Петров о принципе наименьшего действия

[Петров А. М.]

yakiniku: "При вычислении вариации действия варьируются не параметры действия на фактической траектории движения, x(t), а изменение действия при виртуальном отклонении траектории от фактической на некотором временном интервале...".

Пытаетесь уйти от главного вопроса - об адекватности данного математического аппарата для конкретной задачи об осцилляторе. Величайшие учёные мира предупреждали: принцип наименьшего действия не универсален! Значит, прежде чем его применять, нужно проверить и обосновать правомерность его применения. Ландау пренебрёк этими предупреждениями и представил его в качестве безальтернативного методологического средства всей теоретической механики. И ... "погорел" на простейшей задаче об осцилляторе.
Анри Пуанкаре прямо указал, когда принцип наименьшего действия не применим: в случае необратимых процессов, к которым относится и резонансный процесс. И снова - "как с гуся вода", теперь уже это относится к "научным мошенникам" на настоящем Форуме.
Показываю, что сами понятия функции Лагранжа L, "действия" S и в целом математический аппарат частных производных к задаче об осцилляторе никакого отношения не имеют (переменная "х" здесь всего одна, никаких других, по условиям задачи, "независимых от х переменных нет, следовательно, применять частное дифференцирование не к чему!). Нет, "долдонят", как заевшая пластинка: ничего вы не понимаете, неужели мы согласимся с тем, что осиповы и садовничие - проходимцы, которых нужно гнать, как можно быстрее, с занимаемых ими руководящих постов в науке и в системе высшего образования?! Конечно, нет. Вот так и спорим и будем спорить без  конца. Пока у политического руководства страны не проявится воля к тому, чтобы прекратить, наконец, кормить за счёт бюджета дармоедов от науки и навести в этой сфере государственной и общественной жизни хотя бы элементарный порядок.

[AlexW]

Конечно: принцип наименьшего действия - это формулировка уравнений движения (причем одна из нескольких возможных), именно так. Можно из принципа наименьшего действия выводить уравнения двмжения, можно по известным уравнениям движения убедиться в выполнении принципа наименьшего действия. Кроме того в данном случае был еще технический момент - убедиться, при каких обграниченях (на длительность временного интервала) действие именно минимально, а не просто экстремально.

Тогда еще вопрос. Допустим мы хотим вывести уравнение движение из принципа наименьшего действия:

\[
\delta S=\frac12 \int^{t_2}_{t_1} { \left[m \left ( \frac{d\delta x }{ dt} \right)^2 - k \left( \delta x\right)^2  \right]dt }-\int^{t_2}_{t_1} {[m\ddot{x}+kx-F]\delta x dt}= 0  \]

Первый член отбрасываем как второй порядок малости по $\delta x $ ?  Слагаемое с производной \delta x смущает - как обосновать его малость по отношению к \delta x ?

[Петров А. М.]

AlexW: "С вашим дотошным подходом к методологии называть функцию (f²t/2mω)sin2ωt  линейной по времени - это преступление.  Что может быть нелинейнее чем синус?"

Постоянно оговариваю: линейное изменение амплитуды колебаний во времени. Если где-то упустил из виду сделать такое уточнение, то примите его сейчас. Гармонический множитель означает лишь перенос (сдвиг) спектра сигнала или силового воздействия на величину, равную частоте гармоники. Но, согласен, выражать свою мысль надо аккуратнее.

[AlexW]

Конечно. При выводе уравнений движения ограничиваются линейными по варациям координат членами.

А то что там производная? производная вариации x  не сводится же к самой вариации?

[Петров А. М.]

yakiniku: «Вот я его проверил для задачи об осцилляторе и тем самым обосновал.
Петров, возражения против представленного доказательства применимости принципа наименьшего действия к задаче об осцилляторе есть???»

Очередная глупость: проверять математический аппарат на адекватность надо «до», а не «после» применения. Сверьтесь с условиями задачи: переменная всего одна, с какой стати здесь должно появиться частное дифференцирование? Процесс необратим, с чего вдруг он станет подчиняться принципу наименьшего действия? Чем варьировать, если функция Лагранжа и интеграл от неё («действие») вырождаются в обычные функции времени? И, вообще, зачем все эти никому ненужные «игры в науку», только вносящие путаницу в совершенно прозрачные вещи, если задача об осцилляторе давно и исчерпывающим образом решена?

