Расчёт гидродинамики тонкого профиля в виде дуги окружности в идеальной среде

[Ost]

Рисунок Монина Ильи.


Рисунок 1

Для расчёта гидродинамики применяем метод конформного преобразования.

\(\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(\zeta+\frac{a^2}{\zeta}\right)\)  \((1)\) .

Эта функция комплексного переменного. Она отображает окружность на профиль крыла.
Форма профиля зависит от параметров окружности.



Вычисляем связь между параметрами окружности и параметрами профиля.



Из рисунка 6 можно записать два уравнения, которые определяют тонкий профиль.

\(a^2=\xi^2+\eta^2\)

\(R^2=\xi^2+(\eta - f)^2\)

Решаем эту систему уравнений при \(\eta=0\), вычисляем условие пересечения окружностей в точках \(A\) и \(B\).

[Ost]

\(a^2=\xi^2\);

\(R^2=\xi^2+ f^2\);

\(R=\sqrt{a^2+ f^2}\).

Из рис. 1 можно записать

\(y_0=0.2~м~\) - разность высот между передней и задней кромкой профиля;

\(x_0=1~м~\) - проекция профиля на ось x.

Угол атаки относительно хорды равен \(\displaystyle \alpha=atan \left(\frac{y_0}{x_0}\right)= 11.309932^\circ\).

[Ost]

Введём обозначение

\(\mu= i~f\)

Запишем координаты окружности определяющей гидродинамику

\(\zeta (\theta)= R~e^{i~\theta}+ \mu\).

Преобразуем к расчётному профилю.

\(\displaystyle z(\theta,a,f)=\frac{1}{2}\left(R~e^{i~\theta}+ \mu+\frac{a^2}{R~e^{i~\theta}+ \mu}\right)\);

\(\displaystyle dz(\theta,a,f)=\frac{d}{d \theta} \left(\frac{1}{2}\left(R~e^{i~\theta}+ \mu+\frac{a^2}{R~e^{i~\theta}+ \mu}\right) \right)\).

[Ost]

Решаем систему уравнений относительно \(a\), \(f\) и \(\alpha\) (угол \(\alpha\) вычисляем для контроля)

\( \left\{ \begin{array}{ll}
 \displaystyle z(0,a,f) - z(\pi,a,f)= (x_0 + i~y_0)~e^{-i~\alpha}\\
 \left|arg(dz(0,a,f)~e^{i~\alpha})\right|=\pi\\
\end{array} \right.\)

\(\displaystyle \alpha=11.309932^\circ\);

\(a=0.512371~м\);

\(f=0.050985~м\);

\(R=\sqrt{a^2+ f^2}=0.514901~м\).

\(b=2a=1.024742~м~-\) хорда.

\(\displaystyle V_0=70~\frac{м}{с}~-\) скорость потока.

...

[Ost]

рис. 7

[Ost]

Комплексный потенциал течения вокруг круга, расположенного в центре системы координат

\(\displaystyle f(\zeta)=-V_0 \left(\zeta+\frac{R^2}{\zeta}\right)-\frac{i~\Gamma}{2 \pi}~ln(\zeta)\)   \((2)\), где \(V_0~-\) скорость потока; \(\Gamma~-\) циркуляция вокруг круга.

Переходим в систему координат с углом атаки \(\alpha\) и смещением \(\mu\);     \(\displaystyle \zeta=(\zeta_1-\mu)~e^{i~\alpha}\).

В этой системе координат потенциал \((2)\) с точностью до постоянной запишется так

\(\displaystyle f(\zeta)=-V_0 \left(\zeta~e^{i~\alpha}+\frac{R^2~e^{-i~\alpha}}{\zeta-\mu}\right)-\frac{i~\Gamma}{2 \pi}~ln(\zeta-\mu)\).

Произвольная постоянная не влияет на построение линий тока и дифференцирование потенциала.

В полярной системе координат

\(\displaystyle f(r,\theta)=-V_0 \left(r~e^{i~\theta}~e^{i~\alpha}+\frac{R^2~e^{-i~\alpha}}{r~e^{i~\theta}-\mu}\right)-\frac{i~\Gamma}{2 \pi}~ln(r~e^{i~\theta}-\mu)\).

[Ost]

рис. 8

Код построения рис. 8


рис. 9

[mpn2]

И какой вывод из всего того что вы написали?

[Ost]

И какой вывод из всего того что вы написали?

