Из задачи двух тел

[Иван Горин]

Иван!
Ты зачем мои посты стер, а чужую хрень оставляешь.
При движении по кривой в полярных координатах функция  радиуса и угла  \(  U(\vec R, \theta) \)
\( \frac {du}{dt} = \frac {d\theta}{dt} R + \frac {dR}{dt}\theta \)

При постоянном радиусе остается  \( \frac {d\theta}{dt} R = \vec {\omega R} \) вектор линейной скорости.
Этот вектор вращается по окружности относительно своего начала с той же угловой скоростью.
\( \frac {d\omega R, \theta}{dt} = \omega^2 R \)  Центробежное ускорение при радиусе от центра.

Нет никакого ЦБ ускорения в этой задаче!
А ваши посты с DAP я удалил, как спам.
Не надо повторять невежество много раз.

[Иван Горин]

R₁=Gm₂³/(m₁+m₂)²v₁²

R₂=Gm₁³/(m₁+m₂)²v₂²

P.S. В принципе достаточно было знать одну скорость

Движение по окружности.
Модуль радиус вектора первого тела:
\[R_1=\frac{\gamma M_{пр.2}}{V_1^2}\]
Масса второго тела, приведенная к центру масс, то есть к центру окружности:
\[M_{пр.2}=\frac{m_2}{(1+\frac{m_1}{m_2})^2}\]
Положительное направление радиус вектора \(\vec{r_1}\) - от центра к телу массой m₁
Уравнение окружности в векторной форме Эйлера:
\[\vec{r_1}=R_1e^{j\omega t}\]
Вектор скорости:
\[\vec{V}_1=\dot{\vec{r_1}}=j\omega R_1e^{j\omega t}=\omega R_1e^{j\omega t+\frac{\pi }{2}}\]
Вектор скорости опережает радиус вектор на 90°, то есть направлен по касательной к окружности в сторону вращения.
Модуль вектора скорости:
\[V_1=\omega R_1\]

Вектор ускорения:
\[\vec{a_1}=\dot{\vec{V_1}}=\ddot{\vec{r_1}}=-\omega^2 R_1e^{j\omega t}\]
Вектор ускорения противоположен радиус вектору, то есть направлен к центру.
И поэтому называется центростремительным ускорением, а не центробежным.
Больше никаких ускорений в этой задаче нет.
Найдем модуль ЦС ускорения:
\[a_1=\omega^2 R_1=\frac{V_1^2}{R_1}\]

[Dachnik]

А вот еще физик шутит, что задачку решил
R₁=Gm₂³/(m₁+m₂)²v₁²

R₂=Gm₁³/(m₁+m₂)²v₂²

Делим первое уравнение на второе.
\[ \frac {R_1}{R_2} = \frac {m_2^3}{m_1^3}\frac {V_2^2}{V_1^2} \]
\( m_1 = 3m_2 \)
\( \frac {m_2^3}{m_1^3} = \frac {1}{27} \)
\( R_1 = L/4 \)
\( R_2 = 3L/4 \)
\( \frac {R_1}{R_2} =  1/3 \)
\[ \frac  {R_1}{R_2}= 27\frac {V_2^2}{V_1^2} \]
\( V_1 = \omega R_1 \)
\( V_2 = \omega R_2 \)
\( \frac {V_2^2}{V_1^2} = \frac {R_2^2}{R_1^2} \)

Получилось в результате  \(  \frac {R_1}{R_2} = \frac {1}{27}\frac {R_2^2}{R_1^2} = 1/3
 \)
Так он правильно нашел центр масс.

[Alexpo]

А вот еще физик шутит, что задачку решил

Что сказать-то хотели? Что решение неверно?
Так приведите свое в общем виде, сравним.

[Alexpo]

Нетрудно видеть, что функциональная взаимосвязь величин \(R\) и \(\upsilon\), следующая из "правильных" формул
\[R_i\cdot \upsilon_{i}^{2}=const\] противоречит даже закону сохранения момента импульса, характеризующего устойчивое круговое движение материальных тел.

Вердикт неутешителен, но он прежний: предложенные вниманию "правильные" формулы отношения к описанию движения материальных тел по окружности не имеют по причине их противоречия даже закону сохранения момента импульса.

 
Отказавшись от глупостей с дифференцированием постоянного радиуса, вы решили перейти к написанию других глупостей?

Вы, видимо, не решали в школе задачу о движении спутника m вокруг Земли М. Не надо пропускать уроки! Но никогда не поздно узнать правильное решение.  g<g

ma = F
mV²/R = GmM/R²
R = GM/V²   

RV² = GM = const !

