Задача на применение ПЛ в векторном виде

[sergey_B_K]

Кроме этого выполняются инварианты скорости света и интервала. Не много ли для не ПЛ.

Вам было показано, что нет. Вы не слышите. Ну, не слышите...

По сути это поправка на аберрацию. В классике аберрация проще, там всегда \( \beta=0\).

Ну, какая аберрация? Это совсем из другой оперы. В классике: нет телескопа - нет аберрации. Это обусловлено конечностью распространения света при движущемся приёмнике. Причём, это эффект не относительный. Движение источника относительно приёмника описывается совсем иными формулами, чем движение самого приёмника. Так что четырёхмерный интервал здесь не имеет права на жизнь.

При вычислении координат точки в нескольких системах отсчёта необходимо делать поправку на аберрацию, чтобы точно, математически выяснить, что координаты принадлежат одной точке. 

Вы не понимаете главного, несмотря на то, что Вам уже несколько раз повторяли. Вы говорите, что у Вас нужно делать поправку на аберрацию? При операциях с векторами? Имеете ли Вы право пользоваться векторной алгеброй, если ещё нужны и поправки после сложения/умножения векторов?
Но это Ваше право не слышать и не понимать. Продираться сквозь это я просто устал.

[Ost]

\(\displaystyle atan \left(\frac{tan(\theta)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\right)-\theta \approx \frac{1}{4} \frac{V^2}{c^2} sin(2 \theta)\).

\(\displaystyle atan \left(\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}~ sin(\theta)}{cos(\theta)+\frac{V}{c}}  \right) - \theta \approx -\frac{V}{c} sin(\theta)+\frac{1}{4} \frac{V^2}{c^2} sin(2 \theta)\).

[Ost]

                          Задача на применение ПЛ в векторном виде.

Звездолёт летит относительно ИСО со скоростью \(v_p=0.8\) света.
На звездолёте вращается стержень. Скорость конца стержня \(v_e=0.9\).
Радиус конца стержня \(r_0=1\) м.
Вектор скорости звездолёта лежит в плоскости движения стержня и его угол равен
\(\beta = 30^\circ\) относительно оси \(x\) в ИСО звездолёта. Оси систем отсчёта сонаправлены.
Вычислить траекторию конца стержня в неподвижной ИСО.
Показать форму стержня при \(60^\circ \) в неподвижной ИСО.

Дополнительные обозначения:
\(\omega~-\) угловая скорость;
\(c~-\) скорость света;
\(\vec V~-\) вектор скорости звездолёта.

[Ost]

[Ost]

Стержень прямой.

Подобная задача http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=606376.msg8970121#msg8970121

[Ost]

Если убрать векторные сложности, то будет так

Преобразования Лоренца.
\(\displaystyle x=\frac{x'+V~t'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\);     \(\displaystyle t=\frac{t'+\frac{V~x'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\).   (1)

Координата точки на кадре в момент определения формы стержня будет
\(\displaystyle x_{t}=x-V~t=\frac{x'+V~t'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}-V \frac{t'+\frac{V~x'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{x'+V~t'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}- \frac{V~t'+\frac{V^2~x'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=\frac{x'-\frac{V^2~x'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}=x'~\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\).   (2)

Для координаты \(\displaystyle x= x'~\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}+V~t\), соблюдается инвариантность интервала. (3)

[Иван Горин]

Координата точки на кадре в момент определения формы стержня будет
\(\displaystyle x_{t}=x-V~t\)

Михаил, можешь пояснить геометрический смысл этой координаты?
И непонятно в какой системе отсчета взята эта координата x_t.

[Ost]

Михаил, можешь пояснить геометрический смысл этой координаты?
И непонятно в какой системе отсчета взята эта координата x_t.

\(x_t~-\) координата точки стержня на кадре в котором строится изображение стержня.
Чтобы снять кадр мы должны оказаться напротив вращающегося стержня в момент \(t\).
\(x~-\) координата точки стержня относительно покоящейся ИСО.
\(V~t~-\) расстояние на которое улетел звездолёт относительно покоящейся ИСО.

