Сергей, я прочитал вашу формулу для L2 и проверил.
Пришлось вывести вашу формулу, чтобы понять индексы.
При T' стоят индексы приёмника, при Т - индексы источника.
Проверка показала, что ваша формула правильная.
Отличная работа, Сергей Борисович.
Можно её вывести проще из векторного уравнения:
\(\vec{L_1}+\vec{V_r}T'=\vec{L_2}+\vec{V_s}T\)
\(\displaystyle L_2^2=L_1^2+V_r^2T'^2+V_s^2T^2+2V_rT'[L_1\cos (\alpha -\beta )-V_sT\cos \beta ]-2L_1V_sT\cos \alpha\)
Из баланса времени:
\(\displaystyle L_2^2=(T'C-TC+L_1)^2\)
Решая два последних уравнения совместно найдем период приёма.
\(\displaystyle T'=\frac{C^2T-CL_1-V_sV_rT\cos \beta +L_1V_r\cos (\alpha -\beta )}{C^2-V_r^2}\pm\)
\(\displaystyle \pm \sqrt{\left [ \frac{C^2T-CL_1-V_sV_rT\cos \beta +L_1V_r\cos (\alpha -\beta )}{C^2-V_r^2}\right ]^2-\left [ \frac{T^2(C^2-V_s^2)-2L_1T(C-V_s\cos \alpha )}{C^2-V_r^2} \right ]}\)
При условии \(\displaystyle \lambda <<L_1\), получим простую классическую формулу
\(\displaystyle T'=T\frac{1-\beta _s\cos \alpha }{1-\beta _r\cos(\alpha- \beta) }\)
\(\displaystyle \beta _s=\frac{V_s}{C},\,\beta _r=\frac{V_r}{C}\)
Огромное спасибо, Иван, за независимый вывод. Вы даже закончили то, что я поленился, хотя из того, до чего довёл задачу, было видно, что дальше будет квадратное уравнение.
Просто я тогда был занят другими вопросами, а этот вывод набросал, уже не помню кому.
Дальше, как я понимаю, идёт самая общая задача, когда скорости источника и приёмника скрещены.