[В.И.Костицын]

Вот я его проверил для задачи об осцилляторе и тем самым обосновал.
Петров, возражения против представленного доказательства применимости принципа наименьшего действия к задаче об осцилляторе есть???

   1. Развитие механики сопровождают поиском новых законов, их свойств, возможностей, обоснованием старых законов. Сюда входят интегральные и дифференциальные принципы. Многие из них претендовали на роль единственного фундаментального закона механики.

   2. Несомненно, что основной из этих принципов – принцип наименьшего действия “подгонялся” под второй закон Ньютона и обосновывался, исходя из этого, как некоторая вариация, которая почему-то всегда равна нулю, а не самом деле находилась такая функция, минимум которой определялся вторым законом Ньютона. Однако, как нами было показано, эта функция в результате математических операций преобразуется в другую функцию, которая не имеет ни максимума, ни минимума, поскольку является постоянной величиной и представляет собой закон сохранения энергии.

   3. Вызывает сомнение расширительное толкование принципа наименьшего действия, то есть использование его в экономике, социологии, биологии, науковедении и т. д. Если в физических областях, таких, как термодинамика, электромагнетизм, квантовая механика, его физическую сущность еще можно понять, то в других – невозможно. Или этот принцип надо назвать по-другому.

   4. Поскольку расширительное толкование существует, то возникает мысль об абстрактности этого принципа как чисто математического способа обработки любой информации с целью получения оптимальных результатов. В этом убеждает и сама сущность использования этого принципа.

   5. Такое толкование принципа наименьшего действия стала возможным только потому, что законы механики не имеют должного обоснования и объяснения их сущности.

   6. Были как противники (Мах, Зоммерфельд, Герц), так и сторонники этого принципа (Планк, М.Борн, Клаузиус, Гельмгольц и др.).

   7. Конкурирование между законом сохранения энергии и принципом наименьшего действия, как претендентов на роль основного закона механики.

   8. Достижения этого принципа и его модификации применительно к тому или иному разделу физики заставили перейти к статистическим методам объяснения законов природы. Сам же принцип Гамильтона, введенный для механического движения, придавал некую правдоподобность всем способам его использования. Но такое использование принципа Гамильтона, по сути дела, было попыткой поднять его до уровня единого универсального закона природы.

   9. Нечто подобное происходило и происходит с другими физическими понятиями. Например, очень расширительно толкуется понятие движения.

  10. Вариационные принципы в механике справедливы потому, что в их основе лежит закон сохранения энергии, а не наоборот
.
  11. Вариационные принципы стали широко применяться и получили значительный вес, когда ученые стали отходить от материалистических принципов в объяснении законов природы (СТО, ОТО, квантовая механика, единые теории). Но это все проистекает от нашего незнания сущности законов природы и горячего желания как-то объяснить создаваемые теории.

[AlexW]

Где - там? В первом члене? Ну она все равно квадратична по малой вариации. А из второго члена производная вариации исключена с помощью интегрирования по частям.

Квадратична по производной от малой вариации:
\[  \frac{(d \delta x) ^2}{dt ^2} / \delta x = o(1)  \]

Верно ли тогда что :
\[
d(\delta x)  = O(dt dt)   \qquad ?
 \]

Так как вариация того же порядка малости что дифференциал -- то все сходится.

[aid]

с чего вдруг он станет подчиняться принципу наименьшего действия?

Повторяю в 10-й раз, если процесс по-Вашему, не подчиняется ПНД, то Вам не составит труда привести окольную траекторию, на которой действие иеньше, чем на действительной. И все заткнутся и признают Вашу правоту. Ну, где пример? Или пример, или заткнитесь Вы

Чем варьировать, если функция Лагранжа и интеграл от неё («действие») вырождаются в обычные функции времени?

