Первая фатальная ошибка математики - неопределенный интеграл

[mishin05]

Но  проблемы в Ваших рассуждениях  состоят в том, что
1. Вы не совсем понятным способом вычислили расходящийся несобственный интеграл.
2. на всём отрезке \([-1,e]\) функция \(F(x)=\ln|x|\) не будет первообразной для функции \(f(x)=1/x\). По очень простой причине -  функция \(F\) не определена во всех точках этого отрезка и тем более не дифференцируема, что противоречит определению первообразной.
3. если функция, определенная и ограниченная на конечном отрезке, может быть не интегрируемой. Просто у неё может быть слишком много точек разрыва. Например, как у функции Дирихле.

Есть неправильный табличный интеграл. Чтобы его оправдать придумана куча оговорок, но все равно сама формула, а именно МОДУЛЬ позволяет брать разнозначное приращение аргумента. Я показал формулу, у которой нет вообще никаких ограничений. Объясните происхождение МОДУЛЯ! Без него функция уже не будет прервообразной для y=1/x?

[mishin05]

нет

Тогда напишите-нарисуйте, что означает для площади под графиком выражение ln1=0.

[МаленькийГном]

Есть неправильный табличный интеграл. Чтобы его оправдать придумана куча оговорок, но все равно сама формула, а именно МОДУЛЬ позволяет брать разнозначное приращение аргумента. Я показал формулу, у которой нет вообще никаких ограничений. Объясните происхождение МОДУЛЯ! Без него функция уже не будет прервообразной для y=1/x?

Производная сложной функции. Пусть \(sign\) - функция знака
\[
sign(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
1,&x>0\\
-1,&x<0\\
0,&x=0
\end{array}
 \right.
 \]
По построению \((|x|)'=sign(x)\),  \(sign(1/x)=sign(x)\) при \(x\not =0\) и \(x=|x|\cdot sign(x)\) . Поэтому
\[ (\ln|x|)'=\frac{1}{|x|}\cdot (|x|)'=\frac{1}{|x|}\cdot sign(x)=\frac{1}{x} \]

[МаленькийГном]

Тогда напишите-нарисуйте, что означает для площади под графиком выражение ln1=0.

площади чего. прочитайте моё сообщение до конца

[МаленькийГном]

Есть неправильный табличный интеграл. Чтобы его оправдать придумана куча оговорок, но все равно сама формула, а именно МОДУЛЬ позволяет брать разнозначное приращение аргумента. Я показал формулу, у которой нет вообще никаких ограничений. Объясните происхождение МОДУЛЯ! Без него функция уже не будет прервообразной для y=1/x?

Показать - показали. Осталось доказать

[mishin05]

Производная сложной функции. Пусть \(sign\) - функция знака
\[
sign(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
1,&x>0\\
-1,&x<0\\
0,&x=0
\end{array}
 \right.
 \]
По построению \((|x|)'=sign(x)\),  \(sign(1/x)=sign(x)\) при \(x\not =0\) и \(x=|x|\cdot sign(x)\) . Поэтому
\[ (\ln|x|)'=\frac{1}{|x|}\cdot (|x|)'=\frac{1}{|x|}\cdot sign(x)=\frac{1}{x} \]

Вы отвечаете на что угодно, только не на вопросы, которые я задаю...

[Herodotus]

Производная сложной функции. Пусть \(sign\) - функция знака
\[
sign(x)=\left\{
\begin{array}{rl}
1,&x>0\\
-1,&x<0\\
0,&x=0
\end{array}
 \right.
 \]
По построению \((|x|)'=sign(x)\),  \(sign(1/x)=sign(x)\) при \(x\not =0\) и \(x=|x|\cdot sign(x)\) . Поэтому
\[ (\ln|x|)'=\frac{1}{|x|}\cdot (|x|)'=\frac{1}{|x|}\cdot sign(x)=\frac{1}{x} \]

Можно проще. \[  \ln(x) = \ln(|x|) + i arg(x); \\
x>0 -> arg(x) = 0; x=|x|; d/dx = d/d|x|; (ln(x))' = 1/x; \\
x<0 -> arg(x) = \pi; x = -|x|; d/dx = -d/d|x|; (ln(x))' = -d(\ln(|x|) + i \pi)/d|x| = -1/|x| = 1/x.\\
 \]
Quod erat demonstrandum.

[yakiniku]

Можно проще. \[  \ln(x) = \ln(|x|) + i arg(x); \\
x>0 -> arg(x) = 0; x=|x|; d/dx = d/d|x|; (ln(x))' = 1/x; \\
x<0 -> arg(x) = \pi; x = -|x|; d/dx = -d/d|x|; (ln(x))' = -d(\ln(|x|) + i \pi)/d|x| = -1/|x| = 1/x.\\
 \]
Quod erat demonstrandum.

