Первая фатальная ошибка математики - неопределенный интеграл

[МаленькийГном]

По другому можно сказать, что ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ - есть ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, верхним и нижним пределами которого являются два произвольно выбранных значения аргумента.

Этот ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ можно представить в виде суммы нескольких определенных интегралов по известному правилу.

Эти определенные интегралы будут являться ЧАСТЯМИ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ.

Один из этих ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ можно обозвать словосочетанием "ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ ПРИРАЩЕНИЯ" функции.

Покажите на примере. Пусть \(f(x)=\sin(x)\).
На вашей картинке отрезок \([DE]\) (точнее, его длина) и будет линейной частью приращения (точнее, его значением для конкретного приращения аргумента).
Ну и что?

[МаленькийГном]

Приращение функции - это следствие изменения значения аргумента. То есть при одном произвольном значении аргумента функция имеет одно значение. При другом произвольном значении аргумента функция имеет другое значение.

Разность этих значений функции и есть ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. Это ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ по формцле основной теоремы матанализа есть выражение, названное формулой Ньютона-Лейбница.

Неправильно. Приращение определяется для произвольной функции. Но что бы применить формулу Ньютона-Лейбница \(f(b)-f(a)=\int_{a}^{b} f'(x)\,dx\) производная должна быть непрерывной.
Задача восстановления функции по её производной решается достаточно сложно и в общем случае для её решения не хватает даже интеграла Лебега. Это следует из того, что существуют возрастающие функции \(f\), которые дифференцируемы почти всюду и \(f'=0\) почти всюду.

[МаленькийГном]

Я уже понял, что матан корёжит здравый смысл НЕОБРАТИМО. Понял и на примере этого сайта. Если человек принял правила "некоей игры" в абсурд, одним из принципов которой является постулат: "если геометрические построения противоречат моим абстрактным построениям, то прав я, а геометрия ошибается". То "точка невозврата" пройдена.
Вы не хотите вникать в геометрический чертеж. Вернее, вы УЖЕ НЕСПОСОБНЫ ЭТОГО СДЕЛАТЬ. Поэтому я вам напишу простым рабоче-крестьянским языком, используя математические термины. Потому, что вы НЕ ПОНИМАЕТЕ предложений, написанных с применением здравого смысла. Так как не можете найти в них тех абсурдностей, за которые мог бы "зацепиться" ваш искореженный мозг. Итак.

На самом деле Ваши картинки не противоречат стандартным определениям математического анализа. Но Вы подгоняете нарисованное Вами под Ваши определения и получается нечто странное, вызывающее массу вопросов.

[mishin05]

Что Вы тут рассочинялись? Вы что не понимаете, что ДИФФЕРЕНЦИАЛ не может быть ЧАСТЬЮ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ? А, ну да...Вы же знаток матанализа, извините...

Я повторю фразу, составленную из слов русского языка. Если Вы, как обычно, не сможете ее понять, то это не моя вина:

ЧАСТЬЮ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ МОЖЕТ БЫТЬ ТОЛЬКО ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ. ПОЭТОМУ ДИФФЕРЕНЦИАЛ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ЧАСТЬЮ ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ.

Какая именно функция, какой именно интеграл и какой именно дифференциал не влияют на принципиальный смысл этой фразы! Возьмите самую задрыпанную функцию, самый деревянный интеграл и самый качественный дифференциал. Если хоть в одном случае эта фраза имеет смысл, то это доказательство ЛЖИВОСТИ ОПЕДЕЛЕНИЯ МАТАНА!!!

Ваши фразы, типа ДОЛЖНО БЫТЬ говорят о том, что если здравый смысл заменить идиотизмом, то это будет правильно. Понимаете?

[mishin05]

И ещё! ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА МАТАНАЛИЗА - ОСНОВА интегрального и дифференциального исчисления. Если Ваш искорёженный разум придумал что-то, что заставляет изменить или ограничить действие этой теоремы, то, уверяю Вас НЕДОМЫСЛЕННОСТЬ не в этой теореме...я Вам уже показал это на примере логарифмической функции...никакого ограничения эта формула не имеет. ОНА ОСНОВНАЯ! Ограничения должны быть у мозгов, которые придумывают чушь...