Не всё написано и рано подводить итог.
Но некоторые выводы можно сделать уже сейчас.
Например, течение вокруг тонкого профиля значительно более сложное, чем предполагает Илья.
При реальном вязком потоке и наличии толщины у профиля, геометрия течения в деталях будет отличаться от геометрии линий тока,
изображенной на рис. 8, но эти отличия будут заметно меньше, чем в случаи рисунка Ильи.

[mpn2]

Например, течение вокруг тонкого профиля значительно более сложное, чем предполагает Илья.

-----------------------------------------
Скажите! А вы понимаете что во время реального полета самолета или плоской пластины или изогнутой пластины - никакого течения воздуха НЕТ?
Вы понимаете что по факту воздух стоит на одном месте с нулевой скоростью относительно Земли (ветер не учитываем, берем штиль.)
Вы что хотите внушить себе и окружающим: что воздух, который стоит с нулевой скоростью может стоять с нулевой скоростью "значительно более сложно"? 

[Ost]

-----------------------------------------
Скажите! А вы понимаете что во время реального полета самолета или плоской пластины или изогнутой пластины - никакого течения воздуха НЕТ?
Вы понимаете что по факту воздух стоит на одном месте с нулевой скоростью относительно Земли (ветер не учитываем, берем штиль.)
Вы что хотите внушить себе и окружающим: что воздух, который стоит с нулевой скоростью может стоять с нулевой скоростью "значительно более сложно"?

Воздух не стоит с нулевой скоростью на одном месте, так как в системе отсчёта земли, относительно которой воздух покоится, воздух над крылом
совершает колебательные движения, как по вертикали так и по горизонтали, а значит уже не покоится.
Воздух вынужден двигаться по вертикали, так как обходит крыло и приобретает скорость по горизонтали.

[mpn2]

Воздух вынужден двигаться по вертикали, так как обходит крыло и приобретать скорость по горизонтали.

-----------------------------------------
А не могли бы вы мне нарисовать, как воздух обходит крыло и приобретает скорость по горизонтали (например над крылом)? Поверьте мне очень будет интересно посмотреть то, что вам удасца нарисовать!

[Ost]

-----------------------------------------
А не могли бы вы мне нарисовать, как воздух обходит крыло и приобретает скорость по горизонтали (например над крылом)? Поверьте мне очень будет интересно посмотреть то, что вам удасца нарисовать!

Зачем рисовать. Достаточно простого опыта.
Возьмите предмет на ниточке и протащите его под ковром, который покоится относительно земли.
По ковру побежит волна. С воздухом аналогично, воздух смещается по вертикали.

[mpn2]

По ковру побежит волна. С воздухом аналогично, воздух смещается по вертикали.

----------------------
А по горизонтали? Ковер начнет приобретать скорость по горизонтали относительно Земли?

[Ost]

----------------------
А по горизонтали? Ковер начнет приобретать скорость по горизонтали относительно Земли?

Ковёр растягивается или сокращается по длине из-за деформации, что и приведёт к появление горизонтальной составляющей скорости.
Аналогично, фиксированный объём воздуха может растягиваться и сокращаться по длине за счёт поперечного размера.

[mpn2]

Ковёр растягивается или сокращается по длине из-за деформации, что и приведёт к появление горизонтальной составляющей скорости.

--------------------
Мммм....ДАаааа!
Вопросов больше нет!

[Ost]

Вычисление циркуляции соответствующей постулату Жуковского - Чаплыгина.

Из \((1)\)   \(\displaystyle \zeta = z + \sqrt{z^2-a^2}\).

С учётом поворота и переноса системы координат будет \(\displaystyle \zeta=\left(z + \sqrt{z^2-a^2}-\mu \right)e^{i~\alpha}\).

Подставляем в \((2)\).

\(\displaystyle f(z)=-V_0 \left( \left(z + \sqrt{z^2-a^2}-\mu \right)e^{i~\alpha}+\frac{R^2}{ \left( z + \sqrt{z^2-a^2}-\mu \right)e^{i~\alpha}} \right)-\frac{i~\Gamma}{2 \pi}~ln \left( \left(z + \sqrt{z^2-a^2}-\mu \right)e^{i~\alpha} \right) \).

Дифференцируем, получим скорость

\(\displaystyle V(z)= \left(-V_0 \left(e^{i~\alpha}-\frac{R^2~e^{-i~\alpha}}{ \left(z + \sqrt{z^2-a^2}-\mu \right)^2} \right)-\frac{i \Gamma}{2 \pi \left( z + \sqrt{z^2-a^2}-\mu \right)} \right) \left(\frac{z}{\sqrt{z^2-a^2}}+1 \right)=\frac{df(z)}{dz} \).