[Alexpo]

Придётся всё же привести моё решение, а то пишут тут всякую ерунду.
Обозначим L = R₁ + R₂
Пусть m₁ имеет координату х₁=0, тогда m₂ имеет координату х₂=L 
Тогда координата центра масс
\[х_{цм}=R_1=\frac{m_2L}{m_1+m_2}\]
Выразим отсюда L
\[L=\frac{(m_1+m_2)R_1}{m_2}\]
Пишем второй закон Ньютона для m₁
\[m_1a_1 = F\]
\[m_1\frac{V_1^2}{R_1}=G \frac{m_1 m_2}{L^2}\]
Подставляем сюда L и получаем:
\[R_1= \frac{G {m_2}^3}{{(m_1+m_2)}^2 V_1^2}\]
Всё!

R₂  получаем аналогично.

[Alexpo]

Итак
радиусы остаются постоянными исключительно в фантазиях упомянутых товарищей.

Идите учите физику.

[DAP]

 

Идите учите физику.

Если бы Вы учили физику, то Вы бы знали, что вытекающая из закона сохранения момента импульса, выполнение которого является необходимым условием устойчивого движения по окружности, является функциональная взаимосвязь величин \(R\) и \(\upsilon\) \[[\vec{R},\vec{\upsilon }]^2=R^2\cdot \upsilon ^2=C^2,\]а не та, не имеющая отношения к описанию кругового движения ерунда

R₁=Gm₂³/(m₁+m₂)²v₁²
R₂=Gm₁³/(m₁+m₂)²v₂²
P.S. В принципе достаточно было знать одну скорость

которую Вы здесь запостили и которая противоречит закону сохранения момента импульса.

[Alexpo]

Общедоступно для понимания, что одним из основных условий устойчивого кругового движения материального тела массой \(m\) является выполнение закона сохранения момента импульса, математически формулируемого так: \[d[m\vec{R},\vec{\upsilon }]=0\Rightarrow [\vec{R},\vec{\upsilon }]=C=const.\]Так как при движении по окружности вектор линейной скорости \(\vec{\upsilon }\) и радиус-вектор \(\vec{R}\) вращающегося тела всегда ортогональны, то последнее можно записать, как \[[\vec{R},\vec{\upsilon }]^2=R^2\cdot \upsilon ^2=C^2.\]Нетрудно видеть, что функциональная взаимосвязь величин \(R\) и \(\upsilon\), следующая из "правильных" формул
\[R_i\cdot \upsilon_{i}^{2}=const\] противоречит даже закону сохранения момента импульса, характеризующего устойчивое круговое движение материальных тел.

Вердикт неутешителен, но он прежний: предложенные вниманию "правильные" формулы отношения к описанию движения материальных тел по окружности не имеют по причине их противоречия даже закону сохранения момента импульса.

DAP вы запутались в трёх соснах. 

Момент импульса сохраняется во времени, т.е. не изменяется со временем.

У меня дана связь R и V, при этом обе величины от времени не зависят.  Поэтому какова бы ни была связь между ними, их произведение RV от времени не зависит RV = const. А , значит, закон сохранения момента импульса прекрасно выполняется

[Dachnik]

Что сказать-то хотели? Что решение неверно?
Так приведите свое в общем виде, сравним.

Ну и зачем вы это написали, вы же видите, что у меня решение в общем виде.
\( L = \frac {Gm}{4V^2}  \) метр
Радиусы L/4 и 3L/4
Берите m₁ = 3 кг
Скорость 10 метр/сек
\( L =  \frac {Gm}{4V^2} = \frac {6.67*10^{-11}*3}{400} =5*10^{-13}  \)  метр

Сравниваем с вашим m1 = 3  m2 = 1    V1 = 10
\( R_1 = \frac {6.67*10^{-11}*1}{16*100} = 4*10^{14}\, метр \)

У вас правильно только с размерностями.

[Иван Горин]

Идите учите физику.

DAP  должен учить не только физику, но математику. Интеграл живых сил он решает разделением переменных. 

[Alexpo]

Ну и зачем вы это написали, вы же видите, что у меня решение в общем виде.
\( L = \frac {Gm}{4V^2}  \) метр
Радиусы L/4 и 3L/4
Берите m₁ = 3 кг
Скорость 10 метр/сек
\( L =  \frac {Gm}{4V^2} = \frac {6.67*10^{-11}*3}{400} =5*10^{-13}  \)  метр

Сравниваем с вашим m1 = 3  m2 = 1    V1 = 10
\( R_1 = \frac {6.67*10^{-11}*1}{16*100} = 4*10^{14}\, метр \)

У вас правильно только с размерностями.

