Космическая гантеля

[Иван Горин]

Относительно пола.
Выводится из \(\displaystyle h=-R_0~e^{i\Omega_z t} + i~(\Omega_z (R_0 - h_0)+v_0)~t + (R_0-h_0)\).

Сравним с выводом в ИСО.


За время пока тело массой m пройдёт расстояние M₁ M₂=\(\sqrt{R^2-(R-h)^2}\)
и повернётся на угол \(\varphi_1=\arccos \frac{R-h}{R}\)

станция повернётся на угол
\[\varphi_2=\frac{M_1M_2}{R-h}=\frac{\sqrt{R^2-(R-h)^2}}{R-h}\]
\[\Delta \varphi =\varphi _2-\varphi _1=\frac{\sqrt{R^2-(R-h)^2}}{R-h}-\arccos \frac{R-h}{R}\]
Длина дуги AA₂
\[AA_2=\Delta \varphi (R-h)=(R-h)\left [ \frac{\sqrt{R^2-(R-h)^2}}{R-h}-\arccos \frac{R-h}{R} \right ]\]
\[AA_2=\Delta \varphi (R-h)= \sqrt{R^2-(R-h)^2}-(R-h)\arccos \frac{R-h}{R}\]
Длину отрезка M₁ M₂=\(\sqrt{R^2-(R-h)^2}\) можно записать:
M₁ M₂=\(Rsin\varphi _1=Rsin(\arccos \frac{R-h}{R})\)
В итоге получаем формулу длины дуги на потолке:
\[AA_2=Rsin(\arccos \frac{R-h}{R})-(R-h)\arccos \frac{R-h}{R}\]

[Иван Горин]

Относительно пола.
Выводится из \(\displaystyle h=-R_0~e^{i\Omega_z t} + i~(\Omega_z (R_0 - h_0)+v_0)~t + (R_0-h_0)\).

Из этого чертежа необходимо найти радиус вектор r_m в ИСО.
Из чертежа очевидно:
\[\vec{A_1A_2}+\vec{r_m}=\vec{A_1C}\]

И радиус вектор r'_m в неИСО, то есть в каюте, относительно вертикали.
У меня в результате выводов получается:
В ИСО, то есть относительно центра вращения О:
Модуль вектора
\[r_m=\sqrt{x_m^2+y_m^2}\]
Угол
\[\alpha =\arctan \frac{y_m}{x_m}\]
\[\vec{r_m}=r_me^{j\alpha }\]
\[x_m=(R-h)(1-cos\omega t)\]
\[y_m=(R-h)(\omega t-sin\omega t)\]

В неИСО, то есть в каюте модуль вектора не изменяется, а измняется угол.
\[\alpha '=\omega t-\alpha\]

И получаем вектор движения тела массой m относительно вертикали каюты станции:
\[\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}\]

Вопрос к тебе Михаил, как получить твою формулу, которая выше в цитате?

[Ost]

Из этого чертежа необходимо найти радиус вектор r_m в ИСО.
Из чертежа очевидно:
\[\vec{A_1A_2}+\vec{r_m}=\vec{A_1C}\]

И радиус вектор r'_m в неИСО, то есть в каюте, относительно вертикали.
У меня в результате выводов получается:
В ИСО, то есть относительно центра вращения О:
Модуль вектора
\[r_m=\sqrt{x_m^2+y_m^2}\]
Угол
\[\alpha =\arctan \frac{y_m}{x_m}\]
\[\vec{r_m}=r_me^{j\alpha }\]
\[x_m=(R-h)(1-cos\omega t)\]
\[y_m=(R-h)(\omega t-sin\omega t)\]

В неИСО, то есть в каюте модуль вектора не изменяется, а измняется угол.
\[\alpha '=\omega t-\alpha\]

И получаем вектор движения тела массой m относительно вертикали каюты станции:
\[\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}\]

Вопрос к тебе Михаил, как получить твою формулу, которая выше в цитате?

\(\displaystyle \vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '} = e^{-i\Omega_z t} \cdot (-R_0~e^{i\Omega_z t} + i~\Omega_z (R_0 - h_0)~t + (R_0-h_0)) =
 (i~\Omega_z (R_0 - h_0)~t + (R_0-h_0))~ e^{-i\Omega_z t} - R_0\).