В соответствии с постулатом на задней острой кромке \(z=-a\), скорость должна быть равной нулю, поэтому

\(\displaystyle -V_0 \left(e^{i~\alpha}-\frac{R^2~e^{-i~\alpha}}{(a + \mu)^2} \right)+\frac{i \Gamma}{2 \pi (a +\mu)}=0\).


\(\displaystyle \Gamma(\alpha)=-2i \pi (a +\mu)V_0 \left(e^{i~\alpha}-\frac{R^2~e^{-i~\alpha}}{(a + \mu)^2} \right)\).

Вычислим угол атаки при котором будет нулевая подъёмная сила

\(\displaystyle \Gamma(\tau)=Re \left(-2i \pi (a +\mu)V_0 \left(e^{i~\tau}-\frac{R^2~e^{-i~\tau}}{(a + \mu)^2} \right) \right)=0 \).

\(\tau=-5.682712^\circ\).


Изменение масштаба скорости \(\displaystyle m_\infty=\lim \limits_{\zeta \to \infty} \frac{z(\zeta)}{d\zeta} =0.5\).

Циркуляция вокруг профиля при скорости потока \(V_0\) на плоскости \(z\)  равна

\(\displaystyle \Gamma_p (\theta)=m_\infty~\Gamma(\theta)\);   \(\displaystyle \Gamma_p (\alpha)=66.184301~\frac{м^2}{с}\).

Построение графика коэффициента подъёмной силы

\(\displaystyle C_y (\theta)=\frac{2 \Gamma_p (\theta)}{b~V_0}\);  \(\displaystyle C_y (\alpha)= 1.845323\).

[mpn2]

Вычисление циркуляции соответствующей постулату Жуковского - Чаплыгина.

--------------------------------------
ОООО! Про Жуковского!!! Ну-ну! Постулат о циркуляции!!!
А если я вам задам не очень скромный вопрос: на основании чего Жуковскому в голову пришла идея о циркуляции потока вокруг крыла и что лежит в конечном итоге циркуляции, что Жуковский хотел доказать данной циркуляцией. Ну конечно если предположить что циркуляция есть?
..............  постулат............  которого никто не видел и найти не могут ...... А вы это серьезно да? Вокруг крыла есть циркуляция потока?

[Ost]

\(\displaystyle w(\zeta)=\left|\frac{m_\infty~\frac{df(\zeta)}{d\zeta} }{\frac{dz(\zeta)}{d\zeta}}\right|~-\) скорость вокруг профиля.

Относительная скорость потока на поверхности профиля \(\displaystyle v(\theta)=\frac{w(\zeta(\theta))}{V_0}\)




Относительное давление на поверхности профиля \(p(\theta)=1-v(\theta)^2\)



Подъёмная сила

\(\displaystyle \frac{1}{2}\rho~C_y(\alpha)~V_0^2~b=\rho~\Gamma_p(\alpha)~V_0=5581.402~Н~\equiv 569.145~кгс\).

...

--------------------------------------
ОООО! Про Жуковского!!! Ну-ну! Постулат о циркуляции!!!
А если я вам задам не очень скромный вопрос: на основании чего Жуковскому в голову пришла идея о циркуляции потока вокруг крыла и что лежит в конечном итоге циркуляции, что Жуковский хотел доказать данной циркуляцией. Ну конечно если предположить что циркуляция есть?
..............  постулат............  которого никто не видел и найти не могут ...... А вы это серьезно да? Вокруг крыла есть циркуляция потока?

Эта тема не для обсуждения ваших сомнений по идее циркуляции.

[mpn2]

Эта тема не для обсуждения ваших сомнений по идее циркуляции.

-----------------------------
Так циркуляция это идея = ну типо может она есть, а может ее нет?
Или циркуляция это постулат = ну типо она есть однозначно! и иного не дано?
-----------------------------
Вы тут такие немыслимые формулы про циркуляцию хреначите! Вау! А вдруг ее нет? Что тогда значат ваши формулы? Бред сумасшедшего в лунную ночь? ДА?

Вот вы пишите:

В соответствии с постулатом на задней острой кромке z=−a, скорость должна быть равной нулю, поэтому ...

это как? Это значит скорость циркуляции потока вокруг профиля на задней кромки останавливается? ДА? А что это за циркуляция тогда такая? &7-+)