Петров о принципе наименьшего действия

[aid]

И пятью строчками ниже он подтверждает это
«Перейдем к выводу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определение максимума интеграла (2.1)»

Но здесь возникает вопрос – почему именно максимума, если он только что заявлял, что достаточно экстремальности, т.е. может быть и минимум, который в его формулировке ПНД он и дает. Тем более, что на стр.18, где он находит функцию Лагранжа свободной материальной точки, он требует от интеграла минимума.

У меня в книге написано - минимума.

«В самом деле, согласно принципу наименьшего действия для действительного движения материальной точки из точки 1 пространства в точку 2 интеграл от (m*v^2/2)*dt имеет минимум. Если бы масса была отрицательной, то для траекторий, по которым частица сначала быстро удаляется от 1, а затем быстро приближается к 2, интеграл действия принимал бы сколь угодно большие по абсолютной величине отрицательные значения, т.е. не имел бы минимума»

И в конце этой фразы он опять не понятно зачем дает ссылку на сноску на стр.11, чем окончательно запутывает вопрос, что же ему надо от ПНД – минимума или максимума. А ссылка выглядит так
«Сделанная в примечание на с.11 оговорка не мешает этому выводу, так как при m<0 интеграл не мог бы иметь минимума ни для какого малого участка траектории.»

Согласен, здесь действительно использует минимум. Но для свободной точки кинетические фокусы вообще отсутствуют.

Таким образом, для вывода из ПНД уравнений движения ему действительно нужен экстремум, т.е. в одних случаях минимум, а в других случаях максимум, но самое начало вывода этих уравнений на стр. 12 он производит только из стационарности действия, т.к. он использует только необходимое (первая вариация равна нулю), но не достаточное условие экстремальности.

Где максимум? Там написано про минимум.

Таким образом, то, что полученные им уравнения движения прекрасно известны в вариационном исчислении он знает и знает, что эти уравнения являются только необходимым условием экстремума, но не достаточным, но почему то в своих рассуждениях кругом уверенно заявляет, что мы имеем дело именно с экстремумом действия и использует в одном случае минимум действия, а в другом максимум. Выводов из всего этого напрашивается несколько, но я их дам позже.

Максимум он нигде не использует. Минимум пожалуй использует для обоснования неотрицательности массы, но это использование вполне согласуется со сноской на стр. 10. Для достоточно близких точек должен быть минимум

[Ser100]

     Здесь может быть ещё другой тип "необщности". Возможны ли механические системы "без фокусов", так сказать? Для них ПНД в формулировке Ландау будет выполняться для глобального фунционала, и как следствие, на каждом локальном участке траектории.

Да, возможны, но не системы, а вид потенциального поля в котором движется тело. Например, в своей статье  «О принципах кратчайшего времени и наименьшего действия» http://modsys.narod.ru , где я исследовал различные формулировки ПНД на наличие глобального, а не локального минимума я нашел, что по крайней мере в одном поле, т.е.  в поле постоянной напряженности (поле плоского конденсатора), этот принцип выполняется всегда, т.е. минимум является глобальным. Вот только обидно, что частенько и движение тел в поле тяготения Земли рассматривают как движение в поле постоянной напряженности и заявляют, что при этом траектория будет параболой, хотя на самом деле траектория будет эллипсом.


С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

Сергей, сообщите, пожалуйста, получили Вы мою посылку?

[Ser100]

Сергей, сообщите, пожалуйста, получили Вы мою посылку?

Да, спасибо, получил, но разбираться буду позже.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

У меня в книге написано - минимума.

Попробуем разобраться, т.к. я цитировал последнее 5-е издание. Может в других изданиях не так. Смотрим издания (правда у меня не все есть и наблюдается некоторая путаница с 1-м изданием)

1-е, 1940 год (редакция Ландау) – нет такого текста в учебнике (авторы Ландау, Пятигорский).
1-е,  1957 год (редакция Ландау, Лифшица) – у меня нет учебника.
2-е, 1968 год (редакция Лифшица) – минимум.
3-е, 1973 год (редакция Лифшица, Питаевского) – у меня нет учебника.
4-е, 1988 год (редакция Питаевского) – минимум.
5-е, (стереотипное) 2004 год (редакция Питаевского) – максимум.

