Релятивистские эффекты, как поворот ИСО

[VPD]

\(ch(φ) = cos(φ)~-\) не выполняется приблизительно даже при малых углах.

   Тогда преобразование Лоренца не будет переходить а преобразование Галилея при малых углах.
   При указанной подстановке матрица преобразований Лоренца  переходит в матрицу вращения (поворота). Факт!
   

[Ost]

   Тогда преобразование Лоренца не будет переходить а преобразование Галилея при малых углах.
   При указанной подстановке матрица преобразований Лоренца  переходит в матрицу вращения (поворота). Факт!

Переход в преобразования Галилея, происходит в пределе бесконечной скорости света.
В этом пределе угол нулевой. И матрицы соответственно будут равны.

[Ost]

\(cosh(\psi)=\gamma\).

\(sinh(\psi)=\gamma~V/c\).

\(tanh(\psi)=sinh(\psi)/cosh(\psi)=V/c\).

[VPD]

Переход в преобразования Галилея, происходит в пределе бесконечной скорости света.
В этом пределе угол нулевой. И матрицы соответственно будут равны.

  Угол стремится к нулю. И  какая разница каким способом? Числитель стремится к нулю или знаменатель к бесконечности.  В природе реализуется первый способ.
 

[Ost]

  Угол стремится к нулю. И  какая разница каким способом? Числитель стремится к нулю или знаменатель к бесконечности.  В природе реализуется первый способ.

Разница большая.
При \(v \to 0\), получается только частный случай относительного покоя ИСО.
При \(c \to \infty\), получается общий случай, ИСО имеют скорости в диапазоне \(0<v<c\).
При \(v \to 0\) переход к не релятивистскому преобразованию по пространственной координате не получается.
Тоже с импульсом по очевидной причине, относительная скорость равна нулю.
В случае кинетической энергии переход не тривиальный, требуются преобразования для перехода при \(c \to \infty\).
Правильный вариант только \(c \to \infty\).

[VPD]

Разница большая.
При \(v \to 0\), получается только частный случай относительного покоя ИСО.
При \(c \to \infty\), получается общий случай, ИСО имеют скорости в диапазоне \(0<v<c\).
При \(v \to 0\) переход к не релятивистскому преобразованию по пространственной координате не получается.
Тоже с импульсом по очевидной причине, относительная скорость равна нулю.
В случае кинетической энергии переход не тривиальный, требуются преобразования для перехода при \(c \to \infty\).
Правильный вариант только \(c \to \infty\).

   Не понял. 
   Покажите, пожалуйста, как преобразования Лоренца отличают один нуль от другого.
  Я вижу, что в  любом случае результатом перехода будет матрица поворота.
   Кроме того, насколько физике известно, скоростей, стремящихся к бесконечности - нет. И  случай бесконечной скорости - умозрительный, математический, приблизительный приём.
   

[Ost]

   Не понял. 
   Покажите, пожалуйста, как преобразования Лоренца отличают один нуль от другого.
  Я вижу, что в  любом случае результатом перехода будет матрица поворота.
   Кроме того, насколько физике известно, скоростей, стремящихся к бесконечности - нет. И  случай бесконечной скорости - умозрительный, математический, приблизительный приём.

\(\displaystyle x=\lim_{c \to \infty} \frac{x'+V~t'}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=x'+V~t'\);     

\(\displaystyle t=\lim_{c \to \infty} \frac{t'+V~x'/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=t'\).

\(\displaystyle x=\lim_{V \to 0} \frac{x'+V~t'}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=x'\);     

\(\displaystyle t=\lim_{V \to 0} \frac{t'+V~x'/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=t'\).

Теоретическая скорость в не релятивистской механике ограничения не имеет.

При \(c \to \infty\), получается общий случай, ИСО имеют скорости в диапазоне \(0<v<c\).

При \(V \to 0\), получается только частный случай, ИСО относительно покоятся. 