Фигасе - проще
\[ x>0: (\ln|x|)^\prime=(\ln x)^\prime=\frac1x \]
\[ x<0: (\ln|x|)^\prime=(\ln(- x))^\prime=\frac{-1}{-x}=\frac1x \]

[marcos]

На первом курсе у нас профессор Виноградов показал парадокс  - 0 =1 с помощью интеграла от Логн(х0). С тех пор мне по оизни пришлось столкнутся с множеством таких ситуаций.

[Мастеров АВ]

Ты в самом деле болен? Дай мне ссылку, чтоб я увидел, где учат график функции y=1/x, чтоб при x=1 график лежал НИЖЕ ОСИ ИКС. Это п....

Кто-то на голову точно болен.
А вот КТО болен - вопрос.

Ты пишешь чушь.
Поэтому я вынужден пытаться понять - что ты хотел сказать, потому как то что ты пишешь - бред.

Ну сам подумай, вот ты сказал:

покажите геометрически, как при x=1 площадь под графиком функции \[ y=\frac{1}{x} \] равна нулю?

Это же бред.
Площадь вычисляется в интервале (от -1 до +1, к примеру).
А у тебя площадь при каком-то значении.
==========================

Тебе, чувак, с преподавателем математики не повезло.
Или ты сам такой глупый.

[Alexpo]

mishin05, вы не смешивайте определенный и неопределенный интегралы. Несмотря на одинаковое слово "интеграл" , это принципиально разные вещи. Неопределенный интеграл - это операция , обратная производной, т.е. нахождение первообразной функции, а определенный интеграл это предел суммы определенного вида.

Определенный интеграл от функции, которая неограничена на отрезке интегрирования не может вычисляться с помощью формулы Ньютона-Лейбница, это грубая ошибка. Такие интегралы называются несобственными и требуют специального метода вычисления. Таковы интегралы от y=ln|x| и y=1/x на отрезках, содержащих х=0.

Кроме того, при нахождении площади криволинейной трапеции в случае, когда функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, следует брать интеграл от модуля функции.

Всему этому учат в курсе математики. Так что вам следует внимательно изучить предмет. Никаких  ошибок там нет.

[Alexpo]

Запросто! Первообразная функция - площадь под графиком. Покажите, что означает выражение: \[ \ln|1|=0 \]. Т. е. покажите геометрически, как при x=1 площадь под графиком функции \[ y=\frac{1}{x} \] равна нулю?

Если х=1 (т.е. нет диапазона х, отрезок интегрирования равен 0), то криволинейная трапеция превращается в вертикальную линию, т.е. ее высота равна нулю. Но из геометрии известно, что площадь фигуры с нулевой высотой равна нулю. Что вас в этом смущает?

А ln|1| = ln 1 = 0 просто по определению логарифма, разве вы этого не знаете

Есть неправильный табличный интеграл. Чтобы его оправдать придумана куча оговорок, но все равно сама формула, а именно МОДУЛЬ позволяет брать разнозначное приращение аргумента. Я показал формулу, у которой нет вообще никаких ограничений. Объясните происхождение МОДУЛЯ! Без него функция уже не будет прервообразной для y=1/x?

Табличный интеграл совершенно правильный. Требование "объяснить происхождение модуля" бессмысленно. Просто для таблицы выбрана такая функция , вот и все. Это так же, как допытываться у человека почему его назвали Вася, а не Петя. Ну назвали и назвали, а вы просто пользуйтесь его именем.

  Никаких оговорок нет. Где вы нашли оговорки? Вы применили неправильный метод интегрирования несобственного интеграла и получили ерунду. Причем тут таблица первообразных?

Вы похожи на человека, который в равенстве  2*0=3*0 производит сокращение 0, получает 2=3 и кричит, что в этом виновата таблица умножения!

[МаленькийГном]

На первом курсе у нас профессор Виноградов показал парадокс  - 0 =1 с помощью интеграла от Логн(х0). С тех пор мне по оизни пришлось столкнутся с множеством таких ситуаций.

Иван Матвеевич Виноградов? Подобных пардоксов масса. И все они основаны на ошибочных рассуждениях.

[mishin05]

Кто-то на голову точно болен.
А вот КТО болен - вопрос.

Ты пишешь чушь.
Поэтому я вынужден пытаться понять - что ты хотел сказать, потому как то что ты пишешь - бред.

Ну сам подумай, вот ты сказал:Это же бред.
Площадь вычисляется в интервале (от -1 до +1, к примеру).
А у тебя площадь при каком-то значении.
==========================

Тебе, чувак, с преподавателем математики не повезло.
Или ты сам такой глупый.