В общем, даже по тому, что у меня есть картина получается очень забавная с этим ПНД, т.к. в первом издание этого текста вообще нет, в последующих написано, что должен быть минимум, а в последнем издании, не смотря на то, что оно является стереотипным изданием, появляется уже максимум. Но самое интересное это то, что в первом издании не только нет этого текста, что должен быть максимум (минимум), но нет ни сноски на стр.11, ни упоминания о том, что равенство нулю первой вариации является необходимым условием экстремума, ни сноски, где говорится о том, что полученные дифференциальные уравнения движения давным давно известны и в вариационном исчисление даже получили специальное название дифференциальных уравнений 2-го порядка Эйлера. Зато есть вот такой текст
«Соответствующая задача нахождения функций, дающих экстремальные значения интегралу, решается операцией, носящей название варьирования.»

Таким образом, Ландау считал, что если первая вариация равна нулю, то значение интеграла приобретает экстремальное значение, т.е. он не только плохо разбирался в сущности ПНД, но и плохо знал вариационное исчисление. Впрочем это его заблуждение можно понять, т.к. для простоты изложения математики так и говорили, а Ландау просто подслушал их разговор. Вот что по этому поводу пишет Остроградский в своей статье «Дифференциальные уравнения проблемы изопериметров», в которой он как частный случай решаемой им задачи получает уравнения Гамильтона.
«На самом деле вариация интеграла может обращаться в нуль и в том случае, когда интеграл не допускает ни наибольшего, ни наименьшего значения, но геометры обычно говорят и в этом случае о минимуме или максимуме, без сомнения, для простоты изложения, и мы будем в этом следовать их примеру»

Кстати, несколькими строчками выше он пишет
«Формула (21) содержит как частный случай динамический принцип наименьшего действия, но, с нашей точки зрения, его нельзя рассматривать не только как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым следствием, очевидным результатом применения метода вариаций к теории maxima и minima».

Как я и обещал, окончательные выводы я сделаю позже, но уже сейчас ясно, что сам ПНД по большому счету не имеет практически никакого отношения к дифференциальным уравнениям, полученным Ландау.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

Таким образом, Ландау считал, что если первая вариация равна нулю, то значение интеграла приобретает экстремальное значение, т.е. он не только плохо разбирался в сущности ПНД, но и плохо знал вариационное исчисление. Впрочем это его заблуждение можно понять, т.к. для простоты изложения математики так и говорили, а Ландау просто подслушал их разговор. Вот что по этому поводу пишет Остроградский в своей статье «Дифференциальные уравнения проблемы изопериметров», в которой он как частный случай решаемой им задачи получает уравнения Гамильтона.
«На самом деле вариация интеграла может обращаться в нуль и в том случае, когда интеграл не допускает ни наибольшего, ни наименьшего значения, но геометры обычно говорят и в этом случае о минимуме или максимуме, без сомнения, для простоты изложения, и мы будем в этом следовать их примеру»

Кстати, несколькими строчками выше он пишет
«Формула (21) содержит как частный случай динамический принцип наименьшего действия, но, с нашей точки зрения, его нельзя рассматривать не только как принцип, но даже как простую теорему. Он кажется нам только простым следствием, очевидным результатом применения метода вариаций к теории maxima и minima».

Не понятно, на каком основании Вы сделали вывод, что Ландау плохо знал вариационное счисление, а не сказал так "для простоты изложения".

уже сейчас ясно, что сам ПНД по большому счету не имеет практически никакого отношения к дифференциальным уравнениям, полученным Ландау.

Мне не ясно. Если в смысле минимальности - да, не имеет. Так я это и говорил с самого начала.