[VPD]

  ...
Теоретическая скорость в не релятивистской механике ограничения не имеет.
...

   А какой случай рассмотрел я?
    Переходной.
   Какой "покой" в анализе следует  использовать?
   Считаю тот, который существует  реально. Присутствует в расчёте β = v/C. Переменная одна v.
 
   

[VPD]

\(\displaystyle x=\lim_{c \to \infty} \frac{x'+V~t'}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=x'+V~t'\);     

\(\displaystyle t=\lim_{c \to \infty} \frac{t'+V~x'/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=t'\).

\(\displaystyle x=\lim_{V \to 0} \frac{x'+V~t'}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=x'\);     

\(\displaystyle t=\lim_{V \to 0} \frac{t'+V~x'/c^2}{\sqrt{1-V^2/c^2}}=t'\).

Теоретическая скорость в не релятивистской механике ограничения не имеет.

При \(c \to \infty\), получается общий случай, ИСО имеют скорости в диапазоне \(0<v<c\).

При \(V \to 0\), получается только частный случай, ИСО относительно покоятся.

   Мне кажется, что предельные переходы в задаче  моделирования релятивистских эффектов  некорректны.
   Какие эффекты вообще возможны при нулевой скорости?
   Нет не только   релятивистских эффектов, но и, вообще,  движения.
    Имеет смысл рассматривать малые значения v/C.
    При С, стремящемся к бесконечности, нет  преобразований Лоренца.
    По моему, предельные переходы выхолащивает физический  смысл задачи.

[Ost]

Суть в том, что матрицы в окрестности нулевого угла, при приблизительном аналитическом преобразовании,
нельзя рассматривать как эквивалентные, так как функции \(cosh(\psi)\) и \(cos(\psi)\) имеют первые производные разного знака.
Их разложение в ряд не совпадает. Матрицы совпадают только в пределе, превращаясь в единичные.

[VPD]

Суть в том, что матрицы в окрестности нулевого угла, при приблизительном аналитическом преобразовании,
нельзя рассматривать как эквивалентные, так как функции \(cosh(\psi)\) и \(cos(\psi)\) имеют первые производные разного знака.
Их разложение в ряд не совпадает. Матрицы совпадают только в пределе, превращаясь в единичные.

   Понял. Спасибо.
   Но обе матрицы отражают одно и то же явление - поворот СО. Естественно, при разном подходе к описанию пространства-времени.
   Разве это не  основание для использования одной из них для иллюстрации процесса поворота в другой? 
   Знак равенства можно исключить, поставить знак соответствия, например.

[Ost]

   Понял. Спасибо.
   Но обе матрицы отражают одно и то же явление - поворот СО. Естественно, при разном подходе к описанию пространства-времени.
   Разве это не  основание для использования одной из них для иллюстрации процесса поворота в другой? 
   Знак равенства можно исключить, поставить знак соответствия, например.

Вы правы в том, что обе матрицы описывают вращательные преобразования в своих соответствующих пространствах: одна — в классическом 3-мерном пространстве,
другая — в 4-мерном пространстве-времени. Однако важно понимать, что между этими пространствами принципиальная разница, касающаяся их геометрии.

В классическом 3-мерном пространстве евклидова геометрия описывается обыкновенной тригонометрией, где применяются функции \( \sin(\psi) \) и \( \cos(\psi) \),
а угол поворота в пространстве остается инвариантным для всех наблюдателей (вне зависимости от их движения).

В то время как в 4-пространстве, где действует специальная теория относительности (СТО), лоренцевы преобразования,
описываемые через гиперболические функции \( \sinh(\psi) \) и \( \cosh(\psi) \), касаются и времени, и пространства вместе.
И тут уже угол гиперболического "поворота" связан с относительной скоростью наблюдателей — это существенно иной физический смысл.
В данном случае гиперболическая тригонометрия выражает контринтуитивные аспекты релятивистской физики; например, то,
что скорость света является предельной скоростью и что время и пространство "смешиваются" при скоростях, близких к скорости света.

