Петров о принципе наименьшего действия

[Ser100]

И буду твердить и дальше. Ибо то, что кто-то считает, применяя этот принцип, что там будет минимум, никак не влияет на само применение принципа. Никто не использует именно эту минимальность.

Хорошо, приведите тогда мне примеры из практики, где этот принцип используется именно в смысле стационарности (только не надо про интегралы Фейнмана, т.к. это отдельная тема). А я в свою очередь приведу пример, где этот принцип используется в смысле минимальности (экстремальности). Открываем учебник Ландау и Лифшица и читаем - «Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона).....Пусть в моменты времени t=t1 и t=t2 система занимала определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q(1) и q(2). Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл (2.1) имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) действием».

А, внизу есть сноска
«Следует, однако, указать, что в такой формулировке ПНД не всегда справедлив для всей траектории в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей траектории может оказаться, что интеграл 2.1 имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.»

Тут у меня возникает целый букет вопросов. Мне, например, трудно понять каким образом весь функционал будет максимален, если на отдельных маленьких участках пути он всегда минимален, а действие при этом является аддитивной величиной. Не понятно и то, почему Ландау использует очень частный принцип, который справедлив только на маленьком участке пути, т.к. действие будет минимально (экстремально) только до кинетического фокуса для вывода уравнений движения справедливых для всей траектории. И конечно же вопрос к Вам. Где Вы тут увидели стационарность, если Ландау ясно написал, что для применения ПНД для вывода из него уравнений движения требуется минимальность (экстремальность) действия, а при Вашей стационарности ни о какой экстремальности не может быть и речи.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Хорошо, приведите тогда мне примеры из практики, где этот принцип используется именно в смысле стационарности (только не надо про интегралы Фейнмана, т.к. это отдельная тема). А я в свою очередь приведу пример, где этот принцип используется в смысле минимальности (экстремальности). Открываем учебник Ландау и Лифшица и читаем - «Наиболее общая формулировка закона движения механических систем дается так называемым принципом наименьшего действия (или принципом Гамильтона).....Пусть в моменты времени t=t1 и t=t2 система занимала определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q(1) и q(2). Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл (2.1) имел наименьшее возможное значение. Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) действием».

А, внизу есть сноска
«Следует, однако, указать, что в такой формулировке ПНД не всегда справедлив для всей траектории в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей траектории может оказаться, что интеграл 2.1 имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.»

Ну и глядя на выделенное жирным, Вы будете утверждать, что требовалась минимальность?

Тут у меня возникает целый букет вопросов. Мне, например, трудно понять каким образом весь функционал будет максимален, если на отдельных маленьких участках пути он всегда минимален, а действие при этом является аддитивной величиной. Не понятно и то, почему Ландау использует очень частный принцип, который справедлив только на маленьком участке пути, т.к. действие будет минимально (экстремально) только до кинетического фокуса для вывода уравнений движения справедливых для всей траектории. И конечно же вопрос к Вам. Где Вы тут увидели стационарность, если Ландау ясно написал, что для применения ПНД для вывода из него уравнений движения требуется минимальность (экстремальность) действия, а при Вашей стационарности ни о какой экстремальности не может быть и речи.

Полагаю, здесь под экстремальностью понимается именно равенство нулю первой вариации, т.к. в вариационном счислении кривые, на которых первая вариация обращается в нуль, называются экстремалями. Поэтому ЛЛ говорят именно о стационарности.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/6317/%D0%AD%D0%9A%D0%A1%D0%A2%D0%A0%D0%95%D0%9C%D0%90%D0%9B%D0%AC

[Lons]

А, внизу есть сноска
«Следует, однако, указать, что в такой формулировке ПНД не всегда справедлив для всей траектории в целом, а лишь для каждого из достаточно малых ее участков; для всей траектории может оказаться, что интеграл 2.1 имеет лишь экстремальное, не обязательно минимальное значение. Это обстоятельство, однако, совершенно несущественно при выводе уравнений движения, использующем лишь условие экстремальности.»