[Иван Горин]

\(x_t~-\) координата точки стержня на кадре в котором строится изображение стержня.
Чтобы снять кадр мы должны оказаться напротив вращающегося стержня в момент \(t\).
\(x~-\) координата точки стержня относительно покоящейся ИСО.
\(V~t~-\) расстояние на которое улетел звездолёт относительно покоящейся ИСО.

Без чертежа это трудно понять.

[Ost]

Без чертежа это трудно понять.

Равносильно тому, что фотографируется окно поезда, проезжающего мимо перрона.
В окне крутится стержень. Камера оператора поворачивается и следит за окном.

[Иван Горин]

Равносильно тому, что фотографируется окно поезда, проезжающего мимо перрона.
В окне крутится стержень. Камера оператора поворачивается и следит за окном.

Зачем камере оператора в неподвижной системе перрона поворачиваться.
Камера оператора делает мгновенный снимок в момент времени t.

[Ost]

Зачем камере оператора в неподвижной системе перрона поворачиваться.
Камера оператора делает мгновенный снимок в момент времени t.

Рассмотрим, например, такой вариант. Прибор со стержнем находится в поезде.
На стержне установлены лампочки, которые сигнализируют события, связанные с формой стержня.
В ИСО поезда лампочки периодически загораются, одновременно. В ИСО перрона одновременности нет, что следует из ПЛ.
Между вспышками соседних лампочек будет интервал времени за который поезд пройдёт некоторое расстояние.
В этом случае чтобы ось прибора была в центре кадра, камера должна следить за движущимся окном, тогда движение поезда не повлияет на результат сьёмки.
Поезд будет покоится в кадре. Приведённая формула и реализует такую технологию формирования изображения
и обеспечивает инвариантность интервала от координат стержня, которые образуют форму.
При мгновенной фиксации изображения мы можем увидеть только одно событие. Камера должна иметь конечную выдержку.
Естественно, возможна технология фотографирования, при которой стержень высвечивается неодновременно.
В этом случае фотография в силу неодновременности даст кривую форму вращающегося стержня.
Я считаю такую форму не корректной. Форма в СТО не должна зависеть от вращения.
Это просто посторонний эффект, который не нужен в математике СТО.

[Иван Горин]

\(\displaystyle x_{t}=x-V~t\). 

А где учет вращения стержня.
Ведь камера при съемке поворачитается с другой угловой скоростью нежели стержень в ИСО К'.

[Ost]

А где учет вращения стержня.
Ведь камера при съемке поворачивается с другой угловой скоростью нежели стержень в ИСО К'.

Их плоскости вращения ортогональные.
Плоскость вращения стержня параллельна плоскости колёс поезда.
Плоскость вращения камеры параллельна мостовой перрона.
Считаем, что камера отнесена на бесконечность.
В этом случае угловая скорость камеры стремится к нулю и не учитывается.
В K' лампочки на стержне вспыхивают на мгновение одновременно.
Мы там видим мгновенное положение стержня в некоторый момент t'.
Вращающийся стержень не отличим от покоящегося.

[Ost]

[Иван Горин]

Отлично.
Получили преобразования Галилея.
x=x'+vt
x'=x_t

[Ost]

Отлично.
Получили преобразования Галилея.
x=x'+vt
x'=x_t

Формально так, но интерпретировать \(V~t\) надо как координату покоящегося наблюдателя в момент \(t\).
Наблюдатель в покоящейся ИСО не может перемещаться со скоростью \(V\) он просто ждёт окно поезда в расчётный момент.
Или смотрит на окно поезда с большого расстояния поворачивая камеру.

[Ost]

Задача.
В контексте предыдущей задачи построить изображение непрерывно излучающего стержня в покоящейся системе.

[Иван Горин]

Задача.
В контексте предыдущей задачи построить изображение непрерывно излучающего стержня в покоящейся системе.

Предположительно получим дугу, если строго использовать ПЛ.

[Ost]

Предположительно получим дугу, если строго использовать ПЛ.

Да, изображение будет подобно этому