Ваше предложение использовать одну матрицу для иллюстрации процесса в другой среде (например, заменяя гиперболическую тригонометрию обыкновенной)
может быть полезной эвристической аналогией на начальном уровне. Однако это будет лишь упрощением, которое может привести к потере важных свойств.
Например, в разложении рядов маклорена для \( \cos(\psi) \) и \( \cosh(\psi) \) коэффициенты при нечётных степенях отличаются знаком, что уже разрушает
эквивалентность таких преобразований.

Таким образом, вы не можете напрямую иллюстрировать одно пространственное вращение через другое, поскольку это упрощение игнорирует различие геометрий и
физического смысла преобразований. Да, можно использовать знак соответствия, как вы предлагаете, но с явным указанием того, что это лишь аналогия,
которая теряет точные физические особенности релятивистских преобразований.
В конечном счете, важно реальное различие между этими математическими и физическими объектами, и любое упрощение следует предлагать,
ясно осознавая, где оно перестает работать.

ChatGPT4

[VPD]

Ваше предложение использовать одну матрицу для иллюстрации процесса в другой среде (например, заменяя гиперболическую тригонометрию обыкновенной)
может быть полезной эвристической аналогией на начальном уровне. Однако это будет лишь упрощением, которое может привести к потере важных свойств.
Например, в разложении рядов маклорена для \( \cos(\psi) \) и \( \cosh(\psi) \) коэффициенты при нечётных степенях отличаются знаком, что уже разрушает
эквивалентность таких преобразований.

Таким образом, вы не можете напрямую иллюстрировать одно пространственное вращение через другое, поскольку это упрощение игнорирует различие геометрий и
физического смысла преобразований. Да, можно использовать знак соответствия, как вы предлагаете, но с явным указанием того, что это лишь аналогия,
которая теряет точные физические особенности релятивистских преобразований.
В конечном счете, важно реальное различие между этими математическими и физическими объектами, и любое упрощение следует предлагать,
ясно осознавая, где оно перестает работать.

ChatGPT4

   Совершенно верно.
   Целью статьи как раз и была наглядность, соответствие.  Естественно, неполное, опосредованное.
   И, что особенно интересно, угол поворота оказался таким  же, как и в СТО. 
 

[Ost]

   Совершенно верно.
   Целью статьи как раз и была наглядность, соответствие.  Естественно, неполное, опосредованное.
   И, что особенно интересно, угол поворота оказался таким  же, как и в СТО. 

Ваше стремление к наглядности вполне понятно, и действительно бывает полезно искать примеры или аналогии, чтобы упростить понимание сложных
физических и математических понятий. Однако здесь нужно сделать важное уточнение, касающееся самого понятия "угол поворота".

Когда вы говорите, что "угол поворота оказался таким же, как и в СТО", стоит помнить, что это не совсем точно.
Угол в контексте евклидовой геометрии и угол (точнее, рапидность) в контексте преобразований Лоренца — это принципиально разные объекты.
С физической точки зрения, рапидность в СТО пропорциональна гиперболической функции, которая связана с отношениями параметров пространства и времени,
принимающими во внимание лоренцево замедление времени и сокращение длины при релятивистских скоростях. В то время как в 3-пространстве угол — это просто
мера вращения вокруг оси, не связанная с преобразованием времени.

Формально в определённых условиях рапидность в СТО действительно может быть близка численно к обычному углу поворота при малых скоростях,
но их природа остаётся принципиально различной. Равенство углов не следует воспринимать как тождество процессов.

Сравнивать их непосредственно может быть действительно удобно для иллюстрации почти нулевых предельных случаев (в окрестности малых скоростей/малых углов),
но так же важно отметить их различие в общем случае. В противном случае это может ввести читателей в заблуждение, что мы как бы "сравниваем" одно и то же явление,
тогда как, по сути, работаем с совершенно разными геометриями — одной описываемой евклидовой метрикой, а другой псевдоевклидовой, где время играет независимую роль.

