Первая фатальная ошибка математики - неопределенный интеграл

[mishin05]

"Условия, налагаемые на функции, делаются источником трудностей, которых удастся избежать лишь с помощью новых исследований о самих принципах интегрального исчисления"
Томас Иоаннес Стильтес.

Фундаментальная Теорема Исчисления доказывает что:
\[ \text{1. Дифференцирование и интегрирование - есть обратные процессы:}~~ \frac{d}{dx} \int\limits_a^x f(t)~dt = f(x) \]

\[ \text{2. Как оценить определенный интеграл, используя первообразную подынтегральной функции:}~\int\limits_a^b f(t)~dt = F(b) - F(a),~~ \text{где}~ F - ~\text{первообразная}~ f ~\text{(то есть,}~ F' = f). \]

Я думаю, что этой теоремой правильная теория заканчивается.

\[ \text{Появлением неопределенного интеграла:}\int f(x)=F(x)+C~\text{ начинается ошибочная часть теории.} \] Этот интеграл взят ниоткуда, его появление ничем не оправдано и не доказано.

Если же логично продолжить Фундаментальную теорему, то:

\[ F(x)=\int \limits_{x_0}^x f(t)~dt,~~F(x_0)=0;~~~~~C=\int\limits_0^C~dt. \]
\[ \text {Если}~~f(t)=\frac{1}{t}:~~~F(x)=\int\limits_1^x f(t)dt=ln(x)=ln\left(\frac{x}{1}\right);~~~\int \limits_{t_1}^{t_2}\frac{dt}{t}=ln\left(\frac{t_2}{t_1}\right); \]


\[ F(b)-F(a)=\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{x}=ln\left(\frac{b}{a}\right);~~~\text{поэтому:}~~\int \frac{dx}{x}=ln|x|+C~~-~~ \text{ошибка}. \]

\[ \text{Еще и потому, что}~~y=F(x),~~ u=F(x)+C,~~u(x,p)=F(x)+F(p)_{p=F^{-1}(C)}; \]

\[ f(x)=F'(x)=\frac{dF(x)}{dx}; \]
\[ f(x)=\frac {\partial u(x,p)}{\partial x}=\frac{\partial (F(x)+C)}{\partial x}; \]
\[ \int\limits_{x_0}^x f(t)\partial t=F(x)+C. \]

Итак, убраны те ограничения, о которых говорил Стильтес. Пора переписывать учебники математики!

[Мастеров АВ]

Чуш какая-то.

Да оно и понятно: нынешних студентов учат математике те, к в ней нихрена не понимает.

[mishin05]

Чуш какая-то.

Да оно и понятно: нынешних студентов учат математике те, к в ней нихрена не понимает.

А в каком месте чушь? Мне почему-то кажется, что чушь здесь:



И, чтобы прикрыть эту чушь, наложили бездоказательное ограниченик на формулу Ньютона-Лейбница.

[МаленькийГном]

А в каком месте чушь? Мне почему-то кажется, что чушь здесь:



И, чтобы прикрыть эту чушь, наложили бездоказательное ограниченик на формулу Ньютона-Лейбница.

Естественно чушь. Формула Ньютона - Лейбница справедлива только в случае функции, непрерывной на отрезке интегрирования. Если отказаться от этого условия, то равенство перестаёт быть верным  и есть контрпримеры (в Демидовиче - это задача 2216).
Кроме того, из интегрируемости функции (точнее интегриуемости по Риману) следует её ограниченность на отрезке интегрирования. В Вашем примере подинтегральная функция не ограничена на  множестве \([-1,0)\cup (0,e]\).

В лучшем случае на картинке вычисляется интеграл в смысле главного значения, Но при чём здесь формула Н.-Л.?

Хочется услышать аргументированное обоснование содержимого картинок.

[МаленькийГном]

Чуш какая-то.

Да оно и понятно: нынешних студентов учат математике те, к в ней нихрена не понимает.

Не преувеличивайте

[Мастеров АВ]

А в каком месте чушь? Мне почему-то кажется, что чушь здесь:



И, чтобы прикрыть эту чушь, наложили бездоказательное ограниченик на формулу Ньютона-Лейбница.

Т.е., Вы не понимаете, что интеграл от -1 до 0 отрицательный?

Или вы не понимаете, что результат интегрирования разрывных функций (значение которых неограничено на интервале интегоирования) зависит от способа интегрирования?

Вы теоремы интегрирования почитайте.
Интегрирование каких фунеция там рассматривается?

[Мастеров АВ]

В принципе, мне ваш (критический) подход к математике нравится.
Только так и надо.
А умников (вроде меня) просто посылайте по адресу из трёх букв.

[МаленькийГном]

В принципе, мне ваш (критический) подход к математике нравится.
Только так и надо.
А умников (вроде меня) просто посылайте по адресу из трёх букв.

Я не вижу критического подхода - есть нечётко сформулированные задачи, не обоснованные утверждения и полное неуважение к оппонентам. Автор откровенно издевается над ними. И кому это надо?