Придется отвечать на твоем языке. Ты не просто глуп - ты законченый ДЕБИЛ!!! Ты вообще не понимаешь, что такое математика. Ты обезьяна, которая повторяет чужие мысли из учебников и не способна сама даже к мало-мальскому рассуждению.
Сейчас я тебе покажу почему. Я могу понять, что ты чего-то недопонял из приведенных мною формул и чертежа. Ты мог, хотя бы, спросить. Но не сделал этого. Потому, что ты не способен мыслить! Если первообразная в Декартовой системе координат выражается площадью под графиком, значит она имеет все те же свойства, что и аналитическая форма записи этой функции. В аналитической форме записи, например, степенной функции с положительными значениями степеней есть выражение: \[ 0^n=0. \] Понимаещь, идиот, есть такой вариант, при котором функция равна нулю! Этот вариант возможен, если аргумент равен нулю. На графике аналогом является ТОЧКА - начало системы координат. Графически эта точка - ЕСТЬ ПЛОЩАДЬ, РАВНАЯ НУЛЮ! Если ты всего этого, такого простого для разумного человека, не понимаешь, куда ты лезешь со своим приматоподобным мозгом давать мне оценки?! Сиди и помалкивай, когда видишь диалог двух неглупых людей. А в том, что гном неглуп понятно сразу. Он дал верный ответ, что в этом случае нулевая площадь - это отрезок! Он-то понял. Он в отличие от тебя - НЕ ИДИОТ!!! Другой вопрос в том, что он не до конца понимает смысл моих высказываний. А ты иди лазить по пальмам собирать бананы...

[mishin05]

mishin05, вы не смешивайте определенный и неопределенный интегралы. Несмотря на одинаковое слово "интеграл" , это принципиально разные вещи. Неопределенный интеграл - это операция , обратная производной, т.е. нахождение первообразной функции, а определенный интеграл это предел суммы определенного вида.

Определенный интеграл от функции, которая неограничена на отрезке интегрирования не может вычисляться с помощью формулы Ньютона-Лейбница, это грубая ошибка. Такие интегралы называются несобственными и требуют специального метода вычисления. Таковы интегралы от y=ln|x| и y=1/x на отрезках, содержащих х=0.

Кроме того, при нахождении площади криволинейной трапеции в случае, когда функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, следует брать интеграл от модуля функции.

Всему этому учат в курсе математики. Так что вам следует внимательно изучить предмет. Никаких  ошибок там нет.

Наверное, Вы не читали того, что я написал.
Тому, что Вы написали - учат. Но это - ошибка. Учат неправильную теорию! Потому, что она противоречит основам теории и результатам опыта! Сейчас я Вам напишу по пунктам.

ОШИБКА N1

mishin05, вы не смешивайте определенный и неопределенный интегралы. Несмотря на одинаковое слово "интеграл" , это принципиально разные вещи. Неопределенный интеграл - это операция , обратная производной, т.е. нахождение первообразной функции, а определенный интеграл это предел суммы определенного вида.

Интеграл, у которого отсутствуют верхний и нижний пределы СОГЛАСНО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЕ АНАЛИЗА - есть предельный вид определенного интеграла, нижний предел которого - значение аргумента, при котором первообразная равна нулю, верхний предел - переменный. Это вариант, который позволяет приращение первообразной записать в виде: F(x)-0.
Интеграл - это не ОПЕРАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ПРОИЗВОДНОЙ. В отличие от функции, которая показывает связь между двумя значениями двух переменных, производная этой функции показывает зависимость между двумя приращениями этих же переменных. ЭТОГО НЕТ В УЧЕБНИКАХ, но ИМЕННО ЭТО И ЕСТЬ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ!!! Все остальное: скорость изменения функции, угловой коэффициент наклона..., вектор, ковектрор и т.д. - это частные случаи использования понятия производной в конкретных частных примерах. Интегрирование - операция, обратная дифференцированию. Дифференцирование производится не над функцией, а над ее приращением. Приращение функции - математический объект, существующий независимо от операции дифференцирования, ОН СУЩЕСТВУЕТ ДО НАЧАЛА ЭТОЙ ОПЕРАЦИИ!!! Опреция дифференцирования производится в два этапа: отношение приращения функции к приращению аргумента, предел этого отношения. Поэтому интегрирование тоже заканчивается ПРИРАЩЕНИЕМ ФУНКЦИИ - формула Ньютона-Лейбница.

\[ F'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta F(x)}{\Delta x};~~~~\Delta F(x)=\int\limits_{x_1}^{x_2} F'(x)dx,~~x_2-x_1=\Delta x. \]

 Единственный вариант получить функцию при интегрировании: нижний предел равен такому значению аргумента, при котором первообразная равна нулю. А верхний - переменный предел. Это то, что показывает ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА МАТАНАЛИЗА!!!

\[ F(x)=F(x)-0=\int\limits_{x_0}^xF'(t)dt,~~F(x_0)=0. \]

 Остальное - ошибка!!! Я пока закончу. Оставлю остальные пункты на "потом". Обсудим пока это!