Неспособность этого соответствия охватить более сложные аспекты релятивистских эффектов, такие как предельная скорость света, различие в восприятии
времени между наблюдателями и другие последствия СТО, делает это сравнение ограниченным. Сам факт того, что одна геометрия гиперболическая, а другая — евклидова,
требует аккуратности в трактовках.

Таким образом, я бы вам предложил подчеркнуть, что это пример численного совпадения в частном случае, но не идентичности процессов.
Возможно, стоит прямо указать в статье, что ваша наглядность основана не на полной эквивалентности, а на аналогии, которая может быть
полезна для интуитивного понимания, хотя она не должна замещать строгие теоретические положения релятивистской физики.

ChatGPT4

[Ost]

Перевод в LATEX.

Найдём угол \( \phi \), на который должна формально повернуться инерциальная система отсчёта (ИСО) \( K_1 \), движущаяся со скоростью \( v \) относительно ИСО \( K \)
(см. Рис. 1 по ссылке: \url{http://samlib.ru/editors/d/doroshew/stpk.shtml}). Для наглядности начала обеих ИСО совмещены в точке \( O \),
а собственные размеры \( L_0 \) сравниваемых отрезков в обеих ИСО одинаковы.



В соответствии со специальной теорией относительности (СТО), отрезок \( OA \) (равный \( L_0 \)) в системе отсчёта \( K \) будет уменьшен до длины
отрезка \( OC \) (равного \( L \)):
\[
L = L_0 \gamma = L_0 \sqrt{1 - \beta^2} = L_0 \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2},
\]
где \( \gamma = \sqrt{1 - \beta^2} \), а \( \beta = \frac{v}{c} \).

Величина релятивистского сокращения отрезка \( \Delta L \) изображена отрезком \( CA \) в ИСО \( K \):
\[
\Delta L = L_0 - L = L_0 \left( 1 - \gamma \right).
\]
Для вычисления угла поворота \( \phi \), найдём длину отрезка \( CB \) (обозначим её \( R \)):
\[
R = L_0 \gamma \tan \phi, \tag{1}
\]
которая также может быть найдена из треугольника \( CAB \):
\[
R = L_0 \left( 1 - \gamma \right) \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\phi}{2} \right). \tag{2}
\]
Приравнивая уравнения (1) и (2), получим:
\[
L_0 \gamma \tan \phi = L_0 \left( 1 - \gamma \right) \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\phi}{2} \right).
\]
Отсюда:
\[
\tan \phi = \frac{\left( 1 - \gamma \right) \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\phi}{2} \right)}{\gamma} =
\frac{\left( 1 - \gamma \right) \cot \left( \frac{\phi}{2} \right)}{\gamma} = \frac{1 - \gamma}{\gamma} \frac{1}{\tan \left( \frac{\phi}{2} \right)}.
\]
Разложив \( \gamma \) в ряд и, ограничив его первым членом, получаем:
\[
\frac{1 - \gamma}{\gamma} = \frac{1 - 1 + \frac{\beta^2}{2}}{1 - \frac{\beta^2}{2}} \approx \frac{\beta^2}{2}.
\]
Подставляем это в ранее полученное выражение:
\[
\tan \phi \tan \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{\beta^2}{2}.
\]
После несложных преобразований получаем:
\[
\tan \left( \frac{\phi}{2} \right) = \frac{\beta}{2 \sqrt{1 + \frac{\beta^2}{4}}} \approx \frac{\beta}{2}.
\]
Для малых углов \( \phi \), справедливо приближение:
\[
\tan \phi \approx \beta = \frac{v}{c}. \tag{3}
\]
**Вывод.** Релятивистские эффекты можно трактовать как поворот ИСО, зависящий от её скорости (уравнение (3)).

