Из задачи двух тел

[Dachnik]

Пусть ускорение 10g. Сопротивление атмосферы не учитывать. При достижении заданной скорости двигатель ракеты выключается.

Соглашайся на взлет сразу на скорости 10 км/сек.
Уравнение Мещерского для ракеты с переменной массой тут решать некому.

[Иван Горин]

Соглашайся на взлет сразу на скорости 10 км/сек.
Уравнение Мещерского для ракеты с переменной массой тут решать некому.

Считай массу ракеты в этой задаче постоянной.

[Dachnik]

Считай массу ракеты в этой задаче постоянной.

Предупреждать надо, что у тебя двигатель гравицапный, глрючку не расходует.
Тогда скажи, когда гравицапу отключать.
А то за чвс , при ускорении 10g скорость будет 10*10*3600 = 360 ки/сек
и на Землю уже не вернется.

[Иван Горин]

Предупреждать надо, что у тебя двигатель гравицапный, глрючку не расходует.
Тогда скажи, когда гравицапу отключать.
А то за чвс , при ускорении 10g скорость будет 10*10*3600 = 360 ки/сек
и на Землю уже не вернется.

http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=598674.msg8369763#msg8369763

[ER*]

Вращение Земли вокруг оси при старте с экватора учитывается?

[Иван Горин]

Вращение Земли вокруг оси при старте с экватора учитывается?

Да.

[ER*]

Слова "ракета летит с ускорением \( a=10g \)" понимаем не в смысле тяговооружённости ракеты, а буквально, "механистически", т.е. ракета удаляется от Земли с ускорением \( 10g \). Масса Земли \( M \) \( >> \) массы тела \( m \). Так, на всякий случай, чтобы потом не было разговоров. Влияние Солнца не учитываем (ниже будет показано почему).

Нужная скорость \( v_0 \) = 10000 м/с будет достигнута на высоте \( h = v_0^2/2a \). При старте с экватора появится ещё дополнительная тангенциальная скорость \( u \) = 465,1013 м/сек

Именно эта тангенциальная составляющая и войдёт в момент импульса тела \( L=muR_\oplus \) (\( R_\oplus \) - радиус Земли). Соответственно, полную энергию тела обозначим как \( E = m(v_0^2 + (uR_\oplus/(R_\oplus+h))^2)/2 - GmM/(R_\oplus +h) \). Oсталось прикинуть параметры орбиты.

Обозначим \( v \) - линейная скорость тела в перигее/апогее, \( R \) - расстояние от центра Земли в перигее/апогее. Тогда

\( \star \) в силу закона сохранения момента импульса: \( mvR = L \) ; (1)

\( \star \) в силу закона сохранения энергии: \( mv^2/2 - GMm/R =E \) ; (2)

Решая систему уравнений (1) (2), находим выражение для \( R \).
\[ R = \frac{-GMm\,\pm\!\sqrt{G^2M^2m^2 + 4EL^2/(2m)}}{2E} \]
Подставляем нужные значения и получаем перигей 0,00173 земных радиусов, и апогей 8,03 земных радиусов.

Перигей меньше радиуса Земли: тело упадёт на Землю.

В случае старта с полюса \( u \) = 0 (и, соответственно, момент импульса \( L \) = 0). Выражение для \( R \) упрощается, теперь апогей 7,94 земных радиусов.

Все расстояния даны от центра Земли.

Апогей в обоих случаях недалеко от Земли, влияние Солнца ещё мало - можно не учитывать.

В обоих случаях тело упадёт на Землю, что интуитивно понятно и без расчётов.

[Иван Горин]

Слова "ракета летит с ускорением \( a=10g \)" понимаем не в смысле тяговооружённости ракеты, а буквально, "механистически", т.е. ракета удаляется от Земли с ускорением \( 10g \). Масса Земли \( M \) \( >> \) массы тела \( m \). Так, на всякий случай, чтобы потом не было разговоров. Влияние Солнца не учитываем (ниже будет показано почему).

Нужная скорость \( v_0 \) = 10000 м/с будет достигнута на высоте \( h = v_0^2/2a \). При старте с экватора появится ещё дополнительная тангенциальная скорость \( u \) = 465,1013 м/сек

Именно эта тангенциальная составляющая и войдёт в момент импульса тела \( L=mu(R_\oplus +h) \) (\( R_\oplus \) - радиус Земли). Соответственно, полную энергию тела обозначим как \( E = m(v_0^2 + u^2)/2 - GmM/(R_\oplus +h) \). Oсталось прикинуть параметры орбиты.