[Lons]

...в своей статье  «О принципах кратчайшего времени и наименьшего действия» http://modsys.narod.ru , где я исследовал различные формулировки ПНД на наличие глобального, а не локального минимума я нашел, что по крайней мере в одном поле, т.е. в поле постоянной напряженности (поле плоского конденсатора), этот принцип выполняется всегда, т.е. минимум является глобальным. Вот только обидно, что частенько и движение тел в поле тяготения Земли рассматривают как движение в поле постоянной напряженности и заявляют, что при этом траектория будет параболой, хотя на самом деле траектория будет эллипсом.

  Это просто вопрос точности измерений. В достаточно малом объёме гравитационное поле Земли с ВЫСОЧАЙШЕЙ точностью является однородным.

[Вашкевич Виктор]

  Это просто вопрос точности измерений. В достаточно малом объёме гравитационное поле Земли с ВЫСОЧАЙШЕЙ точностью является однородным.

Что значит "однородное"?

[Lons]

Что значит "однородное"?

   То есть с постоянной напряжённостью (ускорение свободного падения) во всех точках.

[Вашкевич Виктор]

   То есть с постоянной напряжённостью (ускорение свободного падения) во всех точках.

Но этого нету. Ускорение свободного падения меняется с высотой.

[Lons]

Но этого нету. Ускорение свободного падения меняется с высотой.

     Я ведь обусловил: в достаточно малом объёме.

[В.И.Костицын]

   

Свершилось! Якинака в теме "Что такое энергия динамической системы" написал формулы САМ! И теперь дурь его не вырубишь топором. Он совершенно забыл, какую задачу решает и когда можно применять принцип наименьшего действия.

На самом деле механический осциллятор - это вязко-упругая система, состоящая из пружины и демпфера.
Возможны 5 моделей вязко-упругих осцилляторов:

- модель Гука. Есть только пружина. Усилие пропорционально деформации.
- модель Ньютона. Есть только демпфер. Усилие пропорционально первой производной от деформации.
- модель Фойгта. Пружина и демпфер соединены параллельно. Усилие является линейной комбинацией деформации и первой производной деформации.
- модель Максвелла. пружина и демпфер соединены последовательно.  Усилие является линейной комбинацией деформации и первой производной деформации.
- модель Зенера. обобщает приведенные выше модели:

  ((1+a(d/dt))b_(t)=((m+b(d/dt))e _(t)    (1)

b_(t)- усилие.
e _(t)- деформация.
m - коэффициент жесткости.

При a=b=0  (1) дает модель Гука, при a=m=0 получаем модель Ньютона, при а=0 - модель Фойга, при m=0 - модель Максвелла.

Но (1) - это лишь грубое приближение, так как вязко-упругие системы - это нелинейные системы, о чем Петров вот уже год толкует Якинаке, но до Якинаки это так и не доходит. Дальше ландау- лагранжиана он мыслить не способен.
Для нелинейных систем (с дробными производными) справедлив закон:

 b_(t)+a(d^vb(t)/dt^v)=be_(t)+c(d^v/dt^v)

      0<v<1 - дробная производная.

Вот и все. И никаких всадников на всадницах.

[Марина Славянка]

По просьбе Якинику, выделяю в отдельную тему разговор с Петровым по поводу ПНД.
Петров:
Докажите, что для применимости ПНД в форме Гамильтона-Остроградского необходимо сохранение энергии.
Кстати, поясните, как это вариация действия в каждой точке траектории движения?

Интересно получилось! Хорошая тема-то.
Жаль, что немножко зафлудили под конец.

[Dachnik]

Интересно получилось! Хорошая тема-то.
Жаль, что немножко зафлудили под конец.

Марина!
Выражение ПНД (Принцип наименьшего действия) есть словоблудие.
В потенциальных полях есть принцип "Одинаковости действия"
Работа mgh  не зависит от траектории перемещения тела на высоту h.
Тело скатывается с плоскости высотой h под углом к оси У равном а.
На него действует сила m*g*Cos a.
Пройдет путь h/Cos a.
Работа = m*g*Cos a * h/Cos a = m*g*h
А принцип Гамильтона-Остроградского говорит о том, что если тело  по инерции
вкатится обратно в точку вкатывания, то h = 0, действие будет наименьшее, то есть нулевое.
Как и все рассуждения в данной теме.