[mishin05]

ПОВТОРЮ ЕЩЕ РАЗ. Вот с чего должен НАЧИНАТЬСЯ матанализ:

Тому, что Вы написали - учат. Но это - ошибка. Учат неправильную теорию! Потому, что она противоречит основам теории и результатам опыта!

О В отличие от функции, которая показывает связь между двумя значениями двух переменных, производная этой функции показывает зависимость между двумя приращениями этих же переменных. ЭТОГО НЕТ В УЧЕБНИКАХ, но ИМЕННО ЭТО И ЕСТЬ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ!!! Все остальное: скорость изменения функции, угловой коэффициент наклона..., вектор, ковектрор и т.д. - это частные случаи использования понятия производной в конкретных частных примерах. Интегрирование - операция, обратная дифференцированию. Дифференцирование производится не над функцией, а над ее приращением. Приращение функции - математический объект, существующий независимо от операции дифференцирования, ОН СУЩЕСТВУЕТ ДО НАЧАЛА ЭТОЙ ОПЕРАЦИИ!!! Опреция дифференцирования производится в два этапа: отношение приращения функции к приращению аргумента, предел этого отношения. Поэтому интегрирование тоже заканчивается ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ - формула Ньютона-Лейбница.

\[ F'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta F(x)}{\Delta x};~~~~\Delta F(x)=\int\limits_{x_1}^{x_2} F'(x)dx,~~x_2-x_1=\Delta x. \]

 Единственный вариант получить функцию при интегрировании: нижний предел равен такому значению аргумента, при котором первообразная равна нулю. А верхний - переменный предел. Это то, что показывает ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА МАТАНАЛИЗА!!!

\[ F(x)=F(x)-0=\int\limits_{x_0}^xF'(t)dt,~~F(x_0)=0. \]

 Остальное - ошибка!!!

[mishin05]

Считать дифференциал частью приращения все-равно, что макет изделия считать его составной  частью.

Всё, что противоречит ОСНОВНОЙ теореме матанализа, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ МАТАНАЛИЗОМ! Я поставил задачу: убрать всю чушь из матанализа.

[Lons]

Приращение функции - это следствие изменения значения аргумента. То есть при одном произвольном значении аргумента функция имеет одно значение. При другом произвольном значении аргумента функция имеет другое значение.

      Прежде чем говорить о приращении, надо выбрать ФИКСИРОВАННУЮ точку X0 в области определения исходной функции F(X). После этого cтроится НОВАЯ функция P(X)= F(X)-F(X0), называемая приращением относительно значения исходной функции в фиксированной точке. Главная часть этой новой функции называется ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ исходной функции (относительно фиксированной точки). У функции F(X) имеется континуум дифференциалов. (Таким образом, построение дифференциала задаёт РАССЛОЕНИЕ.)

Считать дифференциал частью приращения все-равно, что макет изделия считать его составной частью.

Если под изделием понимать приращение, то дифференциал есть его деталь., а не макет.

[Herodotus]

Считать дифференциал частью приращения все-равно, что макет изделия считать его составной  частью.

Всё, что противоречит ОСНОВНОЙ теореме матанализа, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ МАТАНАЛИЗОМ! Я поставил задачу: убрать всю чушь из матанализа.

Тогда вы должны немедленно убраться из матанализа. 

[mishin05]

     Прежде чем говорить о приращении, надо выбрать ФИКСИРОВАННУЮ точку X0 в области определения исходной функции F(X). После этого cтроится НОВАЯ функция P(X)= F(X)-F(X0), называемая приращением относительно значения исходной функции в фиксированной точке. Главная часть этой новой функции называется ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ исходной функции (относительно фиксированной точки). У функции F(X) имеется континуум дифференциалов. (Таким образом, построение дифференциала задаёт РАССЛОЕНИЕ.)

Что вы несете? Читайте основную теорему матана. Там есть и фиксированные точки и новые переменные и другие функции. Там все это РАЗЖЕВАНО. Результат один: ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ - ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ! Если Вы придумали новую науку, противоречащую основной теореме анализа, то это не матан и Вы зашли не по адресу.

Вы хотите доказать, что ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА МАТАНАЛИЗА неверна и опровергнуть формулу Ньютона-Лейбница?! Давайте, я посмотрю!

