Задача на применение ПЛ в векторном виде

[Ost]

Звездолёт летит относительно ИСО со скоростью \(v_p=0.8\) света.
На звездолёте работает ускоритель. Электроны движутся по кругу со скоростью \(v_e=0.9\).
Радиус движения электронов \(r_0=1\) м.
Вектор скорости звездолёта лежит в плоскости орбиты электронов и его угол равен \(\beta = 30^\circ\)
относительно оси \(x\) в ИСО звездолёта. Оси систем отсчёта сонаправлены.

Вычислить скорость и траекторию электронов, которая наблюдается в покоящейся ИСО.
Привести график траектории и зависимости скорости от координаты электрона.

Дополнительные обозначения:
\(\omega~-\) угловая скорость электрона;
\(c~-\) скорость света;
\(\vec V~-\) вектор скорости звездолёта.

[Ost]

ПЛ в векторном виде

\(\displaystyle \vec r=\vec r'-\frac{(\vec V \cdot \vec r')~\vec V}{V^2}+\frac{\frac{(\vec V \cdot ~\vec r')~\vec V}{V^2}+\vec V~t'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\);    \(\displaystyle  t=\frac{t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\).

Дифференцируем

\(\displaystyle \vec dr=\vec dr'-\frac{(\vec V \cdot \vec dr')~\vec V}{V^2}+\frac{\frac{(\vec V \cdot ~\vec dr')~\vec V}{V^2}+\vec V~dt'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\);    \(\displaystyle  dt=\frac{dt'+\frac{\vec V \cdot ~\vec dr'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\).

Делим первое уравнение на второе

\(\displaystyle \vec v=\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}} \left(\vec v' - \frac{(\vec V \cdot \vec v')~\vec V}{V^2} \right)+\frac{(\vec V \cdot \vec v')~\vec V}{V^2}+ \vec V}{1+\frac{\vec V \cdot ~\vec v'}{c^2}}\) - правило сложения скорости.

Траектория электронов в ИСО звездолёта, радиус вектор. Угловая скорость равна \(\displaystyle \omega=\frac{c~v_e}{r_0}\).

\(\displaystyle \vec r'=\left[ \begin{array}{ll} r_0~cos(\omega~t') \\ r_0~sin(\omega~t') \\ 0 \end{array} \right] \).

Скорость электронов

\(\displaystyle \vec v'=\left[ \begin{array}{ll} -r_0~\omega~sin(\omega~t') \\r_0~\omega~cos(\omega~t') \\ 0 \end{array} \right] \).

Вектор скорости звездолёта

\(\displaystyle \vec V=\left[ \begin{array}{ll} c~v_p~cos(\beta) \\ c~v_p~sin(\beta) \\ 0 \end{array} \right] \).

Строим функции отображения для графиков.

Заменяем переменную \(\displaystyle t'=\frac{\alpha}{\omega}\), где \(\alpha~-\) угол между осью \(x\) и радиус вектором электрона.

Радиус вектор электрона в покоящейся, мгновенной, следящей ИСО

\(\displaystyle \vec R(\alpha)=\vec r \left(\frac{\alpha}{\omega} \right)-\vec V~t \left(\frac{\alpha}{\omega}\right)\).

Радиус вектор электрона в покоящейся ИСО

\(\displaystyle \vec S(\alpha)=\vec r \left(\frac{\alpha}{\omega} \right)\).

Угол электрона в покоящейся ИСО

\(\displaystyle \theta(\alpha)=arg(R(\alpha)_0+i~R(\alpha)_1)\), где \(R(\alpha)_k~-\) компоненты вектора.

Скорость электрона в покоящейся ИСО

\(\displaystyle \vec w(\alpha)=\frac{1}{c} \vec v \left(\frac{\alpha}{\omega} \right)\).

[Ost]

[Ost]

[sergey_B_K]

ПЛ в векторном виде

\(\displaystyle \vec r=\vec r'-\frac{(\vec V \cdot \vec r')~\vec V}{V^2}+\frac{\frac{(\vec V \cdot ~\vec r')~\vec V}{V^2}+\vec V~t'}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\);    \(\displaystyle  t=\frac{t'+\frac{\vec V \cdot ~\vec r'}{c^2}}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}\).

