В электродинамике третий закон Ньютона работает.

[Беляев]

Рассмотрим пример движения  заряженной частицы e с массой m  в кулоновом поле, создаваемом неподвижным зарядом e’,  Будем считать, что масса заряда e’  настолько велика, что его можно считать неподвижным. Тогда задача сводится к исследованию движения заряда  e  в центрально - симметричном поле. Я хочу показать, что в данном примере сила действия F_e’e неподвижного заряда  e’ на движущуюся частицу, равна по величине и обратная по направлению силе противодействия F_ee’  движущейся частицы на неподвижный заряд.
Современная официальная физика считает, что как на неподвижный, так и на движущийся заряд действует сила Кулона.
\[  \vec f = \frac{ee’}{r^3} \vec r  \].
Релятивистское уравнение движения частицы e выглядит следующим образом:
\[  \frac{d}{dt}  \frac{m\vec v }{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = \vec f  \]
Это уравнение путем тождественных преобразований: «мы можем записать в квазиклассическом виде» [1 стр. 130]
\[ \ m \frac{\ d \vec v}{\ d t} = [\vec f - \frac{ \vec v}{c^2}  (\vec v \vec f) ] \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} \]
Возьмем известную релятивистскую формулу, так называемую четвертую компоненту четырехмерного уравнения движения.
\[  \frac{d}{dt}  \frac{mc^2}{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = (\vec f\vec v)  \]
Так как в данном случае fvdt = -edφ’ то решением данного дифференциального уравнения является равенство
\[  \frac{mc^2}{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = - eφ’ + const  \]
В СТО константу принимают равной mc² (кинетическая энергия).
Поэтому решение можно записать в следующем виде:
\[  \frac{1}{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = 1 - \frac{eφ’}{mc^2} \]
С учетом этого равенства «квазиклассическое» уравнение движения может иметь следующий вид:
\[ ( 1 - \frac{eφ’}{mc^2} )\ m \frac{d \vec v}{d t} = [\vec f - \frac{ \vec v}{c^2}(\vec f\vec v) ] \]
Перегруппировав члены этого уравнения, имеем силу F_e’e, с которой неподвижный заряд e’ действует на движущуюся заряженную частицу e:
\[ \ m \frac{d \vec v}{d t} = -egradφ’ + \frac{e\vec v}{c^2}(\vec v gradφ’) + \frac{eφ’}{c^2} \frac{d \vec v}{d t} = \vec F_{e’e}  \]
В скобках второго слагаемого правой части стоит конвективная производная по времени. И поскольку величина движущегося заряда во времени не изменяется то сила F_ee’ равна:  
\[  \vec F_{e’e} = -egradφ’+ e \frac{d}{dt}(\frac{\vec v φ’}{c^2}) \]
Как видим сила F_e’e, с которой неподвижный заряд e’ действует на движущуюся заряженную частицу e равна по величине и противоположна по направлению силе F_ee’ с которой движущаяся заряженная частица e действует на неподвижный заряд e’.
\[  \vec F_{ee’} = e’\vec E = -e’gradφ - e’\frac{\partial\vec A }{\partial t}  = -e’gradφ - e’\frac{\partial}{\partial t} (\frac{\vec v φ}{c^2}) \]
(Согласно  калибровки Лоренца)
\[  \frac{\partialφ }{\partial t}  = - c^2 div_{} (\frac{\vec v φ}{c^2}) = - (\vec v gradφ)  \]

    1. Логунов А. А. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы.  - М.: Наука, 1987.

[Дробышев]

С чего Вы взяли, что \(\mathbf{F}=md\mathbf{v}/dt\) является силой в случае произвольных скоростей зарядов? Сила - это \(\mathbf{f}\) согласно второй формуле Вашего поста.

Третий закон Ньютона не работает хотя бы потому, что кроме зарядов имеется еще один агент - электромагнитное поле, ими создаваемое.

[tory]

С чего Вы взяли, что \(\mathbf{F}=md\mathbf{v}/dt\) является силой в случае произвольных скоростей зарядов? Сила - это \(\mathbf{f}\) согласно второй формуле Вашего поста.

Третий закон Ньютона не работает хотя бы потому, что кроме зарядов имеется еще один агент - электромагнитное поле, ими создаваемое.