Тут у меня возникает целый букет вопросов. Мне, например, трудно понять каким образом весь функционал будет максимален, если на отдельных маленьких участках пути он всегда минимален, а действие при этом является аддитивной величиной.

            По-видимому, имеется в виду следующее. Если взять глобальный функционал действия, то найдётся траектория, где он будет МЕНЬШЕ, чем сумма локальных действий на действительной траектории, НО... Разбить эту траекторию на участки с минимальными действиями НЕВОЗМОЖНО. На некоторых действие будет даже меньше чем на действительных соответствующих участках, но на других зато оно будет бОльшим.

[В.И.Костицын]

А всё-таки интересно девки пляшут. Цветная оговорка без дополнительного разъяснения перечёркивает для меня всё,
так как каждый раз мне не ясно - нахожусь ли я в условиях этой оговорки или нет.
А на справедливость принципа на участках траектории (без разъяснения этой оговорки)
мне наплевать, так как я ищу траекторию целиком. Может быть и верно, что чем ближе точки траектории друг к другу,
тем точнее соблюдается принцип, но вдруг, осторожно говоря,
вместе с этим и вероятие ситуации из цветной оговорки возрастает.

Может просветите неразумного? Кратенько так, а?

В закрытую систему невозможно закачать энергию. На то она и закрытая.
В закрытой системе возможен только обмен кинетической и потенциальной энергией. И брать энергию неоткуда, как только из массы.

Пусть   m₀ - начальная масса системы в абсолютной ньютоновской ИСО, т.е при V=0.
           m_(V) - текущее значение массы, уменьшающееся с увеличением скорости.

Тогда   m^/=m₀-m_(V) - масса, затраченная на превращение потенциальной энергии в кинетическую.

Запишем закон сохранения энергии для закрытой системы:

           m^/V²/2+(m₀-m^/)c²=m₀c²
раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем:

            m^/V²/2-m^/c²=0       (1)
где        m^/V²/2=T      (кинетическая энергия)
             m^/c²=(m₀-m^/)gh=П     (потенциальная энергия)
или        L=T-П

Таким образом, функция Лагранжа - просто запись закона сохранения энергии, но при одном важном условии: кинетическая энергия не появляется волшебным образом из ничего и не обнуляется при всяком изменении ИСО, как того требует СТО, она берется из массы самой системы. То есть масса закрытой системы при ее движении, вопреки заверениям релятивистов не возрастает, а наоборот, уменьшается по закону

            m_(V)=m₀(1-V²/c²)^1/2   (2)

И нельзя сообщить телу кинетическую энергию, больше чем m₀c².

При V<<c  m₀-m_(V) почти =m₀, поэтому уменьшение массы обнаружить не удается.
Но при релятивистских скоростях ошибочность СТО, полагающей

             m(V)=m₀/(1-V²/c²)^1/2   (3)

проявляется во всей красе.

          Сравнение результатов расчетов кинетической энергии по формулам
       СТО, и по формулам расчетным с фактически измеренными значениями
                                                      энергии электрона

 ------------------------------------------------------------------------
   Энергия, МэВ              0,025   0,035            0.045   0,055     0,065
 -------------------------------------------------------------------------
   Скорость, V/c              0,313   0,369            0,412   0,449           0,480
  -------------------------------------------------------------------------
  Энергия по СТО
формула (3)                   0,0270   0,0388   0,0498   0,0609   0,0715
 --------------------------------------------------------------------------
  Энергия
по формуле (2)               0,0256   0,0361   0,0454   0,0544   0,0627
---------------------------------------------------------------------------
Максимальная ошибка при использовании расчетной формулы (2), когда полагаем, что масса при разгоне уменьшается, составляет 3,5 %, тогда как при использовании релятивистской формулы (3) ошибка равна 10,0 %.
Но откуда берутся огромные энергии у электрона при разгоне его до релятивистских скоростей? Ответ прост. Оказывается, что энергия, связывающая кванты пространства-времени в единую физическую систему, равна:

Е=2пi*r²n*c^(6n-2)/2 (4)    

Где: n  - число измерений пространства; r  - радиус пространства; с – скорость света.