[Dachnik]

Пока ничего фатального с Вами не произошло. ЛаТеХ Вы освоили, а теперь освойте и интегральное исчисление.
Вас смущает постоянная С, в то время, как в производной С не участвует.
Для начала возьмите простенькую функцию.
У = Х² + С
Нарисуйте несколько графиков этой функции при С = 0, 1,2,3
Первая производная будет одна и та же  Y`= 2X
При любом Х, прямая касательная к графику Y =  X<sup>2</sup> + С , будет идти под одним и тем же углом.
Это означает что функция Y`= 2X образует множество таких графиков, но можно сказать без определенного места жительства.
А определяется каждый график заданной постоянной С.
F(x) = F(c) + ∫_а^в2xdx
При С = 3
Х = 2
У = 3 + ∫₀²2xdx = 3 + 2² = 7
Ну а при С = 0 имеете Ваш первый график, определенный интегралом
У = ₀^х∫2xdx
Насчет разрывности, то по Риману они могут быть, но нулевыми . А у Вас вона как +- бесконечность.
Матанализ поначалу кажется скучным, но когда Вы последовательно будете его осваивать, то увидите всю красоту его логики
Каждое последующее логично исходит исключительно из предыдущего.
А когда Вы видите, что в цепочке математических (логических) построений разрывы, значит лохотронят, под нужный ответ подгоняют.
Обычно этим занимаются псевдофизики. Типа Лоренца, Максвелла и местных мудрецов.

[mishin05]

Естественно чушь. Формула Ньютона - Лейбница справедлива только в случае функции, непрерывной на отрезке интегрирования. Если отказаться от этого условия, то равенство перестаёт быть верным  и есть контрпримеры (в Демидовиче - это задача 2216).
Кроме того, из интегрируемости функции (точнее интегриуемости по Риману) следует её ограниченность на отрезке интегрирования. В Вашем примере подинтегральная функция не ограничена на  множестве \([-1,0)\cup (0,e]\).

В лучшем случае на картинке вычисляется интеграл в смысле главного значения, Но при чём здесь формула Н.-Л.?

Хочется услышать аргументированное обоснование содержимого картинок.

Я так понял, что Вы не читаете материал, который критикуете. Прочтите еще раз, я не хочу повторять то, что уже написал. Ответы на все Ваши вопросы ЕСТЬ!

[mishin05]

Т.е., Вы не понимаете, что интеграл от -1 до 0 отрицательный?

Или вы не понимаете, что результат интегрирования разрывных функций (значение которых неограничено на интервале интегоирования) зависит от способа интегрирования?

Вы теоремы интегрирования почитайте.
Интегрирование каких фунеция там рассматривается?

Та же самая беда. Вы не читаете текста, который критикуете. Диалог, в этом случае, бессмысленен.

[mishin05]

В принципе, мне ваш (критический) подход к математике нравится.
Только так и надо.
А умников (вроде меня) просто посылайте по адресу из трёх букв.

Спасибо на добром слове.

[mishin05]

Пока ничего фатального с Вами не произошло. ЛаТеХ Вы освоили, а теперь освойте и интегральное исчисление.
Вас смущает постоянная С, в то время, как в производной С не участвует.
Для начала возьмите простенькую функцию.
У = Х² + С
Нарисуйте несколько графиков этой функции при С = 0, 1,2,3
Первая производная будет одна и та же  Y`= 2X
При любом Х, прямая касательная к графику Y =  X<sup>2</sup> + С , будет идти под одним и тем же углом.
Это означает что функция Y`= 2X образует множество таких графиков, но можно сказать без определенного места жительства.
А определяется каждый график заданной постоянной С.
F(x) = F(c) + _а^в2xdx
При С = 3
Х = 2
У = 3 + ₀²2xdx = 3 + 2² = 7
Ну а при С = 0 имеете Ваш первый график, определенный интегралом
У = ₀^х2xdx
Насчет разрывности, то по Риману они могут быть, но нулевыми . А у Вас вона как +- бесконечность.
Матанализ поначалу кажется скучным, но когда Вы последовательно будете его осваивать, то увидите всю красоту его логики
Каждое последующее логично исходит исключительно из предыдущего.
А когда Вы видите, что в цепочке математических (логических) построений разрывы, значит лохотронят, под нужный ответ подгоняют.
Обычно этим занимаются псевдофизики. Типа Лоренца, Максвелла и местных мудрецов.

Почитайте здесь!

[Lons]

Насчет разрывности, то по Риману они могут быть, но нулевыми.

    Какими ещё "нулевыми"? Может, вы хотели сказать про "конечные скачкИ"?

Матанализ поначалу кажется скучным, но когда Вы последовательно будете его осваивать, то увидите всю красоту его логики
Каждое последующее логично исходит исключительно из предыдущего.
А когда Вы видите, что в цепочке математических (логических) построений разрывы, значит лохотронят, под нужный ответ подгоняют.
Обычно этим занимаются псевдофизики. Типа Лоренца, Максвелла и местных мудрецов.

      Неправомерно ставить на одну доску математику -- чисто дедуктивную дисциплину, и физику -- науку чисто индуктивную.