ChatGPT4

[VPD]

Ваше стремление к наглядности вполне понятно, и действительно бывает полезно искать примеры или аналогии, чтобы упростить понимание сложных
физических и математических понятий. Однако здесь нужно сделать важное уточнение, касающееся самого понятия "угол поворота".

Когда вы говорите, что "угол поворота оказался таким же, как и в СТО", стоит помнить, что это не совсем точно.
Угол в контексте евклидовой геометрии и угол (точнее, рапидность) в контексте преобразований Лоренца — это принципиально разные объекты.
С физической точки зрения, рапидность в СТО пропорциональна гиперболической функции, которая связана с отношениями параметров пространства и времени,
принимающими во внимание лоренцево замедление времени и сокращение длины при релятивистских скоростях. В то время как в 3-пространстве угол — это просто
мера вращения вокруг оси, не связанная с преобразованием времени.

Формально в определённых условиях рапидность в СТО действительно может быть близка численно к обычному углу поворота при малых скоростях,
но их природа остаётся принципиально различной. Равенство углов не следует воспринимать как тождество процессов.

Сравнивать их непосредственно может быть действительно удобно для иллюстрации почти нулевых предельных случаев (в окрестности малых скоростей/малых углов),
но так же важно отметить их различие в общем случае. В противном случае это может ввести читателей в заблуждение, что мы как бы "сравниваем" одно и то же явление,
тогда как, по сути, работаем с совершенно разными геометриями — одной описываемой евклидовой метрикой, а другой псевдоевклидовой, где время играет независимую роль.

Неспособность этого соответствия охватить более сложные аспекты релятивистских эффектов, такие как предельная скорость света, различие в восприятии
времени между наблюдателями и другие последствия СТО, делает это сравнение ограниченным. Сам факт того, что одна геометрия гиперболическая, а другая — евклидова,
требует аккуратности в трактовках.

Таким образом, я бы вам предложил подчеркнуть, что это пример численного совпадения в частном случае, но не идентичности процессов.
Возможно, стоит прямо указать в статье, что ваша наглядность основана не на полной эквивалентности, а на аналогии, которая может быть
полезна для интуитивного понимания, хотя она не должна замещать строгие теоретические положения релятивистской физики.

ChatGPT4

   Это повтор сказанного ранее.
  У меня же не подмена СТО, а иллюстрация её эффектов, с целью показать, что нечто подобное есть и в нашем классическом пространстве. Попытка сказать: СТО - не нечто волшебное и  заумное, а  то, что можно  представить обычному человеку, если хотите - увидеть.   Угол поворота - это же понимают все. Отсюда и апелляция к евклидовой геометрии.
   Никакая не не замена СТО!

[Ost]

Явная ошибка в строке
\[
\tan \phi = \frac{\left( 1 - \gamma \right) \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\phi}{2} \right)}{\gamma} =
\frac{\left( 1 - \gamma \right) \cot \left( \frac{\phi}{2} \right)}{\gamma} = \frac{1 - \gamma}{\gamma} \tan \left( \frac{\phi}{2} \right).
\].

[VPD]

Явная ошибка в строке
\[
\tan \phi = \frac{\left( 1 - \gamma \right) \tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\phi}{2} \right)}{\gamma} =
\frac{\left( 1 - \gamma \right) \cot \left( \frac{\phi}{2} \right)}{\gamma} = \frac{1 - \gamma}{\gamma} \tan \left( \frac{\phi}{2} \right).
\].

  У вас пропущена черта деления  ctg(φ/2) = 1/ tg(φ/2)

[Ost]

  У вас пропущена черта деления  ctg(φ/2) = 1/ tg(φ/2)

У Вас нет ещё одной черты или скобок. ChatGPT4 использует синтаксис языков программирования. Так принято.

[VPD]

У Вас нет ещё одной черты или скобок. ChatGPT4 использует синтаксис языков программирования. Так принято.

  Согласен.