Вам уже объяснили. Если не поняли, объясните, как Вы вообще понимаете принцип наименьшего действия там, где он, по-Вашему применим. Например, для осциллятора без вынуждающей силы. Что значит - наименьшего?

И, вообще, зачем все эти никому ненужные «игры в науку», только вносящие путаницу в совершенно прозрачные вещи, если задача об осцилляторе давно и исчерпывающим образом решена?

Скажите, можно ли найти площадь полукруга интегрированием, или нельзя?

[Петров А. М.]

yakiniku: «Возражения против доказательства применимости принципа наименьшего действия к осциллятору есть??»

Есть, у Анри Пуанкаре! Попытайтесь физически осуществить тот же резонансный процесс, но с обратным ходом времени...

[AlexW]

Неважно - "до" или "после". Неважно - "зачем". Наплевать в три ручья и на Ваш шизофреническую бредятину о необратимости процесса и недуменные (потому что безграмотные) вопли, с чего это вдруг осциллятор станет подчиняться принципу наименьшего действия.
Осциллятор с вынуждающей силой принципу наименьшего действия подчиняется. Петров, математически ОПРОВЕРГНУТЬ доказательство можете?? Что Вы пытаетесь две строчки формул словоиспражнениями опровергнуть?  

Все у вас верно, и у Ландау в этой задаче.  Человеку не нравится такой подход, и он придумывает ерунду. Подход действительно может вызвать психологический дискомфорт, потому что гамильтониан осциллятора под действием силы не является энергией осциллятора.

[AlexW]

Охохо.... Ну, хорошо.
В простанстве вариаций, то есть достаточно гладких функций, обращающихся в ноль на границах интервала  [t₁,t₂], введу норму
\[ \|\delta x\|=\sqrt{\frac1{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}{\left[\frac{m}k\left(\frac{d\delta x}{dt}\right)^2+(\delta x)^2\right]dt}} \]
По этой норме ИНТЕГРАЛЬНАЯ оценка первого (квадратичного) члена в вариации действия будет \(k\|\delta x\|^2(t_2-t_1)\), а во втором члене ПОТОЧЕЧНАЯ оценка для вариации координаты в подинтегральном выражении будет \(\|\delta x\|\). Если Вы внимательно прочитаете, кажется, 22 параграф в Механике Ландау-Лифщица, касающийся выдужденных колебаний, Вы убедитесь, что таким образом введенная норма есть не нечто надуманное, а совершенно для этой задачи естественное - это не что иное как модуль КОМПЛЕКСНОЙ вариации (фотонной амплитуды) кси.  

Спасибо за подробный ответ. Подумаю над смыслом нормы. В принципе я уже понял, когда расписал дифференциалы. Если порядок малости вариации и дифференциала один и тот же (а это так из общих соображений), то все сходится.

[Dachnik]

Конечно. При выводе уравнений движения ограничиваются линейными по варациям координат членами.

Не хрена себе

[Король Альтов]

Вот полное доказательство справедливости принципа наименьшего действия для осциллятора. Оно правильное, частных производных не содержит, выкрутиться Вам не удастся. Все - принцип наименьшего действия к осциллятору применим и применен.

Вам тоже выкрутиться не удастся, потому что функция G = mv²/2–kx²/2+xF(t) функцией Лагранжа для осциллятора L(х,v,t) не является. Посему приведенное вами "доказательство" является бредом. Слив yakiniku засчитан.

[Петров А. М.]

yakiniku:
«Вот полное доказательство справедливости принципа наименьшего действия для осциллятора… Оно правильное, частных производных не содержит, выкрутиться Вам не удастся. Всё - принцип наименьшего действия к осциллятору применим и применён».