Третий закон Ньютона работает в квазистатической нерелятивистской электродинамике.
Но он не работает в релятивистской ("Конвективный потенциал" Пановски и Филипс, Классическая электродинамика)

[Дробышев]

Третий закон Ньютона работает в квазистатической нерелятивистской электродинамике.
Но он не работает в релятивистской

Согласен, в квазистатике 3-й закон работает вплоть до членов, содержащих \(c^{-2}\). В самом деле, исходя из дарвиновской функции Лагранжа (ЛЛ2, параграф 65)

\(\displaystyle L=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_1v_1^4}{8c^2}+\frac{m_2v_2^2}{2}+\frac{m_2v_2^4}{8c^2}-\frac{e_1e_2}{R_{12}}+\frac{e_1e_2}{2c^2R_{12}}[\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2+(\mathbf{v}_1\mathbf{n}_{12})(\mathbf{v}_2\mathbf{n}_{12})]\),

где \(\mathbf{R}_{12}=\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2\), \(R_{12}=|\mathbf{R}_{12}|\), \(\mathbf{n}_{12}=\mathbf{R}_{12}/R_{12}\), можно получить силу, действующую на первый заряд

\(\displaystyle \mathbf{F}_1=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}_1}=\frac{e_1e_2\mathbf{n}_{12}}{R_{12}^2}-\frac{e_1e_2\mathbf{n}_{12}}{2c^2R_{12}^2}[\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2+(\mathbf{v}_1\mathbf{n}_{12})(\mathbf{v}_2\mathbf{n}_{12})]+\frac{e_1e_2}{2c^2R_{12}^2}[\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_2\mathbf{n}_{12})+\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_1\mathbf{n}_{12})]\)      (1)

и на второй

\(\displaystyle \mathbf{F}_2=\frac{\partial L}{\partial\mathbf{r}_2}=-\frac{e_1e_2\mathbf{n}_{12}}{R_{12}^2}+\frac{e_1e_2\mathbf{n}_{12}}{2c^2R_{12}^2}[\mathbf{v}_1\mathbf{v}_2+(\mathbf{v}_1\mathbf{n}_{12})(\mathbf{v}_2\mathbf{n}_{12})]-\frac{e_1e_2}{2c^2R_{12}^2}[\mathbf{v}_1(\mathbf{v}_2\mathbf{n}_{12})+\mathbf{v}_2(\mathbf{v}_1\mathbf{n}_{12})]\).      (2)

Первые члены в (1) и (2) - кулоновские, остальные - поправки к ним порядка \(c^{-2}\). Видно, что \(\mathbf{F}_1= -\mathbf{F}_2\).

[tory]

Согласен, в квазистатике 3-й закон работает вплоть до членов, содержащих \(c^{-2}\). В самом деле, исходя из дарвиновской функции Лагранжа (ЛЛ2, параграф 65)

Формула Дарвина это подгонка по нужный результат (чтобы получить формулу  Лоренца для силы). Прямо (в лоб) это "не выходит"!

Дарвин трансформирует калибровку Лоренца в кулоновскую. Калибровочная инвариантность не доказана. Все существующие "доказательства" опираются на теорему Ковалевской о единственности решения волнового уравнения. Но при доказательстве авторы игнорируют преобразование НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ! Это недопустимо! А если эти условия тоже преобразовывать, тогда доказательство дает иные результаты!

К стати, вы знаете, что решение задачи об излучении диполя Герца существует и имеется в учебниках. Оно дается в рамках калибровки Лоренца. Но вы нигде не найдете решение этой задачи в кулоновской калибровке! Ни в одном учебнике! Это следствие.

[Беляев]

С чего Вы взяли, что \(\mathbf{F}=md\mathbf{v}/dt\) является силой в случае произвольных скоростей зарядов? Сила - это \(\mathbf{f}\) согласно второй формуле Вашего поста.

