Из задачи двух тел

[Иван Горин]

Два гравитационных тела массами m1 и m2 вращаются друг относительно друга по круговым траекториям с линейными скоростями V1 и V2 относительно ЦМ этих тел.
Найти радиусы орбит этих тел от ЦМ в общем виде. Привести чертёж.
m1>m2 в три раза.

[Alexpo]

Два гравитационных тела массами m1 и m2 вращаются друг относительно друга по круговым траекториям с линейными скоростями V1 и V2 относительно ЦМ этих тел.
Найти радиусы орбит этих тел от ЦМ в общем виде. Привести чертёж.
m1>m2 в три раза.

R₁=Gm₂³/(m₁+m₂)²v₁²

R₂=Gm₁³/(m₁+m₂)²v₂²

P.S. В принципе достаточно было знать одну скорость

[Иван Горин]

R₁=Gm₂³/(m₁+m₂)²v₁²

R₂=Gm₁³/(m₁+m₂)²v₂²

P.S. В принципе достаточно было знать одну скорость

Алекспо, вы слишком быстро решили эту задачу.Остальные участники и прочитать задание не успели.
Тогда задание для форумчан. Доказать эти формулы. И привести зависимость скоростей друг от друга. Привести чертёж.
Михаил Ост, пожалуйста не помогать.
Александр Витальевич, эта тема вам хорошо известна. Помогайте в выводах формул.

[Dachnik]

Массы вращаются с угловой скоростью W
Расстояние между массами L
Расстояние массы 3m от ц.м. R
3m*R = m*(L - R)
3R = (L - R)
R = L/4
L - R = L - L/4 = 3L/4
ЦБС 3m   будет 3mW²L/4  ньютон
ЦБС массы m = m*W²3L/4   ньютон
Сила тяготения  на каждую массу проходит через ц.м.
 F = 6,67*10^-113m*m/L² ньютон

6,67*10^-113m*m/L²= 3mW²L/4

4*6,67*10^-11m/L³ = W²

W = V₁/(L/4)

4*6,67*10^-11m/L³  = V₁²/(L²/16)

4*6,67*10^-11m/L = 16V₁²

Теперь находить L и решать задачку.
Проверять лень, но алгоритм верный.

[Alexpo]

Алекспо, вы слишком быстро решили эту задачу.Остальные участники и прочитать задание не успели.
Тогда задание для форумчан. Доказать эти формулы. И привести зависимость скоростей друг от друга. Привести чертёж.

Я специально пока не стал приводить решение. Пусть ещё кто-нибудь попробует. Если нужно, вышлю в личку.

[Иван Горин]

Я специально пока не стал приводить решение. Пусть ещё кто-нибудь попробует. Если нужно, вышлю в личку.

Не надо высылать. Я знаю выводы. Формулы у вас правильные.
Я тоже не привожу подробный вывод. Пусть кто-нибудь попробует доказать правильность ваших формул.

И без введения дополнительных центробежных сил.
В ИСО нет центробежных сил. Задача решается с использование второго закона Ньютона. В этой задаче есть только одна сила. Сила взаимного притяжения тел. И, разумеется, по 3 закону Ньютона эта сила одинаковая для обоих тел.

[Dachnik]

Я специально пока не стал приводить решение. Пусть ещё кто-нибудь попробует. Если нужно, вышлю в личку.

Еще вышлите учебник Теоретическая механика.
Иначе никак.
Вы правильно заметили, что достаточно знать одну скорость V, допустим скорость массы 3m.
Тогда задача решается из условия равенства силы тяготения центробежной силе.

\( \frac {G3mm}{L^2} = 3m\frac {V^2}{L/4} \)

\( \frac {G3m}{L^2} =12m\frac {V^2}{L} \)

\( \frac {G3m}{L} =12V^2 \)

\( L = \frac {G3m}{12V^2} = \frac {Gm}{4V^2}  \)

Радиусы L/4 и 3L/4

[Иван Горин]

Какое решение у Дачника правильное? Первое или второе? Я посчитал, что первое неправильное. Но свой пост удалил, так как моё утвержение было голословным, без доказательств.

[Dachnik]

Какое решение у Дачника правильное? Первое или второе? Я посчитал, что первое неправильное. Но свой пост удалил, так как моё утвержение было голословным, без доказательств.

Оба правильные.
В последнем исправил опечатку.
3/12 = 1/4, а не 1/3

[Иван Горин]

Оба правильные.
В последнем исправил опечатку.
3/12 = 1/4, а не 1/3

Теперь осталось привести полный вывод формул Алекспо в общем виде.
Подставить в них условие для соотношений масс и получить ваши формулы.

[Dachnik]

Теперь осталось привести полный вывод формул Алекспо в общем виде.
Подставить в них условие для соотношений масс и получить ваши формулы.

Вот и займитесь этим.
Делите одно уравнение на другое, с учетом того что
\( V_1 = \omega R_1 \)
\( V_2 =  \omega R_2 \)

[Иван Горин]

Вот и займитесь этим.
Делите одно уравнение на другое, с учетом того что
\( V_1 = \omega R_1 \)
\( V_2 =  \omega R_2 \)

Правильно.
Но надо вывести формулы Алекспо в общем виде. А не из формул Алекспо доказать правильность вашего решения.
А мне то зачем заниматься. Я перед постановкой задачи, решаю её.
Я привёл для начала простейшую школьную задачу из небесной механики, которая решается аналитически.
Придёт ещё ограниченная задача трёх тел, которая имеет также аналитическое решение.