[mishin05]

    Какими ещё "нулевыми"? Может, вы хотели сказать про "конечные скачкИ"?
 

      Неправомерно ставить на одну доску математику -- чисто дедуктивную дисциплину, и физику -- науку чисто индуктивную.

К сожалению, Вы правы. Засилье недоумков привело науки к такому фиаско. Хотя еще Декарт предупреждал:
"И надо поверить в то, что все науки связаны между собой настолько, что гораздо легче изучать их все вместе, чем отделяя одну от другой"

[Мастеров АВ]

Та же самая беда. Вы не читаете текста, который критикуете. Диалог, в этом случае, бессмысленен.

А я крииковал?

Я предположил, что вы не понимаете, что площадь може быть отрицательной, или вы не понимаете, что интегрирование неограниченных на инервале интегрирования функций не есть тривиальная задача.

Я не вижу других проблем, с коорыми тут можно столкнуться.

[МаленькийГном]

Я так понял, что Вы не читаете материал, который критикуете. Прочтите еще раз, я не хочу повторять то, что уже написал. Ответы на все Ваши вопросы ЕСТЬ!

Я всё прочитал и у меня возникли вопросы.

Естественно чушь. Формула Ньютона - Лейбница справедлива только в случае функции, непрерывной на отрезке интегрирования. Если отказаться от этого условия, то равенство перестаёт быть верным  и есть контрпримеры (в Демидовиче - это задача 2216).
Кроме того, из интегрируемости функции (точнее интегриуемости по Риману) следует её ограниченность на отрезке интегрирования. В Вашем примере подинтегральная функция не ограничена на  множестве \([-1,0)\cup (0,e]\).

В лучшем случае на картинке вычисляется интеграл в смысле главного значения, Но при чём здесь формула Н.-Л.?

Хочется услышать аргументированное обоснование содержимого картинок.

Хотелось бы увидеть ответы.

Но для меня очевидно, что нельзя так вольно оперировать с математическими объектами.  Конфуз может случиться

[Dachnik]

Почитайте здесь!

Ну прочел. Что за ахинею несет на том форуме автор mishin05 (тезка тутошнего)

А то, такую простую величину, как угловой коэффициент касательной к графику функции, трактуют, как хотят, хотя это обыкновенное значение точки касательной, которой изображен элемент области значений производной. Факт САМ подсказывает, что такое - эта точка, нет упрямо твердят, что точка - это элемент функции, график которй строится, хотя сами же этот элемент откладывают в виде ординаты...

Уже детишки понимают, что угловой коэффициент касательной это Тангенс угла. Это dY/dX. Какая нахрен точка. Это прямая, направленная под углом к оси Х, тангенс которого dy/dx.
Опять я влип. Думал молодой, познать что хочет. Помочь хотел, а нарвался на палату №6. Во что лепит.

См. раздел "Визуализация" в англоязычной части Википедии на странице "интегрирование по частям". Они уже у меня "слямзили". Или сами доперли. Но я их пока опережаю лет на 15. В русскоязычной части этого нет, потому, что меня тут вместо того, чтоб слушать, помоями обливают. У нас так со всеми обходятся, кто чего-то достиг сам. С Вавиловым, в частности...

[Мастеров АВ]

\(\int_{-1}^e \frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(\int_{-1}^{-\delta}+\int_{\delta}^{e})\frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(ln(|\frac{-\delta}{-1}|)+ln(|\frac{e}{\delta}|))=1\)

Пусть предел (с права и слева) стремится к нулю с разной скоростью (Имеем право):

\(\int_{-1}^e \frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(\int_{-1}^{-\delta}+\int_{\delta^2}^{e})\frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(ln(|\frac{-\delta}{-1}|)+ln(|\frac{e}{\delta^2}|))=\infty\)

Т.е.: в случае разрывной и неограниченной функции резульат инегрирования зависит от пути, по которому происходи интегрирование.

[mishin05]

\(\int_{-1}^e \frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(\int_{-1}^{-\delta}+\int_{\delta}^{e})\frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(ln(|\frac{-\delta}{-1}|)+ln(|\frac{e}{\delta}|))=1\)

Пусть предел (с права и слева) стремится к нулю с разной скоростью (Имеем право):

\(\int_{-1}^e \frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(\int_{-1}^{-\delta}+\int_{\delta^2}^{e})\frac{dx}{x}=\lim_{\delta\to\infty}(ln(|\frac{-\delta}{-1}|)+ln(|\frac{e}{\delta^2}|))=\infty\)

Т.е.: в случае разрывной и неограниченной функции резульат инегрирования зависит от пути, по которому происходи интегрирование.

ОБА варианта неверные. Потому, что Вы используете шарлатанскую, подогнанную под неопределенный интеграл формулу.
Теперь используем ИСТИННУЮ формулу:
\[ \int\limits_{-1}^{e}\frac{dx}{x}=ln\left(\frac{e}{-1}\right)=ln(-e)~~-~~\text{не существует} \]

Понимаете, такой определенный интеграл ПРОСТО НЕ СУЩЕСТВУЕТ, независимо от ПУТИ!!!