[aid]

Марина!
Выражение ПНД (Принцип наименьшего действия) есть словоблудие.
В потенциальных полях есть принцип "Одинаковости действия"
Работа mgh  не зависит от траектории перемещения тела на высоту h.
Тело скатывается с плоскости высотой h под углом к оси У равном а.
На него действует сила m*g*Cos a.
Пройдет путь h/Cos a.
Работа = m*g*Cos a * h/Cos a = m*g*h
А принцип Гамильтона-Остроградского говорит о том, что если тело  по инерции
вкатится обратно в точку вкатывания, то h = 0, действие будет наименьшее, то есть нулевое.
Как и все рассуждения в данной теме.

Вы неверно понимаете ПНД в форме Гамильтона-Остроградского. Я объясню на приведенном вами примере.
Закон движения тела по наклонной плоскости будет: s=g*Cosa*t²/2. Соскользнет тело за время 1/Cosa*sqrt(2h/g).
Величина действия, равного интегралу по времени от нуля до  1/Cosa*sqrt(2h/g) от разности кинетической и потенциальной энергии при законе движения s=g*Cosa*t²/2 будет меньше, чем при любом другом законе движения.

[Ser100]

Вы неверно понимаете ПНД в форме Гамильтона-Остроградского. Я объясню на приведенном вами примере.
Закон движения тела по наклонной плоскости будет: s=g*Cosa*t²/2. Соскользнет тело за время 1/Cosa*sqrt(2h/g).
Величина действия, равного интегралу по времени от нуля до  1/Cosa*sqrt(2h/g) от разности кинетической и потенциальной энергии при законе движения s=g*Cosa*t²/2 будет меньше, чем при любом другом законе движения.

О, как все запущено. Оказывается, все, включая Ландау и Фейнмана, не понимают ПНД, но все лезут сказать свое Я. АИД, но от Вас то я такой глупости никак не ожидал. Что же Вы ПНД Гамильтона-Остроградского применяете для отыскания прямого пути при движение со связями. Здесь надо использовать принцип наименьшего принуждения Гаусса. Вот в этой статье Маркеева http://www.pereplet.ru/obrazovanie/stsoros/481.html  Ваша задачка с использованием этого принципа и решается. А когда говорят о ПНД, то всегда надо рассматривать на истинном пути свободное движение, а движение со связями, т.е. по каким то направляющим, это уже окольные пути. А конкретно в Вашей задаче при движение из точки А (-40,40) в точку В (40, 0) по наклонной плоскости получается с начальной скоростью 10 м/с время движения 4,503 с и действие -65,97 Дж*с, а при движение по дуге окружности, как показано на рисунке получается при начальной скорости 15,22 м/с время движения 4,503 с и действие -267,69 Дж*с, т.е. на дуге действие в 4 раза меньше, чем на прямой.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

когда говорят о ПНД, то всегда надо рассматривать на истинном пути свободное движение, а движение со связями, т.е. по каким то направляющим, это уже окольные пути. А конкретно в Вашей задаче при движение из точки А (-40,40) в точку В (40, 0) по наклонной плоскости получается с начальной скоростью 10 м/с время движения 4,503 с и действие -65,97 Дж*с, а при движение по дуге окружности, как показано на рисунке получается при начальной скорости 15,22 м/с время движения 4,503 с и действие -267,69 Дж*с, т.е. на дуге действие в 4 раза меньше, чем на прямой.