Ох Дачник, Дачник... 

Раз вы использовали заданное Гориным соотношение масс, то решение уже не может называться в общем виде. Кроме того, формула, которую вы привели

\( L = \frac {Gm}{4V^2}  \) метр

справедлива только, если в ней написать m₂ и V₁.
Тогда она легко получается из моей формулы для R₁.

А вы всё перепутали....

[Dachnik]

 author=Alexpo link
Придётся всё же привести моё решение, а то пишут тут всякую ерунду.
(Поможем, чем можем)  В скобках
Обозначим L = R₁ + R₂
  (m1 = 3m2)
Пусть m₁ имеет координату х₁=0, тогда m₂ имеет координату х₂=L 
Тогда координата центра масс
\[х_{цм}=R_1=\frac{m_2L}{m_1+m_2}\]
\(  (m_2 = 3m_1 \qquad
  R_1 = L\frac {m}{4m} = L/4) \)
Выразим отсюда L
\[L=\frac{(m_1+m_2)R_1}{m_2}\]
(L = 4R₁)

Пишем второй закон Ньютона для m₁
\[m_1a_1 = F\]
\[m_1\frac{V_1^2}{R_1}=G \frac{m_1 m_2}{L^2}\]

Подставляем сюда L и получаем:
\[R_1=G \frac{G {m_2}^3}{{(m_1+m_2)}^2 V_1^2}\]
Написали закон Ньютона для  равенства силы тяготения центробежной силе.
\[m_1\frac{V_1^2}{R_1}=G \frac{m_1 m_2}{L^2}\]
подставляем сюда L и получаем
\[\frac{V_1^2}{R_1}=G \frac{ m_2}{16R_1^2}\]
\( V_1^2=G \frac{ m_2}{16R_1} \)

\( R_1 =G \frac{ m_2}{16V_1^2} \)

\( L = 4G \frac{ m_2}{16V_1^2} = G \frac{ m_2}{4V_1^2} = \)

В моем решение ответ
\( L =  \frac {Gm}{4V^2}  \)

[Dachnik]

Ох Дачник, Дачник... 

Раз вы использовали заданное Гориным соотношение масс, то решение уже не может называться в общем виде. Кроме того, формула, которую вы привели

\( L = \frac {Gm}{4V^2}  \) метр

справедлива только, если в ней написать m₂ и V₁.
Тогда она легко получается из моей формулы для R₁.

А вы всё перепутали....

Без соотношения масс центр масс не определяется.
Ваше \( \frac {m_2^3}{(m_1+m_2)^2} \) центра масс не даст

Вот и получите мой ответ из вашего выражения
\[R_1=G \frac{G {m_2}^3}{{(m_1+m_2)}^2 V_1^2}\]

[Alexpo]

Без соотношения масс центр масс не определяется.
Ваше \( \frac {m_2^3}{(m_1+m_2)^2} \) центра масс не даст

У меня он определяется в общем виде

\[х_{цм}=R_1=\frac{m_2L}{m_1+m_2}\]

Вот и получите мой ответ из вашего выражения
\[R_1=\frac{G {m_2}^3}{{(m_1+m_2)}^2 V_1^2}\]

Элементарно, Ватсон Дачник! 
Получаем из моего общего случая ваш частный случай:

Берем m1/m2 = 3, получаем
\[R_1=\frac{m_2L}{m_1+m_2} = \frac{L}{4}\]
подставляем это в формулу
\[R_1=\frac{G {m_2}^3}{{(m_1+m_2)}^2 V_1^2}\]
получаем
\[\frac{L}{4}=\frac{G m_2}{4^2 V_1^2}\]
И окончательно
\[L =\frac{G m_2}{4 V_1^2}\]
Никаких проблем!  &/

[tcaplin]

Мне показалась задача элементарной и не интересной, но потом взлянул и удивился, что вы тут наворотили.
Алекспо не использовал условие m₁=3m₂.  (1)
А одна из скоростей, действительно, лишняя.
V₁=ωR₁
V₂=ωR₂
Делим первое на второе, получаем:
V₁/V₂=R₁/R₂   (2)
Теперь используем равенство центробежных сил между собой и силе тяготения по Ньютону:

ϒm₁m₂/(R₁+R₂)²=m₁ω²R₁=m₂ω²R₂   (3)
Из второго знака равенства имеем:
m₁/m₂=R₂/R₁=3 (по условию задачи), т.е. R₂=3R₁,  (4)
и, в силу (2): V₂=3V₁   (5)
Подставив (1) и (4) в равенство (3), решаем относительно R₁:
R₁=ϒm₂/16V₁²
R₂=3R₁
По-моему, так...
P.S. Пока писал, появилось новое решение Алекспо. L по условию не дано, но, очевидно, L=4R₁

[Alexpo]

Алекспо не использовал условие m₁=3m₂.  (1)

Совершенно верно, мне показалось более интересным решить задачу в общем случае, для произвольных масс. Горин сразу понял, ну а некоторые..... 

