Должно выполняться равенство r(w)dw=r(v)dv=r(l)dl.
Вообще то мне было не понятно почему dv=dL*с/L^2, но теперь мне не понятно и почему должно быть r(v,T)dv=r(L,T)dL, т.к. по идее это интеграл от r(v,T)dv должен быть равен интегралу от r(L,T)dL. Но, если просто считать, что r(v,T)dv=r(L,T)dL, то тогда, если dv=1Гц, то этих самых dL=1м будет 3*10^8, т.е. c/v и, следовательно, r(v,T) в формуле (2) должно быть равно r(L,T) в виде (4’) после замены v=c/L, а после того как мы заменим dv на dL*v/c = dL/L мы получим формулу (4’’), но у Планка и в учебниках приводится формула (4).
dv*r(v,T)=dv*(2*pi*h*v^3/c^2) / (exp(h*v/(k*T))-1) (2)
r(L,T)=(2*pi*h*с/L^3)/(exp(h*c/(k*L*T))-1) (4’)
r(L,T)=(2*pi*h*с/L^4)/(exp(h*c/(k*L*T))-1) (4’’)
r(L,T)=(2*pi*h*c^2/L^5) / (exp(h*c/(L*k*T))-1) (4)
Если проверить размерность формул
h*v^3/c^2= (Дж*с*кол^3 / с^3) / ( м^2 / с^2)= Дж/м^2 = (Вт/м2)/Гц (2)
h*с/L^4) = (Дж*с*м /с) / м^4= Дж/м^3 = (Вт/м2)*с/м (4’’)
h*c^2/L^5 = (Дж*с*м^2 /с^2) / м^5= Дж/c/м^3= (Вт/м2)/м (4)
то получается, что, правильными являются формулы из учебников (2) и (4), которые дают мощность излучения с 1м2 поверхности АЧТ в интервале частот 1Гц и длины волны 1м. Хорошо. Теперь переходим к объемной спектральной плотности излучения, т.е. с 1м3 АЧТ. Это делается умножением r(v,T) и r(L,T) на 4/с. Получаем
u(v,T)=(8*pi*h*v^3/c^3) / (exp(h*v/(k*T))-1) (1)
u(L,T)=(8*pi*h*c/L^5) / (exp(h*c/(k*L*T))-1) (5)
Опять проверяем размерность формул
h*v^3/c^3= (Дж*с*кол^3 / с^3) / ( м^3 / с^3)= Дж*с*кол / м^3 = (Вт/м3)*с/Гц (1)
h*c/L^5= (Дж*с*м /с) / м^5= Дж/м^4= (Вт/м3)*с/м (5)
И теперь у нас уже тут вылазит какая то лишняя секунда, как было в формуле (4’’), т.е. теперь и правильные формулы (1) и (5) оказывается не правильные по размерности. И даже, если я не разобрался с переводом dv в dL, то с размерностями-то я не должен был напутать. По этому, к двум вопросам перевода r(v,T) в r(L,T) прибавляется еще и третий с размерностью u(v,T) и u(L,T).
С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.