1. Некорректно писать, что -267 в 4 раза меньше -66. Но это мелочь.
2. Вы не верно понимаете ПНД.
На прямом пути точка Р„ системы описывает кривую jv, соединяющую точки а„ и &„. Совокупность соединяющих точки а„ и &„ кри-
вых Yv, бесконечно близких к соответствующим кривым jv и таких, что движение точки Pv по кривой Yv (v = 1, 2, ... , N) может про-
исходить без нарушения связей, называют окольным путем системы.
Т.е. в данном случае сравниваются пути только по наклонной плоскости - не нарушающие связей.
   Естественно, в ПНД и действительный путь может быть со связями. См. формулировку ПНД например, у Ольховского.
интегральный вариационный принцип для систем с обобщенно-потенциальными силами и идеальными голономными связями (принцип Гамильтона — Остроградского):
8S = 0, fy, (*0) = Ч-(tx) = О (i = 1, 2, ... , s). (9.237)
Согласно этому принципу функция действия на действительной траектории имеет экстремальное значение по сравнению с ее
значениями на виртуальных траекториях, точки которых в начальный и конечный моменты времени совпадают соответственно с
начальным и конечным положениями системы.

[Ser100]

бесконечно близких к соответствующим кривым

А, что путь, который будет отклоняться на 45 градусов это бесконечно близкий путь или все таки далекий?
И потом, в «Лекциях по аналитической механике» Ф.Р.Гантмахера рассматриваются все возможные пути, а в «Теоретической механике» А.П.Маркеева рассматриваются только близко расположенные пути. Это, что значит формулировка зависит от того какой учебник читать.

Т.е. в данном случае сравниваются пути только по наклонной плоскости - не нарушающие связей.

Хорошо. Вот вам простейшая система тел, т.е. кривошипно-шатунный механизм, который работает в поле тяжести Земли. Здесь одна обобщенная координата fi1 и мы можем написать лагранжиан, т.е. все, что нужно для ПНД. Так вот ответьте мне какие тут могут быть окольные пути, т.к., как я понимаю, что тут у кривошипа только один путь (к прокурору).

Естественно, в ПНД и действительный путь может быть со связями. См. формулировку ПНД например, у Ольховского.

Да начитался уже. Что не учебник, то новая трактовка, а в результате получается, что никто не понимает то о чем он пишет.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[aid]

А, что путь, который будет отклоняться на 45 градусов это бесконечно близкий путь или все таки далекий?
И потом, в «Лекциях по аналитической механике» Ф.Р.Гантмахера рассматриваются все возможные пути, а в «Теоретической механике» А.П.Маркеева рассматриваются только близко расположенные пути. Это, что значит формулировка зависит от того какой учебник читать.

В данном случае надо обратить внимание на то, что путь должен быть, допускаемый связями. Надо уметь выделять главное.

Хорошо. Вот вам простейшая система тел, т.е. кривошипно-шатунный механизм, который работает в поле тяжести Земли. Здесь одна обобщенная координата fi1 и мы можем написать лагранжиан, т.е. все, что нужно для ПНД. Так вот ответьте мне какие тут могут быть окольные пути, т.к., как я понимаю, что тут у кривошипа только один путь (к прокурору).

Окольный путь - это просто движение с другим угловым ускорением. В случае с одной обобщенной координатой Х окольный путь - это просто другая зависимость Х(t). Не забывайте, что пути здесь рассматриваются в расширенном координатном пространстве.

Да начитался уже. Что не учебник, то новая трактовка, а в результате получается, что никто не понимает то о чем он пишет.

Надо не просто начитываться, а выделять главное. В данном случае главное - то, что действительный путь тоже может быть со связями.

[Ser100]

В данном случае надо обратить внимание на то, что путь должен быть, допускаемый связями.

А только что Вы писали, что это обязательно должен быть близко расположенный путь. И потом, где Вы у Фейнмана видели близко расположенные пути в его интегралах по путям. Там наоборот, все близко расположенные пути идут в зачет амплитуды вероятности, а далекие не дают вклада.

Окольный путь - это просто движение с другим угловым ускорением.

Это Вы сами придумали или как.

В случае с одной обобщенной координатой Х окольный путь - это просто другая зависимость Х(t). Не забывайте, что пути здесь рассматриваются в расширенном координатном пространстве.

Интересно какое у нас при движение по наклонной плоскости расширенное координатное пространство (я знаю только X, Y, Z). И какое пространство будет, если шар будет скатываться не по наклонной плоскости, а по наклонному желобу.

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.