Обозначим \( v \) - линейная скорость тела в перигее/апогее, \( R \) - расстояние от центра Земли в перигее/апогее. Тогда

\( \star \) в силу закона сохранения момента импульса: \( mvR = L \) ; (1)

\( \star \) в силу закона сохранения энергии: \( mv^2/2 - GMm/R =E \) ; (2)

Решая систему уравнений (1) (2), находим выражение для \( R \).
\[ R = \frac{-GMm\,\pm\!\sqrt{G^2M^2m^2 + 4EL^2/(2m)}}{2E} \]
Подставляем нужные значения и получаем перигей 0,002 земных радиусов, и апогей 8,05 земных радиусов.

Перигей меньше радиуса Земли: тело упадёт на Землю.

В случае старта с полюса \( u \) = 0 (и, соответственно, момент импульса \( L \) = 0). Выражение для \( R \) упрощается, теперь апогей 7,94 земных радиусов.

Все расстояния даны от центра Земли.

Апогей в обоих случаях недалеко от Земли, влияние Солнца ещё мало - можно не учитывать.

В обоих случаях тело упадёт на Землю, что интуитивно понятно и без расчётов.

Всё верно.
Если бы двигатель выключили при скорости 10, 4 км/с, то ракета оторвалась бы от поля тяготения Земли?

[ER*]

Всё верно.
Если бы двигатель выключили при скорости 10, 4 км/с, то ракета оторвалась бы от поля тяготения Земли?

У меня получается для отрыва нужно 10,7 км/с.

Математически это выглядит как неотрицательная полная энергия тела.
\[ E = m(v_0^2 + (uR_\oplus/(R_\oplus+h))^2)/2 - GMm/(R_\oplus +h) \geq 0 \]
\[ E = E = m(v_0^2 + (uR_\oplus/(R_\oplus+h))^2)/2 - GMm/(R_\oplus +\frac{v_0^2}{2a}) \geq 0 \]

[Dachnik]

А в книжках пишут про 11,13 км/сек

[ER*]

А в книжках пишут про 11,13 км/сек

Где ссылки на эти книжки, Зин?

[Иван Горин]

У меня получается для отрыва нужно 10,7 км/с.

Математически это выглядит как неотрицательная полная энергия тела.
\[ E = m(v_0^2 + u^2)/2 - GMm/(R_\oplus +h) \geq 0 \]
\[ E = m(v_0^2 + u^2)/2 - GMm/(R_\oplus +\frac{v_0^2}{2a}) \geq 0 \]

Да, это условие отрыва. Я прикинул при старте с полюса.
И ещё,  проверь радиус в перигее. У меня по грубым прикидкам он порядка 0,1R_Земли
Эксцентрисет грубо - 0,973. Фокус, разумеется, в центре Земли.

[Dachnik]

Где ссылки на эти книжки, Зин?

Зачем тебе книжки в игноре.

[ER*]

Да, это условие отрыва. Я прикинул при старте с полюса.
И ещё,  проверь радиус в перигее. У меня по грубым прикидкам он порядка 0,1R_Земли
Эксцентрисет грубо - 0,973. Фокус, разумеется, в центре Земли.

Выражние для перигея:

\[ R_{перигей} = \frac{-GMm\,+\!\sqrt{G^2M^2m^2 + 4EL^2/(2m)}}{2E} \]

Предположим, \( R_{перигей}<<R_\oplus \). Тогда разложим подкоренное выражение до членов первого порядка:
\[ R_{перигей} = \frac{4EL^2/(2m)}{4EGMm^2} = \frac{L^2}{2GMm^2} = \frac{u^2(R_\oplus}{2GM}   \]
Подставим исходные данные.
\( u = 465,1013;\,  R_\oplus = 6371000;\,v_0=10000; \,a = 98,1; \, G = 6,67\cdot 10^{-11};\, M = 5,97\cdot 10^{-24} \)
Получаем прежнее значение перигея \( 0,00173R_\oplus \). Ничего не изменилось. Как точное выражение, так и упрощённое даёт одинаковый результат:

Подставляем нужные значения и получаем перигей 0,00173 земных радиусов

[Иван Горин]

Выражние для перигея:

\[ R_{перигей} = \frac{-GMm\,+\!\sqrt{G^2M^2m^2 + 4EL^2/(2m)}}{2E} \]