Формула,
\(\displaystyle h=-R_0~e^{i\Omega_z t} + i~(\Omega_z (R_0 - h_0)+v_0)~t + (R_0-h_0)\),
разность между вектором проходящим из центра центрифуги в точку пола, где находится наблюдатель и
вектором проходящим из центра центрифуги к падающему телу.

[Иван Горин]

\(\displaystyle \vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '} = e^{-i\Omega_z t} \cdot (-R_0~e^{i\Omega_z t} + i~\Omega_z (R_0 - h_0)~t + (R_0-h_0)) =
 (i~\Omega_z (R_0 - h_0)~t + (R_0-h_0))~ e^{-i\Omega_z t} - R_0\).

Формула,
\(\displaystyle h=-R_0~e^{i\Omega_z t} + i~(\Omega_z (R_0 - h_0)+v_0)~t + (R_0-h_0)\),
разность между вектором проходящим из центра центрифуги в точку пола, где находится наблюдатель и
вектором проходящим из центра центрифуги к падающему телу.

Понятно.
У меня другой метод.
Я опрелеляю вектор траектории тела от точки подвеса на потокле до момента приземления.
Всё происходит в каюте. При t=0 r_m=0

Угол
\[\alpha =\arctan \frac{y_m}{x_m}\]
\[\vec{r_m}=r_me^{j\alpha }\]
\[x_m=(R-h)(1-cos\omega t)\]
\[y_m=(R-h)(\omega t-sin\omega t)\]

В неИСО, то есть в каюте модуль вектора не изменяется, а измняется угол.
\[\alpha '=\omega t-\alpha\]

И получаем вектор движения тела массой m относительно вертикали каюты станции:
\[\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}\]

\[\vec{r_m}=(R-h)(1-cos\omega t)+i(R-h)(\omega t-sin\omega t)\]
\[\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}=r_me^{i( \alpha -\omega t)}=\vec{r_m}e^{-i\omega t}\]
\[\vec{r'_m}=(R-h)\left [ (1-cos\omega t)+i(\omega t-sin\omega t) \right ]e^{-i\omega t}\]

\[(1-cos\omega t)+i(\omega t-sin\omega t)=1-cos\omega t+i \omega t-isin\omega t=(1+i\omega t)-(cos\omega t+isin\omega t)=(1+i\omega t)-e^{i\omega t}\]

\[\vec{r'_m}=(R-h)[(1+i\omega t)-e^{i\omega t}]e^{-i\omega t}=(R-h)[(1+i\omega t)e^{-i\omega t}-1]\]
\[\vec{r'_m}=(R-h)(1+i\omega t)e^{-i\omega t}-(R-h))\]

После преобразований получим:
\[\vec{r'_m}=(R-h)[(cos\omega t+\omega tsin\omega t-1)-i(sin\omega t-\omega tcos\omega t)]\]
\[\vec{r'_m}=(R-h)[(cos\omega t+\omega tsin\omega t)-i(sin\omega t-\omega tcos\omega t)]-(R-h))\]

[Ost]

\(\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}=r_me^{i(\arctan \alpha -\omega t)}=\vec{r_m}e^{-i\omega t}\)

\(\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}=r_me^{i(\alpha -\omega t)}=\vec{r_m}e^{-i\omega t}\)

[Иван Горин]

\(\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}=r_me^{i(\alpha -\omega t)}=\vec{r_m}e^{-i\omega t}\)

Какие проблеммы?  Всё верно.
Могу  привести подробный вывод.
Комплексные числа - великое изобретение.
Упрощают выводы с половины страницы до 2 - 3 строчек.

[Иван Горин]

Какие проблеммы?  Всё верно.
Могу  привести подробный вывод.
Комплексные числа - великое изобретение.
Упрощают выводы с половины страницы до 2 - 3 строчек.

Полный вывод привёл.
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=599110.msg8393396#msg8393396

[Иван Горин]

Найден более простой вывод вектора движения тела относительно каюты.


Из чертежа составляем векторное уравнение:
\[\vec{OA_2}+\vec{r_m}-\vec{A_1C}=\vec{OA_1}\]
\[(R-h)e^{i\varphi }+\vec{r_m}-i(R-h)\varphi =R-h\]
\[\vec{r_m} =(R-h)+i(R-h)\varphi-(R-h)e^{i\varphi }\]
\[\vec{r_m} =(R-h)[(1+i\varphi )-e^{i\varphi }]\]
\[\vec{r'_m} =(R-h)[(1+i\varphi )-e^{i\varphi }]e^{-i\varphi }=(R-h)[(1+i\varphi )e^{-i\varphi }-1 ]\]
\(\varphi =\omega t\) текущий угол поворота станции относительно точки вращения О.