Это же надо: чтобы оправдать бред придуманы КОНТИНУУМ и РАССЛОЕНИЕ - это легко и просто понятно, а мои слова вообще не доходят...

Вы не знаете даже определения функции. У функций нет главных частей и второстепенных, нет фиксированных точек. Это какой-то маразм...

[mishin05]

     Главная часть этой новой функции называется ДИФФЕРЕНЦИАЛОМ исходной функции (относительно фиксированной точки).

Что означает слово НАЗЫВАЕТСЯ? Кто назвал и по какой причине? Чем доказал? И Вы так просто взяли и поверили? И даже ПОНЯЛИ? Покажите мне этот ДИФФЕРЕНЦИАЛ в основной теореме анализа! Там есть все те условия, которые Вы описали.

[mishin05]

Я понял, в чем беда продолжателей развития матана. Меня натолкнула на это понимание фраза Alexpo:

Геродот прав. Вы не разобрались в теории пределов.
Объясняю специально для вас. Мы никогда не имеем одной точки.

То что  x стремится к нулю вовсе не означает, что  x  = 0. Это просто означает уменьшение  x, приближение его значения к нулю.

И определение производной, как предела при  x стремящемся к 0, просто означает, что при уменьшении  x отношение приращений стремится (приближается) к определенной величине, которая называется пределом = производной. Геометрически это соответствует тому, что секущая приближается к касательной. Соответственно тангенс угла секущей приближается к тангенсу касательной. Отсюда и вытекает, что производная будет равна этому тангенсу.


o(x) , т.е. малое по сравнению с x в формуле  y=dy+o(x) нужно для отображения того факта, что приращение не равно дифференциалу, но при x , стремящемся к нулю, y стремится к dy.

Все элементарно, и совершенно понятно. Построения лишь иллюстрируют это.

Вот он ключ к ошибкам! Люди просто не "въехали" в понятие "предел приращения, стремящегося к нулю". Здесь основное понятие "предел", а не "приращение, стремящееся к нулю". Дифференциал - это не очень-очень малое приращение, ЭТО ВООБЩЕ НЕ ПРИРАЩЕНИЕ! Это ЗАГОТОВКА к ПРИРАЩЕНИЮ! Оно меньше разницы между соседними значениями, которое может быть названо, как самое маленькое приращение. Его прибавление к значению аргумента не приводит к изменению значения функции. Алекспо выдал это непонимание тем, что ТОЧКА НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ОДНА! То есть у КАСАТЕЛЬНОЙ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ ОДНОЙ ТОЧКИ КАСАНИЯ. Я же специально видоизменил предел и показал вам, как исчезает разница между двумя значениями и СТАНОВИТСЯ ОДНО! Ну не понимаете, переспросите! Не будьте ослами. Вы просто не "догнали" этого момента. Я вам показал на гифе. Повторю еще раз: ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МЕНЬШЕ САМОГО МАЛЕНЬКОГО ПРИРАЩЕНИЯ, КОТОРОЕ ТОЛЬКО МОЖЕТ БЫТЬ! Это ПРЕДЕЛ! Это НЕ ЧАСТЬ ПРИРАЩЕНИЯ, у них несоизмеримость!

Я попробую "на пальцах" объяснить смысл дифференциала. Представьте окружность. Это не часть площади круга. Это вообще не площадь, а длина. Теперь представьте рядом еще одну окружность, лежащую рядом так, что между ними другая окружность не поместится. Если вы приверженцы теории бесконечности точек, которые можно вставить между соседними точками, тогда дальше не читайте, не имеет смысла. так вот эти две окружности тоже еще не площадь. Если вы умножите расстояние между этими окружностями на длину одной из них, то вы получите минимальное приращение площади круга. А теперь, если из этой площади "выколите" одну из этих двух окружностей, то получите дифференциал площади круга. Если теперь "укладывать" подряд эти дифференциалы, начиная, например, с точки, то, каждый раз используя длину окружности, соответствующую радиусу,т.е. на каждом последующем расстоянии от центра, используя соответствующую этому значению, окружность с толщиной, равной дифференциалу радиуса (аргумента), то в результате этого суммирования, названного интегрированием, можно получать различные значения площади круга. При построении графиков функций на самом деле производится точно такое же интегрирование, где на расстоянии от точки отсчета, названном абсциссой, строится значение функции. Результат - интеграл под графиком. А сама линия графика делит "прямоугольник Декарта" на две части в соответствии с формулой интегрирования по частям. Иногда наоборот, когда прямоугольник - константа или иной случай. Но всегда есть площадь прямоугольника - произвеление значения аргумента на соответствующее значение функции и два интеграла. Смотрите Визуализацию. Они это уже поняли.