Согласно (4) в электрическом заряде электрона сосредоточена чудовищная энергия, равная


  Е=1,52*10^-3Дж =9,49*10¹⁵эВ = 9486 ТэВ

[Ser100]

Ну и глядя на выделенное жирным, Вы будете утверждать, что требовалась минимальность?

АИД, Вы зачем шлангом прикидываетесь. Я Вам про Фому, а Вы мне про Ерему. Не надо сюда втыкать наши тонкости спора о минимуме и экстремуме для ПНД. Я Вам говорю о том, что Ландау требует  от ПНД экстремальности, а Вы говорите, что достаточно стационарности. В ответ на это Вы мне заявляете, но Вы то под экстремальностью для ПНД понимаю только минимум. Причем тут сейчас это. Да, я так считаю, т.к. не видел таких процессов, где бы на истинном пути действие было максимально и все разговоры об экстремальености ПНД это только из вежливости, чтобы не обижались математики. Но об этом давайте потом. А сейчас доказывайте свое практическое требование стационарности.

P.S. Ваше письмо не получил.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

Полагаю, здесь под экстремальностью понимается именно равенство нулю первой вариации, т.к. в вариационном счислении кривые, на которых первая вариация обращается в нуль, называются экстремалями. Поэтому ЛЛ говорят именно о стационарности.

А может они говорят об экстремальных видах спорта. Там в слове «экстремальных» тоже корень экстремаль. Вы, что из Ландау клоуна то делаете. Наличие экстремалей является всего навсего необходимым, но не достаточным условием экстремума функционала. Да, при нахождение экстремалей тоже должно выполняться условие равенства нулю первой вариации, но это требование называется стационарностью. А экстремали являются решением дифференциального уравнения Эйлера для данного функционала. И Вы утверждаете, что Ландау всего этого не знал и все редакторы 6-и (или сколько их уже было) изданий не замечали этой ошибки в самом главном уравнение учебника. Тем более, что в своих рассуждениях перед этим Ландау четко говорил именно о минимуме и экстремуме функционала, т.е. об экстремальности, а потом (с Ваших предположений) ни с того ни с сего заговорил о стационарности, обозвав ее экстремальностью. Но, если дело обстоит именно так, как Вы говорите, то этому учебнику Ландау вообще грош цена, т.к. это можно в любой формуле сказать, что он думал одно, а написал другое. Давайте не будем додумывать за Ландау, что он там имел ввиду, т.к. и так ясно, что он плохо понимал смысл ПНД, т.к. в противном случае он дал бы более полное изложение этого принципа прежде чем строить на нем всю механику. Вы лучше приведите свои практические примеры, где ПНД используется именно в смысле стационарности.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

            По-видимому, имеется в виду следующее. Если взять глобальный функционал действия, то найдётся траектория, где он будет МЕНЬШЕ, чем сумма локальных действий на действительной траектории, НО... Разбить эту траекторию на участки с минимальными действиями НЕВОЗМОЖНО. На некоторых действие будет даже меньше чем на действительных соответствующих участках, но на других зато оно будет бОльшим.

