0 - начальные параметры газа.
Первый индекс - процессы:
1 - смешивание.
2 - расширение.
3 - выхлоп в атмосферу.
4 - сжатие остаточного газа.
Второй индекс - положение поршня:
2 - верхняя мертвая точка.
1 - завершение расширения.
0 - завершение выхлопа. Нижняя мертвая точка.
1. Процесс смешивания.
Подогретый газ из баллона смешивается с газом после сжатия в верхней мертвой точке.
В этом процессе работа не совершается. Движением поршня пренебрегаем.
Составляем уравнение сохранения внутренней энергии.
\(\displaystyle \nu_{42}\int \limits_{298}^{T_{42}} c_v(T)~dT+\nu_{0}\int \limits_{298}^{T_{0}} c_v(T)~dT=(\nu_{42}+\nu_{0})\int \limits_{298}^{T_{12}} c_v(T)~dT\),
где
\(\nu_{42}~-\) количество молей в цилиндре после сжатия отработанного газа,
\(\nu_{0}~-\) количество молей газа поступивших из баллона.
\(T_{0}~-\) температура газа поступившего из баллона.
Уравнение состояния газа \(\displaystyle p_0~V_k=(\nu_{42}+\nu_{0})~R~T_{12}\).
\(T_{22}=T_{12}\).
2. Процесс расширения.
Для адиабатного процесса можно записать следующее дифференциальное соотношение
\(\displaystyle \frac{c_v(T)}{T}~dT = - R~\frac{dV}{V}\).
Интегрируем
\(\displaystyle \int \limits_{T_{22}}^{T_{21}} \frac{c_v(T)}{T}~dT = -R~ln \left(\frac{V_{21}}{V_{22}} \right)= -R~ln \left(k \right)\).
\(T_{31}=T_{21}\).
3. Процесс выпуска газа из цилиндра.
Газ расширяется совершая работу против атмосферного и динамического давления, появляющегося при ускорении газа.
\(\displaystyle \int \limits_{T_{31}}^{T_{30}} \frac{c_v(T)}{T}~dT = - R~ln \left(\frac{V_{30}}{V_{0}} \right) \).
Уравнение состояния газа \(\displaystyle p_{a}~V_{30}=(\nu_{42}+\nu_{0})~R~T_{30};\)
\(T_{41}=T_{30}\).
4. Процесс сжатия при обратном ходе поршня.
\(\displaystyle \int \limits_{T_{41}}^{T_{42}} \frac{c_v(T)}{T}~dT = - R~ln \left(\frac{V_{42}}{V_{41}} \right)=R~ln \left(k \right) \).
Уравнение состояния газа \(\displaystyle p_a~V_{0}=\nu_{42}~R~T_{41}\).
Интегралы от функции изохорной теплоёмкости.
\(\displaystyle c_v(T)=a+b~T+\frac{c}{T^2} - R\).
\(\displaystyle \int c_v(T)~dT = (a-R)~T+ \frac{1}{2}b~T^2-\frac{c}{T}\).
\(\displaystyle \int \frac{c_v(T)}{T}~dT = (a-R)~ln(T)+b~T-\frac{c}{2T^2}\).
Формируем систему уравнений.
1.1
\(\displaystyle \nu_{42} \left((a-R) \left(T_{42} - T_{298} \right) + \frac{1}{2}b \left(T_{42}^2 - T_{298}^2\right) - c \left(\frac{1}{T_{42}} - \frac{1}{T_{298}} \right) \right)+\nu_{0} \left((a-R)~\left(T_{0} - T_{298} \right) + \frac{1}{2}b \left(T_{0}^2 - T_{298}^2\right) - c \left(\frac{1}{T_{0}} - \frac{1}{T_{298}} \right) \right)= (\nu_{42}+\nu_{0}) \left((a-R)~\left(T_{12} - T_{298} \right) + \frac{1}{2}b \left(T_{12}^2 - T_{298}^2\right) - c \left(\frac{1}{T_{12}} - \frac{1}{T_{298}} \right) \right) \).
\(\displaystyle \nu_{42} \left((a-R)~T_{42} + \frac{1}{2}b~T_{42}^2 - \frac{c}{T_{42}} \right)+\nu_{0} \left( (a-R)~T_{0}+ \frac{1}{2}b~T_{0}^2 - \frac{c}{T_{0}} \right)= (\nu_{42}+\nu_{0}) \left( (a-R)~T_{12} + \frac{1}{2}b~T_{12}^2 - \frac{c}{T_{12}} \right) \).
\(\displaystyle p_0~V_k=(\nu_{42}+\nu_{0})~R~T_{12}\).
\(T_{22}=T_{12}\).
2.1
\(\displaystyle (a-R)~ln\left(\frac{T_{21}}{T_{22}} \right) + b \left(T_{21} - T_{22} \right) - \frac{1}{2}c \left(\frac{1}{T_{21}^2} - \frac{1}{T_{22}^2} \right)= -R~ln \left(k \right)\).
\(T_{31}=T_{21}\).
3.1
\(\displaystyle (a-R)~ln\left(\frac{T_{30}}{T_{31}} \right) + b \left(T_{30} - T_{31} \right) - \frac{1}{2}c \left(\frac{1}{T_{30}^2} - \frac{1}{T_{31}^2} \right)= -R~ln \left( \frac{V_{30}}{V_{0}} \right) \).
\(\displaystyle p_{a}~V_{30}=(\nu_{42}+\nu_{0})~R~T_{30}\).
\(T_{41}=T_{30}\).
4.1
\(\displaystyle (a-R)~ln\left(\frac{T_{42}}{T_{41}} \right) + b \left(T_{42} - T_{41} \right) - \frac{1}{2}c \left(\frac{1}{T_{42}^2} - \frac{1}{T_{41}^2} \right)= R~ln \left(k \right)\).
\(p_a~V_{0}=\nu_{42}~R~T_{41}\).
Константы: \( R;~~a;~~b;~~c;\).
Входные параметры: \( p_a;~~p_0;~~V_k;~~V_0;~~k;~~T_{0}\).
Переменные: \( \nu_{42};~~\nu_{0};~~ T_{42};~~ T_{12};~~T_{22}~~; \) \(\displaystyle T_{21};~~T_{31};~~T_{41};~~T_{30};~~V_{30} \) - 10.
Количество уравнений - 10.
