{c^2}}{g^{fs+1}}; Px = \frac{Px' + Pt'*v}{g^{fs+1}}; Py = Py'; Pz = Pz'; (PE<=) \)
Отметим важные частные случаи
1). \( M >>m' => fs+1=0,5; => Pt = \frac{E}{c}; Pt' = \frac{E'}{c}. \)
\( \frac{E'}{c}= \frac{\frac{E}{c} - \frac{Px*v}{c^2}}{g^{0,5}}; Px' = \frac{Px -E \frac{v}{c}}{g^{0,5}}; Py' = Py; Pz' = Pz; (PE1=>) \)
\( \frac{E}{c}= \frac{\frac{E'}{c} + \frac{Px'*v}{c^2}}{g^{0,5}}; Px = \frac{Px' +E' \frac{v}{c}}{g^{0,5}}; Py = Py'; Pz = Pz'; (PE1<=) \)
2). \( M=m' => fs+1 = 0. E = moC^2[1 - 0,5G+0,5] = moC^2(1 + \frac{0,5*U^2}{C^2}) \) Эта ситуация соответсвует случаю так называемого симметричного парадокса близнецов, когда на самом деле реализуется ситуция полной симметричности или относительности движения.
\( Pt = \frac{E}{c} +mo*c*[\frac{0,5}{g} - 0,5]; Pt' = \frac{E'}{c} +mo*c*[\frac{0,5}{g} - 0,5]. \)
\( \frac{E'}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G'}-0,5] =\frac{\frac{E}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G}-0,5]-Px*\frac{v}{c^2}}{g};
Px'=\frac{Px-[\frac{E}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G}-0,5]]*v}{g}; Py'=Py; Pz'=Pz; (PE2=>) \)
\( \frac{E}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G} - 0,5] = (\frac{E'}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G'}-0,5]+Px'*\frac{v}{c^2}); Px
=(Px'+[\frac{E'}{c}+mo*c*[\frac{0,5}{G'}-0,5]]*v); Py=Py'; Pz=Pz'; (PE2=>) \)
3). \( M<<m' => fs+1 = - 0,5 E = moC^2 [ G^{0,5} -2/3*G^{1,5} +2/3] = moC^2(2/3 + G^{0,5} - 2/3*G^{1,5}); \)
\( Pt = \frac{E}{c}+mo*c*[2/3*G^{1,5}+2/3]; Pt' = \frac{E'}{c}+mo*c*[2/3*G'^{1,5}+2/3]; \)
\( \frac{E'}{c} + mo*c*[\frac{2/3}{G'^{1,5}} - 2/3 ] = \frac{\frac{E}{c}+mo*c*[2/3*G^{1,5}+2/3]-\frac{Px*v}{c^2}}{g^{1,5}}; \)
\( Px' =\frac{Px-[\frac{E}{c}+mo*c*[2/3*G^{1,5}+2/3]]*v}{g^{1,5}}; Py' = Py; Pz' = Pz; (PE3=>) \)
\( \frac{E}{c} + mo*c*[2/3*G^{0,5} - 2/3] = (\frac{E'}{c}+mo*c*[2/3*G'^{1,5}+2/3]+\frac{Px'*v}{c^2})*g^{0,5}; \)
\( Px =(Px'+[\frac{E'}{c}+mo*c*[2/3*G'^{1,5}+2/3]]*v)*g^{0,5}; Py = Py'; Pz = Pz'; (PE3<=) \)