Начнем с того, что ПНД всегда локален, т.е. минимум действия на действительной траектории будет только до кинетического фокуса, т.е. время t2 не может быть любым. Если Вы берете глобальный функционал действия, то там можно говорить только о стационарности, т.е.  действие при этом может быть на истинном пути любым от минимума до максимума и тогда можно говорить о любых значениях на отдельных участках пути. Но Ландау утверждает, что он берет именно локальный участок действительного пути, т.е. до кинетического фокуса, где кроме стационарности будет и экстремальность, т.е. действие будет иметь или максимум или минимум (правда он утверждает в основной формулировке что будет минимум). Так вот в сноске он может утверждть только то, что если этот локальный участок пути разбить на маленькие участки, то действие на них будет минимальным. А, т.к. действие является адитивной величиной, то следовательно на всем локальном пути оно будет равно сумме действий на этих маленьких участках и следовательно будет минимальным на всем локальном пути. А он ни с того ни с сего заявляет, что оно при этом может получиться и максимальным, т.е. в общем случае будет экстремальным. Но, если же предположить, что в сноске он говорит о глобальном функционале, то какое он имел право говорить, что действие при этом может быть не только минимальным, но и экстремальным, т.к. в этом случае о величине действия на действительном пути вообще ничего определенного сказать нельзя.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

Цветная оговорка без дополнительного разъяснения перечёркивает для меня всё,
так как каждый раз мне не ясно - нахожусь ли я в условиях этой оговорки или нет.
А на справедливость принципа на участках траектории (без разъяснения этой оговорки)
мне наплевать, так как я ищу траекторию целиком.
Может просветите неразумного? Кратенько так, а?

Частично я уже ответил на Ваш вопрос в предыдущем ответе. Могу только дополнить, что ПНД в той формулировке, что его дал Ландау справедлив только на локальном участке пути, т.е. является частным принципом, а не общим. Границы этого локального участка пути, т.е. в этой формулировке ПНД время t1 и t2 определяются в каждой конкретной задаче индивидуально и в зависимости от того какое у нас было значение t1 ищется для данной задачи положение кинетического фокуса, т.е. точки траектории, до которого при этом t1 будет соблюдаться ПНД. Затем уже зная положение кинетического фокуса мы можем сказать меньше какой величины должно быть значение времени t2, чтобы соблюдался ПНД в формулировке Ландау, т.е. действие было на пути между двумя промежутками времени t1 и t2 минимальным.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

А может они говорят об экстремальных видах спорта. Там в слове «экстремальных» тоже корень экстремаль. Вы, что из Ландау клоуна то делаете. Наличие экстремалей является всего навсего необходимым, но не достаточным условием экстремума функционала. Да, при нахождение экстремалей тоже должно выполняться условие равенства нулю первой вариации, но это требование называется стационарностью. А экстремали являются решением дифференциального уравнения Эйлера для данного функционала. И Вы утверждаете, что Ландау всего этого не знал и все редакторы 6-и (или сколько их уже было) изданий не замечали этой ошибки в самом главном уравнение учебника. Тем более, что в своих рассуждениях перед этим Ландау четко говорил именно о минимуме и экстремуме функционала, т.е. об экстремальности, а потом (с Ваших предположений) ни с того ни с сего заговорил о стационарности, обозвав ее экстремальностью. Но, если дело обстоит именно так, как Вы говорите, то этому учебнику Ландау вообще грош цена, т.к. это можно в любой формуле сказать, что он думал одно, а написал другое. Давайте не будем додумывать за Ландау, что он там имел ввиду, т.к. и так ясно, что он плохо понимал смысл ПНД, т.к. в противном случае он дал бы более полное изложение этого принципа прежде чем строить на нем всю механику. Вы лучше приведите свои практические примеры, где ПНД используется именно в смысле стационарности.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Могу повторить то же, что говорил в отношении Кости. Если Вам так хочется неправильно понимать прочитанное, то это Ваше дело и я ничего не могу поделать. Ландау ясно написал, и подтвердил вычислениями, что уравнения движения он выводит из условия равенства нулю вариации действия. Ткните пальцем, где он использует не равенство нулю вариации, а максимум или минимум действия.

Я же Вам выслал на почту примеры нахождения фокусов. ПНД в смысле стационарности применяется везде. Вы мне покажите, где он используется в смысле экстремальности.

[aid]

P.S. Ваше письмо не получил.

Вечером попробую отправить еще раз.

