аid: «Докажите, что для применимости ПНД в форме Гамильтона-Остроградского необходимо сохранение энергии. Кстати, поясните, как это вариация действия в каждой точке траектории движения?».
Начнём с последнего. Проще всего процитировать «Механику» Ландау-Лифшица (сс.10-12):
«Пусть в моменты времени t=t1 и t=t2 система занимает определённые положения… Тогда между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл
S=∫L(q,q',t)dt (2.1)
имел наименьшее возможное значение (следует, однако указать, что в такой формулировке принцип наименьшего действия не всегда справедлив для всей траектории движения в целом, а лишь для каждого из достаточно малых её участков…). Функция L называется функцией Лагранжа данной системы, а интеграл (2.1) – действием…
Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде
δS=δ∫L(q,q',t)dt=0. (2.4)» (конец цитаты)..
Выбор точек траектории (т.е. моментов времени t=t1 и t=t2) произволен, и чем ближе эти точки друг к другу (вплоть до t1=t2, т.е. вплоть до отдельной точки траектории), тем точнее соблюдается принцип наименьшего действия (в виде нулевой вариации действия δS=0).
Теперь об отличии ПНД по Мопертюи и по Гамильтону. В первом случае Ольховский прямо указывает на свойство консервативности в качестве необходимого условия для подчинения системы этому принципу. Во втором случае тот же автор (сс.450-451) указывает на равенство нулю суммы вариации кинетической энергии δТ и вариации работы заданных обобщённо-потенциальных сил δА:
δТ+δА=0.
Здесь тоже происходит перераспределение энергии внутри системы, но сама система – по условиям задачи не обязательно консервативная, но обязательно приводимая к консервативной. Так что оба случая объединяет одно ключевое слово, характеризующее систему – «консервативность» (во втором случае - приведённая).