Так Ньютон учил, что масса, помноженная на ускорение, есть сила. Сила f – это сила статическая. Статическая сила это не значит электростатическая. Это может быть любая сила, действующая на неподвижное тело. А на движущееся тело действует сила, о которой вы говорите. СТО сама применяет статическую силу также и в динамике и навязывает также поступать и классической механике, а потом говорит: - вот видите, классическая механика дает неправильные предсказания.  
Касаемо данного примера Гаусс считал, что сила, действующая на движущийся заряд должна быть равна:    
\[  \ F = -\frac{ee’}{r^2}(1 + \frac{v^2 }{c^2} -\frac{3}{2c^2} (\frac{d\ r }{dt})^2) = f (1 + \frac{\ v^2 }{c^2} -\frac{3}{2c^2} (\frac{d r }{dt})^2) \]
В то время ни у кого не возникало вопроса, что данное выражение есть сила. Возникал вопрос только о том правильное ли выражение. Поэтому Вебер Клаузиус, Риман, Ритц и другие в свое время предлагали свои выражения силы взаимодействия движущихся зарядов. Все сходились на том, что сила взаимодействия между движущимися зарядами иная, чем сила взаимодействия между неподвижными зарядами. Но сила взаимодействия между движущимися зарядами должна переходить в закон Кулона, когда скорости этих зарядов равны нулю.
 Я считаю, что в данном примере сила, действующая на движущийся заряд со стороны неподвижного, равна:
\[  \vec F_{e’e} = -egradφ’+ e \frac{d}{dt}(\frac{\vec v φ’}{c^2}) \]
Какие основания у меня считать так? Да потому, что если подставить эту силу в уравнение движения, (классическое разумеется) то Вы получите те же результаты что и в аналогичном примере рассчитанном по релятивистским формулам. (См. Ландафшиц Т. 2 1988 г. стр. 130.) Да это и не удивительно. Эта сила получена путем преобразования релятивистского уравнения движения.
\[  \frac{d}{dt}  \frac{m\vec v }{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = \vec f  \]
 Ландафшиц в приведенном примере пишет: (стр. 132) ” Финитному движению соответствует в нерелятивистской механике движение по замкнутым орбитам (эллипсам). (Это если в классическое уравнение движения подставить силу из закона Кулона)   В релятивистской же механике траектория никогда не может быть замкнутой”. . А вот почему траектория не может быть замкнутой, СТО объясняет? А причина этого заключена в том, что сила действия хоть и равна силе противодействия, но силы эти не лежат на одной прямой.
А теперь прошу представить, что если бы Планк написал не релятивистское уравнение движения, а вторую формулу по тексту то каким бы путем пошла Физика?

И последнее.

Третий закон Ньютона не работает хотя бы потому, что кроме зарядов имеется еще один агент - электромагнитное поле, ими создаваемое.

 В статике также кроме зарядов присутствует электрическое поле, но закон Кулона подчиняется третьему закону Ньютона.

[Дробышев]

Формула Дарвина это подгонка по нужный результат (чтобы получить формулу  Лоренца для силы).

Формула Дарвина получается из общего выражения для функции Лагранжа точечного заряда \(e_1\) в электромагнитном поле с потенциалами \(\varphi\) и \(\mathbf{A}\):

\(\displaystyle L=-m_1c^2\sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}-e_1\varphi+\frac{e_1}{c}\mathbf{A}\mathbf{v}_1\),    (3)

пригодного на все случаи жизни. В рассматриваемом случае \(\varphi\) и \(\mathbf{A}\) - потенциалы поля, создаваемого вторым точечным зарядом \(e_2\). При этом выражение (3) - результат не только общих теоретических соображений, таких, как требование лоренц-инвариантности действия, но и в значительной степени результат опытных данных (сила Лоренца).

Дарвин трансформирует калибровку Лоренца в кулоновскую.

Действительно, при выводе формулы Дарвина используются калибровочные преобразования потенциалов (ЛЛ2, стр. 218)

\(\displaystyle\varphi'=\varphi-\frac{1}{c}\frac{\partial f}{\partial t}, \qquad \mathbf{A}'=\mathbf{A}+\nabla f\)     (4)

с функцией \(f\) специального вида, приводящие скалярный потенциал заряда \(e_2\) к кулоновскому виду \(\varphi'=e_2/R_{12}\).

Калибровочная инвариантность не доказана.

Калибровочная инвариантность функции Лагранжа (3) доказывается в одну строчку. Замена в ней потенциалов на \(\varphi'\) и \(\mathbf{A}'\) (4) очевидно приводит к появлению дополнительного члена

\(\displaystyle\frac{e_1}{c}\left(\frac{\partial f}{\partial t}+(\mathbf{v}\nabla)f\right)=\frac{e_1}{c}\frac{df}{dt}\),

являющегося полной производной по времени. Уравнения движения заряда от этого не изменяются.

