\(\displaystyle V_k=\frac{V_0}{k}~-\) объём газа в верхней мёртвой точке (\(2\)).
В верхней точке \(2\) газ \(p_{42}\), \(T_{42}\), \(\displaystyle V_{42}=V_k\), смешивается с газом поступающим из клапана \(p_{0}\), \(T_{0}\).
Состояние после смешивания \(p_{12}=p_0\), \(T_{12}\), \(V_{12}=V_{42}\).
При ходе поршня вниз газ изменяет состояние с \(p_{22}=p_{12}\), \(T_{22}=T_{12}\), \(V_{22}=V_{12}\) на \(p_{21}\), \(T_{21}\), \(V_{21}=V_0\) в нижней точке (\(1\)).
В нижней точке начинается выхлоп, газ изменяет состояние с \(p_{31}=p_{21}\), \(T_{31}=T_{21}\), \(V_{31}=V_{21}\) на \(p_{30}=p_a\), \(T_{30}\), \(V_{30}\).
При сжатии остаточного газа он изменяет состояние с \(p_{41}=p_{30}\), \(T_{41}=T_{30}\), \(V_{41}=V_{0}\) на \(p_{42}\), \(T_{42}\), \(\displaystyle V_{42}\).
----------------------------------------------------------------------------------------
Теория.
\(\displaystyle c_p-c_v=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_p-\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V+p~\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\).
Если считать, что внутренняя энергия не зависит от давления и объёма, то останется
\(\displaystyle c_p-c_v=p~\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\).
Для идеального газа \(p~V=R~T\), тогда \(\displaystyle c_p-c_v=R\).
Если газ реальный и известен закон состояния, можно вычислить функцию \(R(T)\).
Рассмотрим закон Ван-дер-Ваальса \(\displaystyle \left(p+\frac{\alpha}{V^2} \right)\left(V-\beta \right)=R~T\).
\(\displaystyle p~V-p~\beta+\frac{\alpha}{V}-\frac{\alpha~\beta}{V^2}=R~T\). Дифференцируем по температуре
\(\displaystyle p \frac{\partial V}{\partial T}-\frac{\alpha}{V^2}\frac{\partial V}{\partial T} +\frac{2 \alpha~\beta}{V^3} \frac{\partial V}{\partial T}=R\);
\(\displaystyle \frac{\partial V}{\partial T} \left(p -\frac{\alpha}{V^2} +\frac{2 \alpha~\beta}{V^3} \right)=R\). Исключаем давление \(\displaystyle p=\frac{R~T}{V-\beta}-\frac{\alpha}{V^2}\).
Получили дифференциальное уравнение \(\displaystyle \frac{\partial V}{\partial T} \left(\frac{R~T}{V-\beta} -\frac{2\alpha}{V^2} +\frac{2 \alpha~\beta}{V^3} \right)=R\).
\(\displaystyle R(T)=R+\left(\frac{\alpha}{V^2}- \frac{2 \alpha~\beta}{V^3} \right) \frac{\partial V}{\partial T} = R+\frac{\alpha}{V^2} \left(1- \frac{2\beta}{V} \right) \frac{\partial V}{\partial T}\).
Если \(\displaystyle r(T) = \frac{\alpha}{V^2} \left(1- \frac{2\beta}{V} \right) \frac{\partial V}{\partial T}\).
\(c_v(T)=c_p(T)-R-r(T)\).
...
...
\(\delta Q=d U+\delta A\)
\(\delta A=p~dV\)
\(dU=c_v~dT\)
\(\delta Q=c_v~dT+p~dV\); \(c_v~dT-\delta Q=-p~dV\).
\(\displaystyle p=\frac{R~T}{V-\beta}-\frac{\alpha}{V^2}\).
\(\displaystyle c_v~dT-\delta Q=-\left(\frac{R~T}{V-\beta}-\frac{\alpha}{V^2}\right)~dV=-\frac{R~T}{V-\beta}~dV+\frac{\alpha}{V^2}~dV\).
\(\displaystyle \frac{c_v~dT}{T}-\frac{\delta Q}{T}=-\frac{R~dV}{V-\beta}+\frac{\alpha~dV}{T~V^2}\).
\(\displaystyle \frac{c_v~dT}{T}-\frac{\delta Q}{T}=-\frac{R~dV}{V-\beta}+\frac{dV}{dT}\frac{\alpha~dT}{T~V^2}\).
...