[Иван Горин]

Вы зря приписываете это Эйлеру. Зачем Вы на человека наговариваете?

Вы мне, DAP, надоели.
Я не успеваю убирать за вами ваш троллинг.
Но отвечу.
Эйлер ввел понятие мнимой единицы. (Эйлер применил комплексное исчисление для доказательства теоремы Ферма для n=3)
В механике мнимую единицу записывают как i.
Я её пишу как j. Привычка из ТОЭ. Ось х в моих записях действительная. Ось y - мнимая.
 
Впервые комплексные числа изобрёл Карно. Продолжили Гаус, Эйлер и другие математики.

Формулу окружности, которую я привёл, это не формула Эйлера, а форма Эйлера в показательном виде.

Эта запись применима не только в ТОЭ, но и в механике. И в механике гораздо нагляднее, чем использование ортов.
Единственное отличие. В механике нельзя делить вектора. В ТОЭ комплексы можно делить.
Операции с мнимой единицей одинаковы и в ТОЭ, и в механике.

[Иван Горин]

Да тут, оказывается, основным доказательством у топикстартера является регулярное удаление опровергающих его голословные утверждения постов, на которые он не в состоянии ответить. Понятно...

Удаление вашего систематического троллинга.

[Иван Горин]

Итак, за записью параметров якобы "вращения двух гравитационных тел массами m1 и m2 друг относительно друга по круговым траекториям с линейными скоростями V1 и V2 относительно ЦМ этих тел" скрывается основное дифференциальное уравнение в терминологии гравитационной теории имени Ньютона, описывающее закон движения друг относительно друга двух гравитационно взаимодействующих тел при отсутствии внешних воздействий, а именно: \[g=\frac{d^2R(t)}{dt^2}=-\frac{G(m_1+m_2)}{R(t)^2},\, \, \, (1)\]где \(R(t)\) – расстояние между ЦМ тел.

Математическая запись этого закона движения представляет собой функциональную зависимость величин \(R, t, m_1, m_2\) между собой и позволяет решить это дифференциальное уравнение при постоянных \(G, m_1, m_2\). Решая это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, находим \[ R(t)=t^{2/3}(9G(m_1+m_2)/2)^{1/3};\, \,  t(R)=R^{3/2}/(9G(m_1+m_2)/2)^{1/2}.\, \, \, (2)\]
Записав выражения величин \(R(t), dR(t)/dt, d^2R(t)/dt^2\):
\[R(t)=t^{2/3}(9G(m_1+m_2)/2)^{1/3},\, \, \, (3)\] \[ dR(t)/dt=\upsilon (t)=\frac{2}{3}t^{-1/3}(9G(m_1+m_2)/2)^{1/3},\, \, \, (4)\] \[ d^2R(t)/dt^2=g (t)=-\frac{2}{9}t^{-4/3}(9G(m_1+m_2)/2)^{1/3},\, \, \, (5) \]нетрудно видеть, что в данном случае не выполняется условие для движения материального тела по окружности, когда следствием закона движения (1), вытекающего из классической гравитационной теории, является отрицание устойчивого кругового движения: \[g=-\frac{\upsilon^2}{2R}.\, \, \, (6)\]
Следовательно, утверждения о "правильности" формул, которые якобы имеют отношение к описанию кругового движения материальных тел и забавные глупости

о " дифференцировании постоянного радиуса" - не более, чем заблуждение, так как до сих пор не опровергнутые приведённЫЕ доказательствА свидетельствуют: упоминаемые радиусы остаются постоянными исключительно в фантазиях упомянутых товарищей.

1. Ваша формула (1) по законам Ньютона записана неверно.
2. Имеются два тела.
3. Законы Ньютона надо записывать в векторной форме.
4. Интеграл живых сил не решается разделением переменных.
В школу изучать математику и физику. Затем в институт изучать интегральное и дифференциальное исчисление.
И только затем учавствовать в этом подфоруме БФ "Физика и математика"
Всё ясно, DAP?
Ась?