Все существующие "доказательства" опираются на теорему Ковалевской о единственности решения волнового уравнения. Но при доказательстве авторы игнорируют преобразование НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ! Это недопустимо! А если эти условия тоже преобразовывать, тогда доказательство дает иные результаты!

Калибровочные преобразования применяются уже после того, как выписаны выражения для \(\varphi\) и \(\mathbf{A}\) в виде запаздывающих потенциалов, являющихся решениями волнового уравнения (см. ЛЛ2). При чем здесь преобразования начальных условий?

К стати, вы знаете, что решение задачи об излучении диполя Герца существует и имеется в учебниках. Оно дается в рамках калибровки Лоренца. Но вы нигде не найдете решение этой задачи в кулоновской калибровке! Ни в одном учебнике! Это следствие.

Какая разница в том, какую калибровку использовать для получения мощности излучения диполя? Эта мощность выражается через напряженности полей \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\), которые никак не зависят от калибровки потенциалов.

[Дробышев]

Так Ньютон учил, что масса, помноженная на ускорение, есть сила.

Это в нерелятивистском случае.

Я считаю, что в данном примере сила, действующая на движущийся заряд со стороны неподвижного, равна:
\[  \vec F_{e’e} = -egradφ’+ e \frac{d}{dt}(\frac{\vec v φ’}{c^2}) \]
Какие основания у меня считать так? Да потому, что если подставить эту силу в уравнение движения, (классическое разумеется) то Вы получите те же результаты что и в аналогичном примере рассчитанном по релятивистским формулам. (См. Ландафшиц Т. 2 1988 г. стр. 130.)

Как Вам угодно. Можете назвать ее "силой" Беляева. Беда только в том, что \(\mathbf{F}_{e’e}\mathbf{v}\) не будет являться мощностью этой силы. Зачем тогда городить огород?

В статике также кроме зарядов присутствует электрическое поле, но закон Кулона подчиняется третьему закону Ньютона.

В статике импульс электромагнитного поля равен нулю. В динамике это не так. По этой причине суммарный импульс одних лишь зарядов (без импульса поля) сохраняться не обязан. А это нарушение 3-го закона Ньютона.

[Беляев]

Это в нерелятивистском случае.

И я о том же. Я, альт. И пытаюсь показать, что все опыты, которые подтверждают релятивистское уравнение движения:
\[  \frac{d}{dt}  \frac{m\vec v }{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = \vec f  \]
 автоматически доказывают и классическое уравнение движение:
\[ \ m \frac{\ d \vec v}{\ d t} = [\vec f - \frac{ \vec v}{c^2}  (\vec v \vec f) ] \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} \]
Следовательно опыты которые якобы доказывают СТО не противоречат классической физике и поэтому ничего не доказывают. Классическая физика может решать релятивистские задачи, не смотря на то, что официальная физика говорит, что это не область ее применения .

Беда только в том, что \(\mathbf{F}_{e’e}\mathbf{v}\) не будет являться мощностью этой силы. Зачем тогда городить огород?

То, что \(\mathbf{F}_{e’e}\mathbf{v}\), есть мощность, подтверждается тем, что результаты классических расчетов с использованием этой силы совпадают с результатами релятивистских расчетов.

В статике импульс электромагнитного поля равен нулю. В динамике это не так. По этой причине суммарный импульс одних лишь зарядов (без импульса поля) сохраняться не обязан. А это нарушение 3-го закона Ньютона.

Но ведь не нарушается, см. название темы и внимательней конец поясненения к ней.

[tory]

При чем здесь преобразования начальных условий?
Какая разница в том, какую калибровку использовать для получения мощности излучения диполя? Эта мощность выражается через напряженности полей \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\), которые никак не зависят от калибровки потенциалов.

Говорить о ЕДИНСТВЕННОСТИ решения волнового уравнения и игнорировать НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ это отсутствие математической культуры. Увы! Изменение начальных условий влечет за собой и изменение решения!
А вы строго математически докажите, что в калибровке Лоренца и кулоновской для диполя Герца "мощность выражается через напряженности полей \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\), которые никак не зависят от калибровки потенциалов"
До сих пор такого доказательства нет, как нет и решения задачи о диполе Герца в кулоновской калибровке. И не кивайте на АВТОРИТЕТЫ (которые что-то об этом говорят или пишут). Они тоже ленивые, списывают друг у друга и не хотят лишней работы.