Можно сколько угодно себя уговаривать, что «принцип наименьшего действия к осциллятору применим и применён», но ведь ни одного из представленных мною серьёзнейших возражений на этот счёт так и не опровергнуто, даже попытки такой не предпринято. Неужели за столь «топорную» работу хозяева похвалят? Я бы уволил «без выходного пособия»…
Попытка же «спрятать с глаз долой» частные производные влечёт за собой грубейшие нарушения правил вариационного исчисления. Сошлюсь на Ландау, которого в этом отношении можно брать за образец и, вместо того, чтобы критиковать, защищать от чересчур тупоголовых адептов. Цитирую «Механику» Ландау-Лифшица (с.12):
«Таким образом, принцип наименьшего действия можно записать в виде
δS=δ∫L(q,q',t)dt=0,
или, произведя варьирование:
∫[(∂L/∂q)δq+(∂L/∂q')δq']dt=0».
Как видим, Ландау считает, что варьирование функции Лагранжа означает  варьирование по координате и скорости вдоль частных производных от функции Лагранжа по координате и скорости, но никак не от самóй функции Лагранжа (в виде её приращения). Пожалуй, это тоже стóит внести в ту же «копилку личных идиотизмов yakiniku», где уже есть незабываемый «перл»: «производная от импульса по скорости, как и, наоборот, производная от скорости по импульсу, равняется нулю»!
Да! Отечественная наука в серьёзной опасности, если в ней продолжают безнаказанно бесчинствовать  лица, подобные «yakiniku».

[Вашкевич Виктор]

Петров, какого хрена Вы посты дублируете в двух ветках?! Вам для того эту ветку и открыли, чтобы Вы в нормальные ветки с Вашими помойными идеями не лезли!!!

                          [.........................................]

Обсюда совершенно ясно, что все якобы "серьезные возражения" Петрова - это бессмысленные и неуместные словопрения, не имеющие ни малейшего отношения к существу дела.

Да, все так. Петров запутался в закорючках и несет бессмыслицу.
В резонансе энергия растет,  а он то ли не видит, то ли не хочет этого видеть.

[Король Альтов]

Петров, какого хрена Вы посты дублируете в двух ветках?! Вам для того эту ветку и открыли, чтобы Вы в нормальные ветки с Вашими помойными идеями не лезли!!!Мне наплевать на Ваши "серьезнейшие возражения" -это безграмотная чушь . Вам предъявлено доказательство принципа наименьшего действия для осциллятора. "Частные производные" в доказательстве явно не фигурируют.

Утверждение, что это сделано не как у Ландау - это безграмотный бред. Еще раз приведу мое доказательство принципа наименьшего действия для осциллятора с вынуждающей силой, то есть с функцией Лагранжа вида \(L=\frac{m\dot{x}^2}2-\frac{kx^2}2+xF(t)\). Действие
\[ S=\int_{t_1}^{t_2}{L(x,\dot{x},t)dt} \]
минимально на действительной траектории движения по отношению к вариациям координат
\(\delta x\) обращающимся в ноль на границах временного интервала \([t_1,t_2]\): Доказательство полное, окончательное, понятное любому идиоту (ну не совсем любому - кроме Петрова).
Петров - возражения против доказательства принципа наименьшего действия есть?
А то что у Ландау есть частные производные а у меня нет, так это только потому что Ландау не приходилось общаться с научными жуликами и мошенниками, не умеющими вычислять частные производные, а мне приходится. Потому что те, кто умеют  
вычислять частные производные:
\[ \frac{\partial L}{\partial x}=-kx+F,\qquad \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x} \]
ммгновенно увидели бы, что линейный по вариации коорднаты член (в третьей строке формул в цитированном фрагменте)
\[ ...-\int^{t_2}_{t_1} {[\frac{d}{dt}(m\dot{x})+kx-F]\delta x dt}... \]
на самом деле точно равен
\[ ...\int^{t_2}_{t_1} {\left[\frac{\partial L}{\partial x}-\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)\right]\delta x dt}... \]
в строгом соответствии с формулой (2.5) из книги Ландау-Лифшица "Механика". Кстати и стартовое мое выражение для вариации действия точно соответствует данному в Ландау (ненумерованная формула строчкой ниже формулы (2.3))
Обсюда совершенно ясно, что все якобы "серьезные возражения" Петрова - это бессмысленные и неуместные словопрения, не имеющие ни малейшего отношения к существу дела.

У yakiniku белая горячка и обострение шизофрении.
Этот неуч научился частные производные вычислять - зачет- ха-ха, а за не незнание, что такое функция Лагранжа - неуд.