[Ost]

Полный вывод привёл.
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=599110.msg8393396#msg8393396

\(\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}=r_me^{i(\arctan \alpha -\omega t)}=\vec{r_m}e^{-i\omega t}\)

\(i(\arctan \alpha -\omega t)\), \(\arctan\) - лишний, просто \(i(\alpha -\omega t)\).

[Иван Горин]

\(\vec{r'_m}=r_me^{-j\alpha '}=r_me^{i(\arctan \alpha -\omega t)}=\vec{r_m}e^{-i\omega t}\)

\(i(\arctan \alpha -\omega t)\), \(\arctan\) - лишний, просто \(i(\alpha -\omega t)\).

Это описка, и на дальнейшие выводы она не влияет.
Михаил, ты с моими выводами в ИСО согласен?
Проверь пожалуйста мой последний простой вывод.
Из него легко получить вектора скорости и ускорения.
Я жду твои выводы в неИСО.
Результаты должны быть одинаковыми.

[Ost]

Это описка, и на дальнейшие выводы она не влияет.
Михаил, ты с моими выводами в ИСО согласен?
Проверь пожалуйста мой последний простой вывод.
Из него легко получить вектора скорости и ускорения.
Я жду твои выводы в неИСО.
Результаты должны быть одинаковыми.

Михаил, ты с моими выводами в ИСО согласен?

Да, ошибок не обнаружил.

Записываем дифференциальное уравнение неинерциального движения тела без сил взаимодействия по 2 и 3 закону.
\(\displaystyle \vec a=-2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] + Ω_z^2~ \vec r\).

В комплексном виде
\(\displaystyle \ddot{w} + i2Ω_z \dot{w} - Ω_z^2 w=0\).

Решаем
\(\displaystyle \lambda^2 + i2Ω_z \lambda - Ω_z^2=0\).

\(\displaystyle \lambda = \frac{-i2Ω_z \pm \sqrt{-4Ω_z^2 - 4(-Ω_z^2)}}{2}= -iΩ_z\).

Этим определяется выбор функции. Вращение вектора.
\(\displaystyle r(t)=R(t)~e^{-i\Omega_z t}\). (1)

Определяем параметры вектора \(R(t)\). В нашем случае это линейная функция.
Дифференцируем (1)
\(\displaystyle v(t)=-i \Omega_z~R(t)~e^{-i\Omega_z t}+\frac{dR(t)}{dt}~e^{-i\Omega_z t}\).

\(\displaystyle v(0)=-i \Omega_z~R(0)+\frac{dR(0)}{dt}\).

\(\displaystyle \frac{dR(0)}{dt}=0\), при условии нулевой начальной скорости в НСО, тогда

\(\displaystyle v(0)=-i \Omega_z~R(0)\).

\(\displaystyle R(t)=v(0)~t - r(0) = -i \Omega_z~R(0)~t - R(0) = -R(0)(1+ i \Omega_z t )\).

\(\displaystyle R(0)=R_0 - h_0\) - начальное положение тела.

\(\displaystyle r(t)=-(R_0 - h_0)(1+ i \Omega_z t )e^{-i\Omega_z t}\).

Для функции высоты соответственно
\(\displaystyle h(t)=-(R_0 - h_0)(1+ i \Omega_z t )e^{-i\Omega_z t}+R_0\).
 

[Иван Горин]

Да, ошибок не обнаружил.

Записываем дифференциальное уравнение неинерциального движения тела без сил взаимодействия по 2 и 3 закону.
\(\displaystyle \vec a=-2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] + Ω_z^2~ \vec r\).

В комплексном виде
\(\displaystyle \ddot{w} + i2Ω_z \dot{w} - Ω_z^2 w=0\).

Решаем
\(\displaystyle \lambda^2 + i2Ω_z \lambda - Ω_z^2=0\).

\(\displaystyle \lambda = \frac{-i2Ω_z \pm \sqrt{-4Ω_z^2 - 4(-Ω_z^2)}}{2}= -iΩ_z\).

