Вы привели движение луча по вертикали. Там нет сокращений длины стержня.
Гипотеза Фицджеральда достаточно полно изложена у М. Борна "Эйнштейновская теория относительности", поскольку, как известно, письменных источников самого фийджеральда не осталось. Он свою гипотезу изложил на лекции.
Как раз из-за того, что для попадания поперечного луча в приёмник, источник должен быть наклонён оп ходу луча, он проходит больший путь, чем в отсутствие движения, а значит, затратит иное время.
А далее пошла гипотеза сокращения (с. 214)
"Как мы выяснили, времена, затрачиваемые световым лучом при прохождении расстояния l вперёд и назад, различаются в зависимости от того, распространяется свет параллельно или перпендикулярно направлению движения Земли.
В первом случае (продольный луч)
\[ t_1 = \frac{{2l}}{c}\frac{1}{{1 - \beta ^2 }}\,\,\,,\ \]
во втором случае (перпендикулярный луч)
\[ t_2 = \frac{{2l}}{c}\frac{1}{{\sqrt {1 - \beta ^2 } }}\,\,\,.\
\]
Если теперь предположить, что плечо интерферометра, направленное параллельно движению Земли, укорочено в отношении \( \sqrt {1 - \beta ^2 } :1\,,\ \), то время окажется уменьшенным в том же отношении, именно
\[ t_1 = \frac{{2l\sqrt {1 - \beta ^2 } }}{{c\left( {1 - \beta ^2 } \right)}} = \frac{{2l}}{c}\frac{1}{{\sqrt {1 - \beta ^2 } }}\,.\ \]
При этом мы получили \( t_1 = t_2 \,\,\,.\ \)
Отсюда вытекает следующая общая гипотеза (необоснованность и смелость которой поражает):
каждое тело, имеющее скорость v относительно эфира,
сокращается в направлении движения на долю\[ \sqrt {1 - \beta ^2 } = \sqrt {1 - \frac{{v^2 }}{{c^2 }}} \,\,\,.\ \]
"
Так что истоки нужно знать. Иначе любой туфте верить будешь...