Предположим, \( R_{перигей}<<R_\oplus \). Тогда разложим подкоренное выражение до членов первого порядка:
\[ R_{перигей} = \frac{4EL^2/(2m)}{4EGMm^2} = \frac{L^2}{2GMm^2} = \frac{u^2(R_\oplus + v^2/a)^2}{2GM}   \]
Подставим исходные данные.
\( u = 465,1013,\,  R_\oplus = 6371000, \,v=10000, \,a = 98,1, \, G = 6,67\cdot 10^{-11},\, M = 5,97\cdot 10^{-24} \).
Получаем прежнее значение перигея \( 0,00202R_\oplus \). Ничего не изменилось:

Из твоих данных найдём экцентриситет e.
Из теории эллипса.
R_п=a(1-e) (1)
R_а=a(1+e) (2)
откуда
2a=R_п+R_а (3)
Из (1,2,3)
\[e=\frac{2R_a}{R_a+R_п}-1=\frac{2*8,05}{8,052}-1=0,99950323\]
e также можно выразить:
\[e=1-\frac{V_a^2}{\frac{\gamma M}{R_a}}\]
Найдём из этой формулы квадрат скорости в апогее:
\[V_a^2=\frac{\gamma M}{R_a}(1-e)=\frac{gR_E^2}{R_a}(1-e)=\frac{gR_E}{8,05}(1-e)=\frac{9,81*6,731*10^6}{8,05}(1-0,99950323)=8,1985*10^6\]
V_a=2,86 км/с

Мы получили линейную скорость ракеты в апогее. Она перпендикулярна большой оси эллипса. Радиальная скорость равна нулю.

Примеменяем закон сохранения момента импульса.
При страте ракеты с Земли начальный момент импулса был
L=muR_E
В апогее он остался таким же
L=mV_aV_a
\[V_a=\frac{uR_E}{8,05R_E}=\frac{u}{8,05}=\frac{0,4651}{8,05}=0,0578\,\frac{км}{с}\]

ER, где-то у нас нестыковка с результатами.

[ER*]

ER, где-то у нас нестыковка с результатами.

Через момент импульса посчитано правильно - скорость в апогее около 60 м/с. Значит, неверна формула

\[ e=1-\frac{V_a^2}{\frac{\gamma M}{R_a}} \]

Откуда ты её получил?

[Dachnik]

Когда тело падает из бесконечности до радиуса поверхности Земли 6,37*10⁶ метр, то скорость у Земли будет  определятся так.

Сила тяготения будет расти по формуле  \( dF =  \frac  {GMm}{R^2}dr  \)

На радиусе R  \[ U  = \int_{\infty}^R \frac  {GMm}{R^2}dr  = \frac {GMm}{R} \]
Потенциал на радиусе Земли  будет   \(  \frac {U}{m} = \frac {GM }{R} \)

Кинетическая энергия массы m равна потенциальной энергии массы m

\( mv^2/2 = \frac {mGM}{R} \)

\( V = \sqrt {\frac {2GM}{R}} = \sqrt {\frac {2*6.67*10^{-11}*6*10^{24}}{6,37*10^6}} \) = \( \sqrt {125*10^6} = 11180 м/сек.
 \) = 11,2 км/сек

А на ЕР*а  внимание не обращайте. Он сам не ведает, что творит.
У меня он в игноре теперь.

[Иван Горин]

Когда тело падает из бесконечности до радиуса поверхности Земли 6,37*10⁶ метр, то скорость у Земли будет  определятся так.

Сила тяготения будет расти по формуле  \( dF =  \frac  {GMm}{R^2}dr  \)

На радиусе R  \[  F = \int_{\infty}^R \frac  {GMm}{R^2}dr  = \frac {GMm}{R} \]
Потенциал на радиусе Земли  будет   \(  \frac {F}{m} = \frac {GM }{R} \)

РАЗМЕРНОСТИ НЕ СХОДЯТСЯ.

[ER*]

\( V = \sqrt {\frac {2GM}{R}} = \sqrt {\frac {2*6.67*10^{-11}*6*10^{24}}{6,37*10^6}} \) = \( \sqrt {125*10^6} = 11180 м/сек.
 \) = 11,2 км/сек

Молодец, Дачник! Получил формулу для второй космической скорости \( V = \sqrt {\frac {2GM}{R}} \)

А, то без тебя никто бы её никогда не узнал. Но задача была не на получение второй космической скорости, а несколько другая..... Говорил я тебе, Дачник. Невнимательность тебя погубит.

[Иван Горин]

Через момент импульса посчитано правильно - скорость в апогее около 60 м/с. Значит, неверна формула

e=1-\frac{V_a^2}{\frac{\gamma M}{R_a}}

Откуда ты её получил?

Из теории двух тел.