Этим определяется выбор функции. Вращение вектора.
\(\displaystyle r(t)=R(t)~e^{-i\Omega_z t}\). (1)

Определяем параметры вектора \(R(t)\). В нашем случае это линейная функция.
Дифференцируем (1)
\(\displaystyle v(t)=-i \Omega_z~R(t)~e^{-i\Omega_z t}+\frac{dR(t)}{dt}~e^{-i\Omega_z t}\).

\(\displaystyle v(0)=-i \Omega_z~R(0)+\frac{dR(0)}{dt}\).

\(\displaystyle \frac{dR(0)}{dt}=0\), при условии нулевой начальной скорости в НСО, тогда

\(\displaystyle v(0)=-i \Omega_z~R(0)\).

\(\displaystyle R(t)=v(0)~t - r(0) = -i \Omega_z~R(0)~t - R(0) = -R(0)(1+ i \Omega_z t )\).

\(\displaystyle R(0)=R_0 - h_0\) - начальное положение тела.

\(\displaystyle r(t)=-(R_0 - h_0)(1+ i \Omega_z t )e^{-i\Omega_z t}\).

Для функции высоты соответственно
\(\displaystyle h(t)=-(R_0 - h_0)(1+ i \Omega_z t )e^{-i\Omega_z t}+R_0\).

Отличная работа.
Такой вывод мы уже делали в задаче Дробышева.
И сейчас очевидны наши несовпадения в формулах.
У меня радиус вектор отсчитывается от потолка к полу.  Начальная длина равна нулю от потолка
У тебя также от потолка к полу с начальной длиной h от пола к потолку.
Оба варианта описывают одну кривую падения тела.
И я так понял,что у тебя действительная ось направлена вверх, а мнимая по горизонтали.
Вправо?
Добавил кое где значки дифференциалов.
Очень интересные вещи получаются с ускорением. Невозможно понять где составляющая центробежного ускорения и где Кориолисово.
Из  моего  последнего чертежа
\[\vec{r'_m}=(R-h)(1+i\omega t)e^{-i\omega t}-(R-h)\]
Вектор скорости
\[\vec{V'_m}=(R-h)\omega ^2te^{-i\omega t}\]
Вектор ускорения
\[\vec{a'_m}=(R-h)\omega ^2(1-i\omega t)e^{-i\omega t}\]
Пока писал всё стало очевидным.

[Ost]

Отличная работа.
Такой вывод мы уже делали в задаче Дробышева.
И сейчас очевидны наши несовпадения в формулах.
У меня радиус вектор отсчитывается от потолка к полу.  Начальная длина равна нулю от потолка
У тебя также от потолка к полу с начальной длиной h от пола к потолку.
Оба варианта описывают одну кривую падения тела.
И я так понял,что у тебя действительная ось направлена вверх, а мнимая по горизонтали.
Вправо?
Добавил кое где значки дифференциалов.
Очень интересные вещи получаются с ускорением. Невозможно понять где составляющая центробежного ускорения и где Кориолисово.
Из  моего  последнего чертежа
\[\vec{r'_m}=(R-h)(1+i\omega t)e^{-i\omega t}-(R-h)\]
Вектор скорости
\[\vec{V'_m}=(R-h)\omega ^2te^{-i\omega t}\]
Вектор ускорения
\[\vec{a'_m}=(R-h)\omega ^2(1-i\omega t)e^{-i\omega t}\]
Пока писал всё стало очевидным.

И я так понял,что у тебя действительная ось направлена вверх, а мнимая по горизонтали.
Вправо?

Да.

Очень интересные вещи получаются с ускорением. Невозможно понять где составляющая центробежного ускорения и где Кориолисово.

После дифференцирования и преобразования всё появляется.

[Иван Горин]

Записываем дифференциальное уравнение неинерциального движения тела без сил взаимодействия по 2 и 3 закону.
\(\displaystyle \vec a=-2\left[\vec \Omega_z \times \vec v \right] + Ω_z^2~ \vec r\).