[marcos]

Что означает слово НАЗЫВАЕТСЯ? Кто назвал и по какой причине? Чем доказал? И Вы так просто взяли и поверили? И даже ПОНЯЛИ? Покажите мне этот ДИФФЕРЕНЦИАЛ в основной теореме анализа! Там есть все те условия, которые Вы описали.

Вы все время ссылаетесь на основную теорему матана. Т.е. считаете, что она верна? Но ведь она(теорема) выведена и и доказана на основании существующих определений производной, дифференциала, интеграла. А их(определения) вы счтаете неверными. Разве так можно - определения неверные, а теорема на их основании верна?

[mishin05]

Вы все время ссылаетесь на основную теорему матана. Т.е. считаете, что она верна? Но ведь она(теорема) выведена и и доказана на основании существующих определений производной, дифференциала, интеграла. А их(определения) вы счтаете неверными. Разве так можно - определения неверные, а теорема на их основании верна?

Я повторю еще раз:

моим основанием служат:
- основная теорема матанализа;

- прямоугольник Декарта, построенный на осях;

-геометрические построения.

ВСЁ! То, о чем Вы тут написали, не соответствует действительности. Я показываю ошибки, основываясь только на этих трех источниках. Читайте эту ветку заново. Вы просто ленивы.

[Бамбарбия Киргуду]

Теперь представьте рядом еще одну окружность, лежащую рядом так, что между ними другая окружность не поместится. Если вы приверженцы теории бесконечности точек, которые можно вставить между соседними точками, тогда дальше не читайте, не имеет смысла.

Снова приходим к "Пузатости" точки. По моему ты сам ещё не определился с основными понятиями своей теории, либо ты просто дешевый мошенник, а как иначе ты с пеной у рта доказываешь что существует минимальное приращение исходя из того что существуют две точки между которыми нельзя разместить третью а люди то думают иначе. Но ты же сам определил чем ты руководствуещься в построении своей теории, а оказывается твои мутации в анализе гораздо шире и глубже чем основная теорема матанализа, и не известно что ещё завтра ты начнёшь "выдавать" из основных понятий.

ПОВТОРЮ ЕЩЕ РАЗ. Вот с чего должен НАЧИНАТЬСЯ матанализ:
Тому, что Вы написали - учат. Но это - ошибка. Учат неправильную теорию! Потому, что она противоречит основам теории и результатам опыта!

О В отличие от функции, которая показывает связь между двумя значениями двух переменных, производная этой функции показывает зависимость между двумя приращениями этих же переменных. ЭТОГО НЕТ В УЧЕБНИКАХ, но ИМЕННО ЭТО И ЕСТЬ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ!!! Все остальное: скорость изменения функции, угловой коэффициент наклона..., вектор, ковектрор и т.д. - это частные случаи использования понятия производной в конкретных частных примерах. Интегрирование - операция, обратная дифференцированию. Дифференцирование производится не над функцией, а над ее приращением. Приращение функции - математический объект, существующий независимо от операции дифференцирования, ОН СУЩЕСТВУЕТ ДО НАЧАЛА ЭТОЙ ОПЕРАЦИИ!!! Опреция дифференцирования производится в два этапа: отношение приращения функции к приращению аргумента, предел этого отношения. Поэтому интегрирование тоже заканчивается ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ - формула Ньютона-Лейбница.

F′(x)=limΔx→0ΔF(x)Δx;    ΔF(x)=∫x1x2F′(x)dx,  x2−x1=Δx.


 Единственный вариант получить функцию при интегрировании: нижний предел равен такому значению аргумента, при котором первообразная равна нулю. А верхний - переменный предел. Это то, что показывает ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА МАТАНАЛИЗА!!!

F(x)=F(x)−0=∫x0xF′(t)dt,  F(x0)=0.


 Остальное - ошибка!!!