[meandr]

К стати, вы знаете, что решение задачи об излучении диполя Герца существует и имеется в учебниках. Оно дается в рамках калибровки Лоренца. Но вы нигде не найдете решение этой задачи в кулоновской калибровке! Ни в одном учебнике! Это следствие.

Вы мне начинаете нравиться.
Но знаний все-равно маловато.
В учебниках этого может и не быть, зато "Теор. физика и астрофизика. Дополнительные главы" В. Гинзбурга прямо с кулоновской калибровки и начинаются (вместе с применением гамильтониана вместо лагранжиана).
И на основе этого в качестве примера на с.27. расписано поле осциллятора.
Правда, придется во всем этом основательно покопаться, чтобы понять, что там действительно кулоновская калибровка присутствует.
Читайте дополнительную литературу!

[meandr]

Беляев, я не пойму, Вы все еще настаиваете на том, что 3=й закон Ньютона без запозданий работает в оба конца в случае ПРОИЗВОЛЬНОГО движения (т.е. и ускоренного), или согласны с Дробышевым в том, что это только при движении квазистатическом (я бы уточнил - инерционном - прямолинейном равномерном)?
Если именно в последнем случае, то о чем тут спор? - он и у релятивистов работает.
А если в произвольном, то я не смогу Вас поддержать при всем желании, хотя стоим мы совсем рядом.

[tory]

Вы мне начинаете нравиться.
Но знаний все-равно маловато.
В учебниках этого может и не быть, зато "Теор. физика и астрофизика. Дополнительные главы" В. Гинзбурга прямо с кулоновской калибровки и начинаются (вместе с применением гамильтониана вместо лагранжиана).
И на основе этого в качестве примера на с.27. расписано поле осциллятора.
Правда, придется во всем этом основательно покопаться, чтобы понять, что там действительно кулоновская калибровка присутствует.
Читайте дополнительную литературу!

Выбросьте Гинзбурга. Читайте ЭЛЕКТРОДИНАМИКУ Джексона. Она лучше написана.
И еще. Гамильтонов формализм связан с лагранжевым.

[Дробышев]

А вы строго математически докажите, что в калибровке Лоренца и кулоновской для диполя Герца "мощность выражается через напряженности полей \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\), которые никак не зависят от калибровки потенциалов"
До сих пор такого доказательства нет, как нет и решения задачи о диполе Герца в кулоновской калибровке.

То, что полная мощность излучения \(I\) системы зарядов определяется через \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\), понятно из формулы

\(\displaystyle I=\oint \mathbf{S}d\mathbf{f}\),

где интегрирование проводится по замкнутой поверхности, окружающей систему зарядов, а вектор Умова-Пойнтинга \(\displaystyle\mathbf{S}=\frac{c}{4\pi}\mathbf{E}\times\mathbf{B}\) выражается как раз таки через поля \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\), создаваемые системой зарядов на этой поверхности. Ясно также, что напряженности \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\) выражаются через потенциалы \(\mathbf{A}\) и \(\varphi\), но эти напряженности "нечувствительны" к каким угодно калибровочным преобразованиям потенциалов.

Другое дело записать явные выражения для потенциалов \(\mathbf{A}\) и \(\varphi\) вибратора Герца один раз в калибровке Лоренца, а другой раз - в калибровке Кулона. Здесь потребуются некоторые расчеты. Но заранее ясно, что в обоих случаях как \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\), так и полная мощность \(I\) получатся одинаковыми (см. предыдущий абзац).

[Дробышев]

пытаюсь показать, что все опыты, которые подтверждают релятивистское уравнение движения:
\[  \frac{d}{dt}  \frac{m\vec v }{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = \vec f  \]
 автоматически доказывают и классическое уравнение движение:
\[ \ m \frac{\ d \vec v}{\ d t} = [\vec f - \frac{ \vec v}{c^2}  (\vec v \vec f) ] \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} \]

Это и не удивительно, поскольку второе уравнение следует из первого. Непонятно только, почему Вы второе уравнение называете классическим, если оно эквивалентно первому (релятивистскому). Лишь только по виду его левой части? Весьма странный способ классификации уравнений.

