Занимательные задачи

[Antediluvian]

ракетка + мячик стоят 1 руб. 10 коп...
ракетка стоит на 1 рубль дороже мячика..
сколько стоит мячик?

5 копеек. Простая система из двух уравнений с двумя неизвестными:
х+у=110
х-у=100,
где х цена ракетки, у цена мячика. Решаем и получаем х=105. Соответственно, у=5. Но в уме быстрее. 

[Antediluvian]

5 станков, за 5 минут изготавливают 5 вещей..
за сколько минут 100 станков смогут изготовить 100 вещей..
прибавочную стоимость можно не учитывать...

Значит, 1 станок изготавливает за 5 минут 1 вещь. А 100 станков за те же 5 минут изготовят 100 вещей. Прибавочную стоимость и правда можно не учитывать. 

[Mby]

      оба раза....
это на самом деле американские  шуточные задачи.., на время... надо решить десяток таких за несколько минут...

[Antediluvian]

Задача XIX века.

На одной канатной фабрике рабочие заспорили, какой длины канаты может выпускать их фабрика. При этом они недавно слышали, что аэростат поднялся на высоту 8000 метров. Один рабочий сказал, что их фабрика не делает канатов такой длины, чтобы их можно было спустить с того аэростата на землю. Второй рабочий возразил, сказав, что канат такой длины их фабрика изготовить может, но спустить его с аэростата на землю всё равно не получится. Что он имел в виду?

[Antediluvian]

На рисунке четверть круга и квадраты. Радиус окружности равен 5. Отрезки одинаковой длины отмечены. Найти площади всех квадратов.

[Antediluvian]

Верёвку разрезали на 5 неравных частей. Затем самую большую из полученных частей снова разрезали на 5 неравных частей. Эту операцию повторяли много раз, на каждом шаге разрезая самую большую полученную часть на 5 частей. Могло ли в итоге получиться 350 кусков верёвки?

[@Лариса@]

ракетка + мячик стоят 1 руб. 10 коп...
ракетка стоит на 1 рубль дороже мячика..
сколько стоит мячик?

Это известная задачка.  Ракетка стоит 1,05, мячик 5 коп. 

[@Лариса@]

На рисунке четверть круга и квадраты. Радиус окружности равен 5. Отрезки одинаковой длины отмечены. Найти площади всех квадратов.

Красные-то легко: сторона 5/2=2.5, значит площадь 6.25
А вот как к зеленым подступиться?  Пока не соображу...  Можно подсказку? 

[@Лариса@]

Верёвку разрезали на 5 неравных частей. Затем самую большую из полученных частей снова разрезали на 5 неравных частей. Эту операцию повторяли много раз, на каждом шаге разрезая самую большую полученную часть на 5 частей. Могло ли в итоге получиться 350 кусков верёвки?

Надо понять принцип подсчета кусков.   Их 5, но  поскольку мы один снова разрезаем,  каждый раз получается фактически 4. Последняя порция будет из 5 кусков.  Соответственно,  если мы от 350 отнимем 5 и остаток будет кратный 4, то столько кусков может получиться,  а если целое число не выходит,  то не может.
В итоге 350- 5= 345 , и оно нацело на 4 не делится,  значит не может столько кусков получиться.

[@Лариса@]

Задача XIX века.

На одной канатной фабрике рабочие заспорили, какой длины канаты может выпускать их фабрика. При этом они недавно слышали, что аэростат поднялся на высоту 8000 метров. Один рабочий сказал, что их фабрика не делает канатов такой длины, чтобы их можно было спустить с того аэростата на землю. Второй рабочий возразил, сказав, что канат такой длины их фабрика изготовить может, но спустить его с аэростата на землю всё равно не получится. Что он имел в виду?

Видимо кусок веревки такой длины либо не поместится в аэростат,  либо она будет слишком тяжелой,  и он не сможет подняться на заданную высоту.

[Antediluvian]

Красные-то легко: сторона 5/2=2.5, значит площадь 6.25
А вот как к зеленым подступиться?  Пока не соображу...  Можно подсказку? 

Подсказка - треугольник и теорема Пифагора, конечно же.

[Antediluvian]

Надо понять принцип подсчета кусков.   Их 5, но  поскольку мы один снова разрезаем,  каждый раз получается фактически 4. Последняя порция будет из 5 кусков.  Соответственно,  если мы от 350 отнимем 5 и остаток будет кратный 4, то столько кусков может получиться,  а если целое число не выходит,  то не может.
В итоге 350- 5= 345 , и оно нацело на 4 не делится,  значит не может столько кусков получиться.

Правильно.

[Antediluvian]

Видимо кусок веревки такой длины либо не поместится в аэростат,  либо она будет слишком тяжелой,  и он не сможет подняться на заданную высоту.

Ну-у... близко. Ладно, будем считать, что аэростат большой и канат в него поместится.

[@Лариса@]

Ну-у... близко. Ладно, будем считать, что аэростат большой и канат в него поместится.

Значит в массе веревки дело?

[@Лариса@]

Подсказка - треугольник и теорема Пифагора, конечно же.

Ааа,  ну внезапно дошло!  Если из центра окружности проведем радиус к верхнему правому углу верхнего зеленого квадрата,  то это будет гипотенуза (5). Пусть сторона зеленого квадратика х,  тогда катеты получившегося треугольника (2,5 + х)  и 2х.
По т. Пифагора составляем уравнение и находим х. Не высчитала, т. к.  жара уморила... 

[Antediluvian]

Значит в массе веревки дело?

Да. И в прочности. Канат такой длины просто оборвётся под собственной тяжестью. Разумеется, речь не о современных полимерных ультрапрочных и ультралёгких верёвках, а о старых пеньковых. Задача-то XIX века.

[Antediluvian]

Ааа,  ну внезапно дошло!  Если из центра окружности проведем радиус к верхнему правому углу верхнего зеленого квадрата,  то это будет гипотенуза (5). Пусть сторона зеленого квадратика х,  тогда катеты получившегося треугольника (2,5 + х)  и 2х.
По т. Пифагора составляем уравнение и находим х. Не высчитала, т. к.  жара уморила... 

Имено. Тоже всё расписывать не буду, но из уравнения получается, что х=1,5. Ну а дальше уже совсем простенькие вычисления и общая площадь всех квадратов 17.

[@Лариса@]

Да. И в прочности. Канат такой длины просто оборвётся под собственной тяжестью.

Аааа...

[@Лариса@]

Имено. Тоже всё расписывать не буду, но из уравнения получается, что х=1,5. Ну а дальше уже совсем простенькие вычисления и общая площадь всех квадратов 17.

Хорошая задачка! 

[@Лариса@]

Сейчас помогала сыну знакомой сдать экзамен по математике в институт,  не смогла решить такую задачу:



Уже не актуально,  но интересно было бы узнать решение.