[Петров А. М.]

Спасибо, что открыли отдельную тему на Форуме. Буду и здесь, по необходимости, дублировать принципиально важные выступления, чтобы у нечистых на руку и с кривой душой "земля горела под ногами". Во всяком случае, нижеследующий сюжет повторю, и ещё не раз.
Пойманный на жульничестве и мошенничестве, yakiniku по законам уголовного мира сам громче всех начинает кричать:"Держите вора!". Жульничество и мошенничество yakiniku у всех на виду. Если надо, из одних его цитат составлю полный реестр его бесстыжего вранья и всяческих подлостей. Ну, а в чём состоят мои жульничество и мошенничество? В том, что требую обоснования применению аппарата частных производных в одномерной динамической задаче, где  никаких независимых переменных величин нет, кроме одной искомой координаты как функции времени? В том, что указываю на методологические ошибки Ландау: приписывание принципу наименьшего действия свойств универсальности, игнорирование таких явных математических некорректностей, как  произвольное обрывание разложения функции в ряд Тейлора на третьем члене и т.д., и т.п.? Так ведь всё это - всего лишь предмет для содержательной научной дискуссии. Но как от любого участия в таких дискуссиях трусливо прячутся лично президент РАН Осипов и ректор МГУ Садовничий (хотя почему бы не воспользоваться лишней возможностью показать силу своего интеллекта и широту научного кругозора?!), так же себя ведут и их (объективно) "щестёрки" на Форумах. Так что с этим всё понятно!

[stary]

Нет, "энергия за счет резонанса растет" и "накопление энергии" - это не одно и то же.
Но спорить не буду, - ибо бесполезно.  Считаю, yakiniku заслуженно  тебя бранит
и я с ним в этой брани солидарен, хотя не согласен с поводом.
Энергетист ты, а этот недуг мировоззрения  словесным спором не устраняется.

http://wiki2.norcom.ru/wiki/%D0%94%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D0%B5_(%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0)

[В.И.Костицын]

У yakiniku белая горячка и обострение шизофрении.

К сожалению, не у него одного белая горячка.

Современные математико-физики в отличие от физико-математиков прошлого, которые всегда были немного философы, да и сама физика называлась "натуральная философия" таким мелочам как две меры механического движения в своих учебниках внимания не уделяют. Да что там какие то меры, некоторые авторы учебников, например, Ландау и Лифшиц не уделяют никакого внимания и физическому смыслу основных аксиом механики, а уже на 10 странице учебника вводят принцип наименьшего действия и из него, как из рога изобилия, чисто математитчески высыпаются все законы механики. Кстати один из них гласит, что если механическая система не описывается функцией Лагранжа, то это не механика (правда авторы употребляют термин не классическая механика).

Но ведь система не будет описываться функцией Лагранжа, например, в тех случаях, когда будет присутствовать сухое трение, т.е. практически никогда, но авторы продолжают в том же духе и пишут, что если трение в системе оказывается слабым и при этом пренебречь и массами элементов соединяющих систему в единый механизм, то в данном случае можно пользоваться функцией Лагранжа и, следовательно, система у них сразу становится механической.

Справедливости ради следует отметить, что учебник издания 1965 г., когда в число соавторов входил и Ахнезер, был похож на большинство учебников по Теоретической механике, но уже через четыре года авторы резко поменяли свои взгляды. И это особенно странно, если учесть, что на конференции в Киеве в 1959 г. Л.Д. Ландау заявил, что лагранжиан мертв и должен быть похоронен со всеми подобающими ему почестями. Кстати именно этот учебник так усердно пропагандируется власть предержащими в науке, что он даже получил народное название "учебник Ландившица" (после смерти и Лифшица начиная с 4-го издания редактируется только Питаевским Л.П.).

[Король Альтов]

К сожалению, не у него одного белая горячка.

+
Кстати это уже где то было, но все равно очень к месту.
К сожалению yakiniku настолько непробиваем и туп, что по моему для него само понятие механики это нонсенс - для него главное его наглость и самопиар невежи и выскочки.