Так... Смотрим. Предположим \( \vec r' \bot \vec V\ \).  понятно, что при скорости, направленной вдоль х, это ось y'. При этом скалярные произведения в формулах обнуляются. Остаётся
\[ \vec r = \vec r' + \frac{{\vec Vt'}}{{\sqrt {1 - V^2 /c^2 } }}\ \]
Но это уже не ПЛ. Трансформируется не только ось х, но и ось у. И скорость
\[ c = \frac{{\Delta y}}{{\Delta t}} \ne \frac{{\Delta y'}}{{\Delta t'}} = c'\ \]
Уходят постулаты релятивизма и всё подвисает.

[Rishi]

Уходят постулаты релятивизма и всё подвисает.

и виноват во всём Лоренц, потому что подсказанная им инвариантность уравнений является математической приблудой и никакого физического содержания не имеет.

[sergey_B_K]

и виноват во всём Лоренц, потому что подсказанная им инвариантность уравнений является математической приблудой и никакого физического содержания не имеет.

И  то верно. Вырвали вместе с путаником Пуанкаре формулы из физического процесса, искорёжили и за великое открытие выдали. На деле же один бурелом. Ну, а Эйнштейн с Минковским и ватагой полуграмотных релятивистов это подхватили и присвоили. 

[Ost]

Так... Смотрим. Предположим \( \vec r' \bot \vec V\ \).  понятно, что при скорости, направленной вдоль х, это ось y'. При этом скалярные произведения в формулах обнуляются. Остаётся
\[ \vec r = \vec r' + \frac{{\vec Vt'}}{{\sqrt {1 - V^2 /c^2 } }}\ \]
Но это уже не ПЛ. Трансформируется не только ось х, но и ось у. И скорость
\[ c = \frac{{\Delta y}}{{\Delta t}} \ne \frac{{\Delta y'}}{{\Delta t'}} = c'\ \]
Уходят постулаты релятивизма и всё подвисает.

Но это уже не ПЛ.

Вы их не узнали в векторной записи

Оси y и z не трансформируются.

, похоже на (1)?

И скорость
\[ c = \frac{{\Delta y}}{{\Delta t}} \ne \frac{{\Delta y'}}{{\Delta t'}} = c'\ \]
Уходят постулаты релятивизма и всё подвисает.

Утверждение не верное. Легко проверяется подстановкой векторов в формулу скорости.

[sergey_B_K]

Вы их не узнали в векторной записи

Вы хотите сказать, что у Вас \( \vec r' \cdot \vec V\ \) не скалярное произведение? Если скалярное, то оно обращается в ноль при взаимной перпендикулярности векторов.  Тут и узнавать нечего, имхо.

[sergey_B_K]

Вы их не узнали в векторной записи
Оси y и z не трансформируются.

Рассказываю более подробно. Если \( \vec r' \bot \vec V\ \) и скорость направлена вдоль оси х, то
\[ \vec V = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {V_x }  \\
   0  \\
   0  \\
\end{array}} \right)\,\,\,;\,\,\,\,\vec r' = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0  \\
   {y'_1 }  \\
   0  \\
\end{array}} \right)\,\,\,;\,\,\,\,\vec r' \cdot \vec V = 0\,\,.\
 \]

[Ost]

Вы хотите сказать, что у Вас \( \vec r' \cdot \vec V\ \) не скалярное произведение? Если скалярное, то оно обращается в ноль при взаимной перпендикулярности векторов.  Тут и узнавать нечего, имхо.

Скалярное, в соответствии с определением \(\vec V \cdot \vec r_1 = x_1~V_x+y_1~V_y+z_1~V_z\) и в вашем случае обращается в 0.