Следовательно опыты которые якобы доказывают СТО не противоречат классической физике и поэтому ничего не доказывают. Классическая физика может решать релятивистские задачи, не смотря на то, что официальная физика говорит, что это не область ее применения.

Вы не правы. Можно сколько угодно переписывать уравнение движения
\[  \frac{d}{dt}  \frac{m\vec v }{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = \vec f  \]
в различных эквивалентных формах, но релятивистские эффекты от этого не улетучатся.

[Дробышев]

То, что \(\mathbf{F}_{e’e}\mathbf{v}\), есть мощность, подтверждается тем, что результаты классических расчетов с использованием этой силы совпадают с результатами релятивистских расчетов.

А Вы проверьте это "в лоб", скалярно перемножая векторы \(\mathbf{F}_{e’e}\) и \(\mathbf{v}\). Ведь сделать это нетрудно - у Вас есть выражение для \(\mathbf{F}_{e’e}\) в явном виде. Получится ли при этом мощность, т.е. скорость изменения кинетической энергии?

[Беляев]

Это и не удивительно, поскольку второе уравнение следует из первого. Непонятно только, почему Вы второе уравнение называете классическим, если оно эквивалентно первому (релятивистскому). Лишь только по виду его левой части?

Вы хорошо знаете, что в мире все относительно и поэтому я и первое уравнение
\[  \frac{d}{dt}  \frac{m\vec v }{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = \vec f  \]
 могу назвать другой формой записи классического уравнения номер два. Назначение его- в некоторых случаях упрощать вычисления. Что-то наподобие уравнения Лагранжа.

Весьма странный способ классификации уравнений. Лишь только по виду его левой части?

А Вы знаете другой? Расскажите.

Вы не правы. Можно сколько угодно переписывать уравнение движения
\[  \frac{d}{dt}  \frac{m\vec v }{\sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}}} = \vec f  \]
в различных эквивалентных формах, но релятивистские эффекты от этого не улетучатся.

 Релятивистские эффекты не улетучатся, но объяснить их с позиций Ньютоновской физики возможно и именно используя второе уравнение.
\[ \ m \frac{\ d \vec v}{\ d t} = [\vec f - \frac{ \vec v}{c^2}  (\vec v \vec f) ] \sqrt {1-\frac{v^2}{c^2}} \]

А Вы проверьте это "в лоб", скалярно перемножая векторы \(\mathbf{F}_{e’e}\) и \(\mathbf{v}\). Ведь сделать это нетрудно - у Вас есть выражение для \(\mathbf{F}_{e’e}\) в явном виде. Получится ли при этом мощность, т.е. скорость изменения кинетической энергии?

А Вы попробуйте в релятивистском уравнении правую часть помножить скалярно на вектор \(\mathbf{v}\). Получите Вы скорость изменения кинетической энергии?

Ps.  Четыре дня меня не будет.

[Дробышев]

А Вы попробуйте в релятивистском уравнении правую часть помножить скалярно на вектор \(\mathbf{v}\). Получите Вы скорость изменения кинетической энергии?

Конечно. После умножения на \(\mathbf{v}\) в левой части уравнения получится скорость изменения со временем кинетической энергии \(T=mc^2/\sqrt{1-v^2/c^2}-mc^2\). Или просто энергии \(E=mc^2/\sqrt{1-v^2/c^2}\). Вывод можно найти в любой книжке, поэтому его не воспроизвожу.

[meandr]

Формула Дарвина получается из общего выражения для функции Лагранжа точечного заряда \(e_1\) в электромагнитном поле с потенциалами \(\varphi\) и \(\mathbf{A}\):

\(\displaystyle L=-m_1c^2\sqrt{1-\frac{v_1^2}{c^2}}-e_1\varphi+\frac{e_1}{c}\mathbf{A}\mathbf{v}_1\),    (3)

пригодного на все случаи жизни. В рассматриваемом случае \(\varphi\) и \(\mathbf{A}\) - потенциалы поля, создаваемого вторым точечным зарядом \(e_2\). При этом выражение (3) - результат не только общих теоретических соображений, таких, как требование лоренц-инвариантности действия, но и в значительной степени результат опытных данных (сила Лоренца).

Пока Беляев отсутствует, давайте побеседуем без него.