Я так понял, что это старт-пост. Ну тогда те же вопросы:
1. исходя из каких соображений  F(x0)=0.
2. почему в примере рассматривается функция 1/t, а не какая-нибудь другая.
3. почему нижний предел равен именно 1, а не любому другому значению.
4. как тобой определяются "соседние элементы области определения"

[mishin05]

На вашей картинке отрезок \([DE]\) (точнее, его длина) и будет линейной частью приращения (точнее, его значением для конкретного приращения аргумента).
Ну и что?

Вы не внимательно смотрите чертеж. Что должен дать в результате интеграл дифференциала?...правильною...теперь посмотрите, там есть интеграл этого отрезка...

[МаленькийГном]

Вы не внимательно смотрите чертеж. Что должен дать в результате интеграл дифференциала?...правильною...теперь посмотрите, там есть интеграл этого отрезка...

1. Что такое интеграл отрезка?
2. Условие из определения дифференцируемости функции легко получатся из формулы Н.-Л. и формулы интегрирования по частям. Доказательство найдёте в первом томе Фихтенгольца, п. 311 и 318. Из выкладок, приводимых в этих пунктах следует, что линейная часть приращения это внеинтегральное слагаемое в обобщённой формуле интегрирования по частям.
3. Остаётся вопрос. Если Вы определили некоторый объект, то это не означает существование этого объекта. Покажите в каком-нибудь простом случае (например, для функции \(f(x)=x\)), что существование дифференциала аргумента в смысле Вашего определения.
4. В общем случае произвольную первообразную функции \(f\) нельзя записать в виде интеграла с переменным верхним пределом. Например, пусть \(f(x)=\sin(x)\). Тогда
    I. всякая первообразная этой функции имеет вид \(-\cos(x)+C\), \(C\) - произвольное число;
    II. \(\int\limits_{x_0}^{x} \sin(t)\,dt=-\cos(t)|_{x_0}^{x}=\cos(x_0)-\cos(x)\);
    III. если \(|C|>1\), то равенств \(\cos(x_0)-\cos(x)=-\cos(x)+C\) не может выполняться для произвольного \(x\) каким бы не было \(x_0\).
Поэтому Ваша формула не может дать общего вида первообразной.

[Herodotus]

1. Что такое интеграл отрезка?
2. Условие из определения дифференцируемости функции легко получатся из формулы Н.-Л. и формулы интегрирования по частям. Доказательство найдёте в первом томе Фихтенгольца, п. 311 и 318. Из выкладок, приводимых в этих пунктах следует, что линейная часть приращения это внеинтегральное слагаемое в обобщённой формуле интегрирования по частям.
3. Остаётся вопрос. Покажите в простом случае (например, для функции \(f(x)=x\)), что такое дифференциал аргумента в том смысле Вашего определения.
4. В общем случае произвольную первообразную функции \(f\) нельзя записать в виде интеграла с переменным верхним пределом. Например, пусть \(f(x)=\sin(x)\). Тогда
    I. всякая первообразная этой функции имеет вид \(-\cos(x)+C\), \(C\) - произвольное число;
    II. \(\int\limits_{x_0}^{x} \sin(t)\,dt=-\cos(t)|_{x_0}^{x}=\cos(x_0)-\cos(x)\);
    III. если \(|C|>1\), то равенств \(\cos(x_0)-\cos(x)=-\cos(x)+C\) не может выполняться для произвольного \(x\) каким бы не было \(x_0\).
Поэтому Ваша формула не может дать общего вида первообразной.

Ну, для комплексного х_0 может, но Мишина это не спасет.

[aid]

Что означает слово НАЗЫВАЕТСЯ? Кто назвал и по какой причине? Чем доказал? И Вы так просто взяли и поверили? И даже ПОНЯЛИ? Покажите мне этот ДИФФЕРЕНЦИАЛ в основной теореме анализа! Там есть все те условия, которые Вы описали.

Кто назвал стул стулом? Чем доказал? И Вы так просто взяли и поверили? И даже ПОНЯЛИ?

[МаленькийГном]

Ну, для комплексного х_0 может, но Мишина это не спасет.

Разумеется, на начальная задача была вещественной и уходить в комплексную плоскость без особой нужду не целесообразно. И это совсем другая задача.