[Lons]

   Но, если же предположить, что в сноске он говорит о глобальном функционале, то какое он имел право говорить, что действие при этом может быть не только минимальным, но и экстремальным, т.к. в этом случае о величине действия на действительном пути вообще ничего определенного сказать нельзя.

  Очень похоже на то, что в сноске авторы (может даже и не сам Ландау) перескочили к глобальному функционалу. Ну, а для него действие на некоторых тракториях может быть "самым всевозможным": и экстремальным, то есть локально-минимальным или локально-максимальным, и просто стационарным. Для разделения этих случаев нужно исследовать знаковую определённость второй вариации (агалогия с особыми точками графика функции).

[Lons]

... Могу только дополнить, что ПНД в той формулировке, что его дал Ландау справедлив только на локальном участке пути, т.е. является частным принципом, а не общим.

     Здесь может быть ещё другой тип "необщности". Возможны ли механические системы "без фокусов", так сказать? Для них ПНД в формулировке Ландау будет выполняться для глобального фунционала, и как следствие, на каждом локальном участке траектории.

[aid]

    Здесь может быть ещё другой тип "необщности". Возможны ли механические системы "без фокусов", так сказать? Для них ПНД в формулировке Ландау будет выполняться для глобального фунционала, и как следствие, на каждом локальном участке траектории.

Возможны.
Даже если предположить, что Ландау действительно думал, что действие на действительной траектории только или минимально или максимально, то это никак не влияет на следствия из ПНД - вывод уравнений движения из равенства нулю вариации.

Обратите внимание также на текст Л-Л: Необходимым условием минимальности S (вообще - экстремальности) является обращение в нуль совокупности этих членов; ее называютпервой вариацией интеграла. Т.о. ПНД можно записать в виде ф(2.4). (равенство нулю вариации. прим aid)

Т.е. ЛЛ прекрасно знают, что равенство вариации нулю - необходимое условие, но не необходимое и достаточное. Ну выразились недостаточно ясно. Ну так кто говорил, что изложение механики у ЛЛ - самое лучшее. Оно там очень краткое.

[aid]

Н. д. п. в форме Гамильтона — Остроградского устанавливает, что среди всех кинематически возможных перемещений системы из одной конфигурации в другую (близкую к первой), совершаемых за один и тот же промежуток времени, действительным является то, для которого действие по Гамильтону S будет наименьшим.
Математическое выражение Н. д. п. имеет в этом случае вид: δS = 0, где δ — символ неполной вариации.

См. выделенное жирным. Это важно для того, чтобы действие было наименьшим.
Ну и второе выделение жирным - используется именно математическое выражение, из которого получаются уравнения Лагранжа. При этом не важно, будет действие наименьшим, наибольшим или стационарным.

[AlexW]

См. выделенное жирным. Это важно для того, чтобы действие было наименьшим.
Ну и второе выделение жирным - используется именно математическое выражение, из которого получаются уравнения Лагранжа. При этом не важно, будет действие наименьшим, наибольшим или стационарным.

Я вот человек непредубежденный... считаю что это ошибка в курсе ЛЛ, которую ищут в другой ветке.
Ошибка она и есть ошибка. Формулировка в виде ПНД вводит читателей в заблуждение.
Ограничение всего класса траекторий на траектории до фокуса совершенно неправомерно с точки зрения общего принципа. А то что имеется в виду в таком краеугольном вопросе, то и надо писать.
Принцип стационарного действия - значит принцип стационарного действия.

[aid]

Я вот человек непредубежденный... считаю что это ошибка в курсе ЛЛ, которую ищут в другой ветке.
Ошибка она и есть ошибка. Формулировка в виде ПНД вводит читателей в заблуждение.
Ограничение всего класса траекторий на траектории до фокуса совершенно неправомерно с точки зрения общего принципа. А то что имеется в виду в таком краеугольном вопросе, то и надо писать.
Принцип стационарного действия - значит принцип стационарного действия.