[Ost]

Рассказываю более подробно. Если \( \vec r' \bot \vec V\ \) и скорость направлена вдоль оси х, то
\[ \vec V = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   {V_x }  \\
   0  \\
   0  \\
\end{array}} \right)\,\,\,;\,\,\,\,\vec r' = \left( {\begin{array}{*{20}c}
   0  \\
   {y'_1 }  \\
   0  \\
\end{array}} \right)\,\,\,;\,\,\,\,\vec r' \cdot \vec V = 0\,\,.\
 \]

Подставьте в формулы \(z_1=0\).  Это ничего не изменит в выводах.

[sergey_B_K]

Подставьте в формулы \(z_1=0\).  Это ничего не изменит в выводах.

И z' и x' если радиус-вектор по у'.

[Ost]

И z' и x' если радиус-вектор по у'.

В формуле (2) \(x_1=0\).
\(z_1\) можно не обнулять, так как при \(V_z=0\), не влияет на скалярное произведение.
формула (1) более общая для сравнения.

[sergey_B_K]

В формуле (2) \(x_1=0\).
\(z_1\) можно не обнулять, так как при \(V_z=0\), не влияет на скалярное произведение.
формула (1) более общая для сравнения.

Если в собственной ИСО движение по оси у, то нужно, обязательно.

[Ost]

Если в собственной ИСО движение по оси у, то нужно, обязательно.

Да, но это не влияет на вывод, что формула (2), есть частный случай ПЛ при ваших условиях.

[sergey_B_K]

Да, но это не влияет на вывод, что формула (2), есть частный случай ПЛ при ваших условиях.

Всё общее состоит из частного, а если в частном пробой, то и общее не стыкуется. Тем более, что Вы не сравните свою формулу с ПЛ при движении под углом, поскольку там в ПЛ вообще однозначности решения нет.
О неоднозначности преобразований между инерциальными системами отсчета в релятивистском формализме
К тому же, из-за этого частного нарушается изотропность распространения света, оси Вы тоже не сможете совместить, как заявляют релятивисты. Ведь в трёх измерениях работаем. и если в одной ИСО луч распространяется вертикально, а в другой нет, то и постулата равноправности ИСО тоже нет, а без этого нет ПЛ хоть по Лоренцу, хоть по Эйнштейну.

[Ost]

Всё общее состоит из частного, а если в частном пробой, то и общее не стыкуется. Тем более, что Вы не сравните свою формулу с ПЛ при движении под углом, поскольку там в ПЛ вообще однозначности решения нет.
О неоднозначности преобразований между инерциальными системами отсчета в релятивистском формализме

Всё общее состоит из частного, а если в частном пробой, то и общее не стыкуется.

Нет там пробоя.
Подстановка в общую формулу векторов, у которых часть компонент нулевые, просто преобразует её к частному случаю.
В нашем случае это ПЛ (1) и Ваша формула (2).

Тем более, что Вы не сравните свою формулу с ПЛ при движении под углом, поскольку там в ПЛ вообще однозначности решения нет.

Сравню с помощью поворота системы отсчёта.

О неоднозначности преобразований между инерциальными системами отсчета в релятивистском формализме
Будет время прочитаю.

 

[sergey_B_K]

Нет там пробоя.
Подстановка в общую формулу векторов, у которых часть компонент нулевые, просто преобразует её к частному случаю.
В нашем случае это ПЛ (1) и Ваша формула (2).Сравню с помощью поворота системы отсчёта.

Не сравните, поскольку ПЛ не коммутативны при поворотах и это описано в статье, которую Вы только собираетесь просмотреть, но выводы у Вас уже готовы. Пытаться же делать вид, что король не голый, или что нет дырки на обоях, - не конструктивно... 

[Ost]

Не сравните, поскольку ПЛ не коммутативны при поворотах и это описано в статье, которую Вы только собираетесь просмотреть, но выводы у Вас уже готовы. Пытаться же делать вид, что король не голый, или что нет дырки на обоях, - не конструктивно... 

Всегда можно найти последовательность поворотов которые совместят оси систем отсчёта.
После обратных преобразований координаты событий не изменяются.