Есть еще способ решения
В векторном комплексном виде
\[\ddot{\bar{r}}+2i\omega \dot{\bar{r}}-\omega ^2\bar{r}=0\]
Начальные условия
\[\dot{\bar{r}(0)}=0\]
\[\bar{r}(0)=-(R-h)\]
\[\lambda _{1,2}=-i\omega\]
Решение линейного дифференциального уравнения второго  порядка с постоянными коэффициентами и кратными корнями
\[\bar{r}(t)=(\bar{C_1}+\bar{C_2}t)e^{-i\omega t}\]
Из начальных  условий
\[\bar{C_1}=-(R-h)\]
\[\dot{\bar{r}}(t)=\bar{C_2}e^{-i\omega t}-i\omega (\bar{C_1}+\bar{C_2}t)e^{-i\omega t}\]
Из начальных условий
\[0=\bar{C_2}-i\omega \bar{C_1}\]
\[\bar{C_2}=-i\omega (R-h)\]
\[\bar{r}(t)=(\bar{C_1}+\bar{C_2}t)e^{-i\omega t}=-(R-h)(1+i\omega )e^{-i\omega t}\]

[Ost]

Есть еще способ решения
В векторном комплексном виде
\[\ddot{\bar{r}}+2i\omega \dot{\bar{r}}-\omega ^2\bar{r}=0\]
Начальные условия
\[\dot{\bar{r}(0)}=0\]
\[\bar{r}(0)=-(R-h)\]
\[\lambda _{1,2}=-i\omega\]
Решение линейного дифференциального уравнения второго  порядка с постоянными коэффициентами и кратными корнями
\[\bar{r}(t)=(\bar{C_1}+\bar{C_2}t)e^{-i\omega t}\]
Из начальных  условий
\[\bar{C_1}=-(R-h)\]
\[\dot{\bar{r}}(t)=\bar{C_2}e^{-i\omega t}-i\omega (\bar{C_1}+\bar{C_2}t)e^{-i\omega t}\]
Из начальных условий
\[0=\bar{C_2}-i\omega \bar{C_1}\]
\[\bar{C_2}=-i\omega (R-h)\]
\[\bar{r}(t)=(\bar{C_1}+\bar{C_2}t)e^{-i\omega t}=-(R-h)(1+i\omega )e^{-i\omega t}\]

Да, так тоже отлично.

[Иван Горин]

Очень интересные вещи получаются с ускорением. Невозможно понять где составляющая центробежного ускорения и где Кориолисово.
Из  моего  последнего чертежа
\[\vec{r'_m}=(R-h)(1+i\omega t)e^{-i\omega t}-(R-h)\]
Вектор скорости
\[\vec{V'_m}=(R-h)\omega ^2te^{-i\omega t}\]
Вектор ускорения
\[\vec{a'_m}=(R-h)\omega ^2(1-i\omega t)e^{-i\omega t}\]
Пока писал всё стало очевидным.

Оказалось не  всё очевидным.
Вектор ускорения
\[\vec{a'_m}=(R-h)\omega ^2e^{-i\omega t}-i\omega^3 t(R-h)e^{-i\omega t}\]
Первое слагаемое - центробежное ускорение
Второе -  ускорение Кориолиса? А двойка пропала.
\[\bar{a_k}=-2[\bar{\omega}\times \bar{V}]=-2i\omega \bar{V}\]
Вектор скорости
\[\vec{V'_m}=(R-h)\omega ^2te^{-i\omega t}\]
Тогда
\[\bar{a_k}=-2i\omega \bar{V}=-2i (R-h)\omega ^3te^{-i\omega t}\]
Лишняя двойка.

[Ost]

Оказалось не  всё очевидным.
Вектор ускорения
\[\vec{a'_m}=(R-h)\omega ^2e^{-i\omega t}-i\omega^3 t(R-h)e^{-i\omega t}\]
Первое слагаемое - центробежное ускорение
Второе -  ускорение Кориолиса? А двойка пропала.
\[\bar{a_k}=-2[\bar{\omega}\times \bar{V}]=-2i\omega \bar{V}\]
Вектор скорости
\[\vec{V'_m}=(R-h)\omega ^2te^{-i\omega t}\]
Тогда
\[\bar{a_k}=-2i\omega \bar{V}=-2i (R-h)\omega ^3te^{-i\omega t}\]
Лишняя двойка.

[Иван Горин]

Такой же результат, как и у меня.

[Ost]

Такой же результат, как и у меня.

Если эти производные подставить в уравнение будет ноль.

[Иван Горин]

Если эти производные подставить в уравнение будет ноль.

Это понятно. Но как же быть с ускорением Кориолиса?