Начну выкладывать решение. Не для Дубровского с его нулевыми познаниями в СТО, и не столько для спецов (они и без меня могут решить задачу, возможно, несколько по-другому), сколько для остальных интересующихся.
Предполагется, что дополнительные условия (те же, что и у Аида), перечисленные здесь
http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=272026.msg3040823#msg3040823соблюдены. Ускорение при разгоне \(a=78{,}48\) м/с
2, время разгона \(t_1=44\) сут. Тогда \(\kappa\equiv a t_1/c=0{,}995187\). Путь за время разгона при нулевой начальной скорости
\(\displaystyle l_1=\frac{c^2}{a}(\sqrt{1+\kappa^2}-1)=18{,}1632\) св. сут
(гиперболическое движение!), а скорость в конце разгона
\(\displaystyle v=\frac{a t_1}{\sqrt{1+\kappa^2}}=0{,}7054 c\).
Далее звездолет \(t_2=60\) сут движется по инерции, проходя путь
\(l_2=v t_2=42{,}324\) св. сут.
Итак, за первые \(t=t_1+t_2=104\equiv t^{(1)}\) суток звездолет удаляется от Солнца на расстояние \(l=l_1+l_2=60{,}4872\equiv l^{(1)}\) св. сут. При этом скорость отходов \(v=0{,}7054 c\).
Далее цикл "разгон" - "движение по инерции" повторяется в ИСО отходов. В этой ИСО звездолет за \(t=104\) сут проходит то же расстояние \(l\), приобретая скорость \(v\). Таким образом, скорость звездолета после второго разгона относительно Солнца (она же скорость флажка) составляет
\(\displaystyle v_2=\frac{v+v}{1+v\cdot v/c^2}=0{,}942047 c\).
Аналогично, скорость звездолета после третьего разгона
\(\displaystyle v_3=\frac{v_2+v}{1+v_2\cdot v/c^2}=0{,}989743 c\).
В ИСО Солнца второй цикл "разгон" - "движение по инерции" займет время \(t^{(2)}\), а звездолет пролетит расстояние \(l^{(2)}\), при этом согласно преобразованиям Лоренца
\(\displaystyle t^{(2)}=\frac{t+v l/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=206{,}92\text{ сут}, \qquad l^{(2)}=\frac{l+vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=188{,}84\text{ св. сут.}\)
Аналогично, в ИСО Солнца третий разгон займет время \(t^{(3)}\), а звездолет пролетит расстояние \(l^{(3)}\), при этом
\(\displaystyle t^{(3)}=\frac{t_1+v_2 l_1/c^2}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=182{,}158\text{ сут}, \qquad l^{(3)}=\frac{l_1+v_2 t_1}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}}=177{,}695\text{ св. сут.}\)
Итак, в ИСО Солнца третий разгон заканчивается в момент времени \(t_{123}=t^{(1)}+t^{(2)}+t^{(3)}=1{,}34998\) лет, а звездолет при этом пролетает \(l_{123}=l^{(1)}+l^{(2)}+l^{(3)}=1{,}16911\) св. лет. Оставшееся расстояние до Бетельгейзе \(l^{(4)}=570-l_{123}=568{,}83089\) св. лет звездолет пролетает по инерции со скоростью \(v_3\) за время \(t^{(4)}=l^{(4)}/v_3=574{,}7258\) лет. Следовательно, до Бетельгейзе он долетает за \(t_{123}+t^{(4)}=576{,}08\) лет.
Сигнал с Бетельгейзе добирается до Солнца за 570 лет, и он будет принят через \(576{,}08+570=1146{,}08\) лет после старта звездолета.