1. Не знаю путем каких таких "тождественных преобразований" Беляев вслед за Логуновым получает из рел.уравнения движения уравнение в "квазиклассическом" виде - сам я не разбирался. Скорее всего, преобразования Логунова релятивистские, а Белов, не разобравшись, просто сослался на результат с подходящим названием "квазиклассический".

2. У Вас Функция Лагранжа (3) УЖЕ релятивистская потому, КАК в ней появился релятивистский корень.
Я не говорю, что его не должно быть - этот вопрос еще впереди.
Я отмечаю, что в дорелятивистской трактовке его не было, а другого метода появления такого корня, кроме релятивистского, пока не придумали.
ПОэтому, если писать какую-то формулу, исходную как для классики, так и для релятивизма, то первое слагаемое стоит записать в общем виде как некоторый "механический" лагранжиан частицы Lm, не раскрывая его конкретного вида, который зависит от последующей теории:
\(\displaystyle L=L_m-e_1\varphi+\frac{e_1}{c}\mathbf{A}\mathbf{v}_1\),    (3.1)

3. Это выражение не инвариантно к смене системы отсчета, поскольку присутствует только скорость заряда в данной системе (не инвариантная). Инвариантное выражение должно содержать либо скорость, относительную к другим объектам, учтенным в выражении, либо системную скорость всех этих объектов - имеется в виду электрическое и магнитное поле, поскольку они, обладая энергией, являются ПОЛНОПРАВНЫМИ физическими объектами, в т.ч. должны иметь собственную системную скорость, что общепринятая теория отрицает. Например, отрицает движение магнитного поля постоянного магнита вместе с самим магнитом, позволяя только изменение поля во времени.

Также к такому неинвариантному выражению требуется обязательное приложение в виде правил преобразования полей и скоростей, которые пока в непротиворечивом виде признаны только за релятивизмом.
Вы сами пишете:

\(\varphi\) и \(\mathbf{A}\) - потенциалы поля, создаваемого вторым точечным зарядом \(e_2\).

Понятно, когда другой заряд движется, Вы добавляете в его эл. поле добавку -dA/dt и прибавляете магнитное rot A - это еще до релятивизма было.
А когда первый заряд находится в поле магнита, движущегося со скоростью u (тем более когда заряд неподвижен в выбранной системе)?
Тут одной добавкой -dA/dt не обходится - появляется еще и скалярный потенциал uA - вот этого до релятивизма не было, и пока иначе как в релятивистской трактовке (через градиентную инвариантность) не признается.
С таких стартовых позиций конечно же некуда прийти, кроме как опять к релятивизму - круг замыкается и становится безысходным.
Кто не верит, может сам попробовать пройти Тест на релятивизм.

Мои же альтернативные предложения - ввести в употребление скорость поля и скорость заряда относительно поля -  принимаются в штыки как релятивистами (это понятно), так и альтернативной братией - вот это обидно.
А всего-то делов - пойти от уравнения:
\(\displaystyle L=L_m-e_1\varphi+\frac{e_1}{2c}\mathbf{A}(\mathbf{v}_1-\mathbf{u})\),
где u - скорость поля с его источником.
Для начала, в случае инерционного движения (в этой теме подразумевается как квазистатический процесс), это работает без релятивизма.

[meandr]

Добавлю насчет тезиса, распространенного как среди релятивистов, так и в альтернативе:

При этом выражение (3) - результат не только общих теоретических соображений, таких, как требование лоренц-инвариантности действия, но и в значительной степени результат опытных данных (сила Лоренца).

Известное уравнение силы Лоренца
F=q(E+[v_q x B])
даже во время Лоренца НЕ ОПИСЫВАЛО ВСЕ опытные данные даже в дорелятивистском случае v<<c - в этом любой также может убедиться , пройдя Тест на релятивизм.
Если бы Лоренц не увлекся идеей своих преобразований, а обратил бы внимание на этот факт и поискал бы его описание в классических рамках - все действительно могло бы пойти по-другому пути. Но он этого не сделал, поэтому сейчас совершенно не принципиален вопрос - списывал Эйнштейн у Лоренца, или нет - оба писали об одной релятивистской кошке на одном релятивистском языке.

Сейчас на это внимания никто обращать не хочет - ни ортодоксы (это понятно), ни альтернативная братия (а это прискорбно).