[Dachnik]

Правильно.
Но надо вывести формулы Алекспо в общем виде. А не из формул Алекспо доказать правильность вашего решения.
А мне то зачем заниматься. Я перед постановкой задачи, решаю её.
Я привёл для начала простейшую школьную задачу из небесной механики, которая решается аналитически.
Придёт ещё ограниченная задача трёх тел, которая имеет также аналитическое решение.

Федор тоже предлагал задачки и утверждал, что он то ее решил, а моих решений не признавал.. Ну и послал я его.
Уравнения Алексея  дают соотношения радиусов, обратно пропорциональные соотношению масс. Решите их, как я сказал.
В задаче требуется  по скорости и соотношению масс определить радиусы в метрах
Это и дает мое решение.

[Иван Горин]

Оба правильные.
В последнем исправил опечатку.
3/12 = 1/4, а не 1/3

Отлично, Дачник. Теперь оба ваши решения правильные.

[Иван Горин]

Здравствуйте, уважаемые форумчане.
   
Для того, чтобы определить правильность или неправильность приведённых "правильных" формул, достаточно проверить их на соответствие основному условию движения по окружности, когда, при совмещении начала системы координат с центром круговых траекторий вращающихся друг относительно друга "двух гравитационных тел массами m1 и m2", направления векторов их центростремительных ускорений соответственно противоположны направлению их радиус-векторов, а именно когда \[g =- \upsilon ^2/R. \]
Итак, отыщем для этого производную по времени, к примеру, выражения для величины радиус-вектора первого тела \[R_{1}=\frac{Gm_{2}^{3}}{(m_1+m_2)^2\upsilon _{1}^{2}}.\]
\[\frac{d}{dt}R_{1}=\upsilon _{1}=-\frac{2Gm_{2}^{3}}{(m_1+m_2)^2\upsilon _{1}^{3}}\frac{d}{dt}\upsilon_1=-\frac{2Gm_{2}^{3}}{(m_1+m_2)^2\upsilon _{1}^{3}}g_1. \Rightarrow \] \[\upsilon _{1}=-\frac{2R_1}{\upsilon _{1}}g_1\Rightarrow g_1=-\frac{\upsilon _{1}^{2}}{2R_1}.\] Полученный непосредственным элементарным однократным дифференцированием "правильного" выражения результат противоречит основному условию движения материальной точки по окружности, а, следовательно, приведённые "правильные" формулы никакого отношения к описанию кругового движения не имеют.

Производная от постоянной величины равна нулю.
При круговом движении R=const, V=const

[Dachnik]

Производная от постоянной величины равна нулю.
При круговом движении R=const, V=const

При круговом движении вектор V переменный по направлению.
Вращается относительно своего начала с угловой скоростью

 \( \vec \omega = \frac {\vec v_1}{\vec r_1} \)

Вектор центростремительного ускорения (вектор грав. силы)  вращается с той же угловой скоростью

 \( \vec a = \frac {\vec v_1}{\vec r_1}*\vec v_1 = \vec \omega \times \vec v_1 = \frac {v_1^2}{\vec R_1} \)

[Alexpo]

Ещё раз: приведённое элементарное дифференцирование наглядно демонстрирует, что "правильные" формулы

Ещё раз: вы написали ерунду.
Линейную скорость и центростремительное ускорение в принципе НЕЛЬЗЯ найти дифференцированием радиуса и линейной скорости соответственно.

Как вам правильно написал Горин: при движении по окружности R и v постоянны и их производные равны 0.

Так что ваше "элементарное дифференцирование" даёт просто
0 = 0
что, разумеется, верно.

[Alexpo]

При круговом движении вектор V переменный по направлению.
Вращается относительно своего начала с угловой скоростью

 \( \vec \omega = \frac {\vec v_1}{\vec r_1} \)

Вектор центростремительного ускорения (вектор грав. силы)  вращается с той же угловой скоростью

 \( \vec a = \frac {\vec v_1}{\vec r_1} = \vec \omega \times \vec v_1 = \frac {v_1^2}{\vec R_1} \)

Дачник, прекратите писать хрень!
Деление на вектор не определено.

[Dachnik]

Иван!
Ты зачем мои посты стер, а чужую хрень оставляешь.
При движении по кривой в полярных координатах функция  радиуса и угла  \(  U(\vec R, \theta) \)
\( \frac {du}{dt} = \frac {d\theta}{dt} R + \frac {dR}{dt}\theta \)

При постоянном радиусе остается  \( \frac {d\theta}{dt} R = \vec {\omega R} \) вектор линейной скорости.
Этот вектор вращается по окружности относительно своего начала с той же угловой скоростью.
\( \frac {d\omega R, \theta}{dt} = \omega^2 R \)  Центробежное ускорение при радиусе от центра.

[Иван Горин]

Топикстартеру: так Вы поняли или нет, что приведённые в обсуждении "правильные" формулы Алекспо никакого отношения к описанию кругового движения не имеют, так как не удовлетворяют условию для устойчивого движения материальной точки по окружности, когда \[g=-\upsilon^2/R?\]

ПОЛНОСТЬЮ УДОВЛЕТВОРЯЮТ.  Берите правильно производные.
Если движение по окружности, то и применяйте дифференцирование радиус вектора в векторной форме два раза. И получите в точности своё ускорение.
Только для этого вам надо, по крайней мере, окончить три курса технического вуза.