Весь вопрос в том, что такое экстремальное действие.
Для кого вопрос краеугольный? Для нас? Так откуда ЛЛ было знать, что для нас он краеугольный?
У ЛЛ в книгах множество недоговоренностей, которые при большом желании можно считать за ошибки.

[AlexW]

Весь вопрос в том, что такое экстремальное действие.
Для кого вопрос краеугольный? Для нас? Так откуда ЛЛ было знать, что для нас он краеугольный?
У ЛЛ в книгах множество недоговоренностей, которые при большом желании можно считать за ошибки.

Лично для меня   за других судить не берусь. Ошибка исправляется очень просто - переименование
"принципа наименьшего действия" в "принцип стационарного действия".

[aid]

Лично для меня   за других судить не берусь. Ошибка исправляется очень просто - переименование
"принципа наименьшего действия" в "принцип стационарного действия".

Иногда его так и называют. Здесь же просто исторически сложившееся название. Как лошадиная сила.

[aid]

Это Вы мне смотреть предлагаете выделенное жирным?
Не слабо! Это я для Вас выделил, цветом подтвердил.
А Вы мне же моё же "разъясняете" что ли?

Я не сомневался, что будет такая реакция.   Да кто я такой, чтобы  разъяснять самому Анаксагору  его текст
Можете меня больше не беспокоить.  

[Ser100]

Ткните пальцем, где он использует не равенство нулю вариации, а максимум или минимум действия.

Вообще то, я смотрю тут и без меня натыкали пальцем и прилично запутались в этом вопросе, но я постараюсь запутать этот вопрос еще больше. Итак, на стр.10 Ландау формулирует ПНД в формулировке Гамильтона-Остроградского-Якоби, где требует, чтобы интеграл имел минимальное действие. Затем в сноске к этой формулировке он утверждает, что в такой формулировке ПНД справедлив только локально, а глобально действие может быть или минимально или максимально, но это не страшно, т.к. для вывода из него уравнений движения используется лишь условие экстремальности. И пятью строчками ниже он подтверждает это
«Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определение максимума интеграла (2.1)»

Но здесь возникает вопрос – почему именно максимума, если он только что заявлял, что достаточно экстремальности, т.е. может быть и минимум, который в его формулировке ПНД он и дает. Тем более, что на стр.18, где он находит функцию Лагранжа свободной материальной точки, он требует от интеграла минимума.

«В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл от (m*v^2/2)*dt имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т.е. не имел бы минимума»

И в конце этой фразы он опять не понятно зачем дает ссылку на сноску на стр.11, чем окончательно запутывает вопрос, что же ему надо от ПНД – минимума или максимума. А ссылка выглядит так
«Сделанная в примечание на с.11 оговорка не мешает этому выводу, так как при m<0 интеграл не мог бы иметь минимума ни для какого малого участка траектории.»

Таким образом, для вывода из ПНД уравнений движения ему действительно нужен экстремум, т.е. в одних случаях минимум, а в других случаях максимум, но самое начало вывода этих уравнений на стр. 12 он производит только из стационарности действия, т.к. он использует только необходимое (первая вариация равна нулю), но не достаточное условие экстремальности.

«Необходимым условием минимальности (вообще экстремальности) действия является обращение в нуль совокупности этих членов; ее называют первой вариацией (или обычно просто вариацией) интеграла.»

Далее он получает эти уравнения и пишет
«Это – искомые дифференциальные уравнения; они называются в механике уравнениями Лагранжа»
и дает сноску, где пишет, что
«В вариационном исчислении, рассматривающем формальную задачу об определении экстремумов интегралов вида (2.1), они называются уравнениями Эйлера»

Таким образом, то, что полученные им уравнения движения прекрасно известны в вариационном исчислении он знает и знает, что эти уравнения являются только необходимым условием экстремума, но не достаточным, но почему то в своих рассуждениях кругом уверенно заявляет, что мы имеем дело именно с экстремумом действия и использует в одном случае минимум действия, а в другом максимум. Выводов из всего этого напрашивается несколько, но я их дам позже.


С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.