[mishin05]

Вы еще не зае....ись пиcать, что я не знаю матанализа?! Я знаю его. Именно поэтому я нашел в нем ошибки. Неужели это до сих пор не понятно? То, что я пишу ВЕЩИ, противоречащие матану - естественно, потому, что я показываю ЕГО ОШИБКИ. Зачем меня отсылать учить то, что НЕВЕРНО?

[Мастеров АВ]

Придется отвечать на твоем языке. Ты не просто глуп - ты законченый ДЕБИЛ!!! Ты вообще не понимаешь, что такое математика. Ты обезьяна, которая повторяет чужие мысли из учебников и не способна сама даже к мало-мальскому рассуждению.
Сейчас я тебе покажу почему. Я могу понять, что ты чего-то недопонял из приведенных мною формул и чертежа. Ты мог, хотя бы, спросить. Но не сделал этого. Потому, что ты не способен мыслить! Если первообразная в Декартовой системе координат выражается площадью под графиком, значит она имеет все те же свойства, что и аналитическая форма записи этой функции. В аналитической форме записи, например, степенной функции с положительными значениями степеней есть выражение: \[ 0^n=0. \] Понимаещь, идиот, есть такой вариант, при котором функция равна нулю! Этот вариант возможен, если аргумент равен нулю. На графике аналогом является ТОЧКА - начало системы координат. Графически эта точка - ЕСТЬ ПЛОЩАДЬ, РАВНАЯ НУЛЮ! Если ты всего этого, такого простого для разумного человека, не понимаешь, куда ты лезешь со своим приматоподобным мозгом давать мне оценки?! Сиди и помалкивай, когда видишь диалог двух неглупых людей. А в том, что гном неглуп понятно сразу. Он дал верный ответ, что в этом случае нулевая площадь - это отрезок! Он-то понял. Он в отличие от тебя - НЕ ИДИОТ!!! Другой вопрос в том, что он не до конца понимает смысл моих высказываний. А ты иди лазить по пальмам собирать бананы...

Я прорешал Демидовича от корки до корки ещё в 1979-году, до поступления в университет.
Специализируюсь на нелинейной динамике - математик-программист.
Могу ссылочку дать на монографию.
Я математику понимаю.
Понимаю хорошо.
Поверь.
Но тебя, чувак, понять не могу.
Ты несёшь какуюто чушь.

[mishin05]

Я прорешал Демидовича от корки до корки ещё в 1979-году, до поступления в университет.
Специализируюсь на нелинейной динамике - математик-программист.
Могу ссылочку дать на монографию.
Я математику понимаю.
Понимаю хорошо.
Поверь.
Но тебя, чувак, понять не могу.
Ты несёшь какуюто чушь.

Маленький гном и Алекспо дали ответы на вопрос, который ты считаешь чушью. Вот и подумай, кто идиот: мы трое или ты один?
P.S. Вот и занимайся тем, что у тебя получается, не лезь туда, где ты - ноль! Видать программисту трудно понять, что площади точки и отрезка равны нулю...сидеть и писать код - много ума не надо...

[Мастеров АВ]

Маленький гном и Алекспо дали ответы на вопрос, который ты считаешь чушью. Вот и подумай, кто идиот: мы трое или ты один?

А ты спроси у Алекспо - кто из нас двоих дурак?
Алекспо меня не любит, но и врать не станет.

P.S. Вот и занимайся тем, что у тебя получается, не лезь туда, где ты - ноль!

Ну уж в матанализе меня в ноль ещё никто не записывал.
Да и тебе эта задачка не по силам.

Видать программисту трудно понять, что площади точки и отрезка равны нулю...сидеть и писать код - много ума не надо...

Ты просто умные программы никогда не писал.

Может тебе Фихтенгольца почитать (там всё просто и понятно было написано), или к врачу обратиться (это - вернея)?

[mishin05]

А ты спроси у Алекспо - кто из нас двоих дурак?
Алекспо меня не любит, но и врать не станет.Ну уж в матанализе меня в ноль ещё никто не записывал.
Да и тебе эта задачка не по силам.Ты просто умные программы никогда не писал.

Может тебе Фихтенгольца почитать (там всё просто и понятно было написано)

Трехтомник Фихтенгольца - моя НАСТОЛЬНАЯ КНИГА. Именно по ней я ищу те моменты, которые завели матанализ "в тупик". Могу тебе "сбросить" эти три файла!

Вот выдержка, о которой мы сейчас ведем речь:  



Из основной теоремы матанализа сделан неверный вывод. Это то, что я хочу донести!

\[ Основная~ теорема~ матанализа: ~ \frac{d}{dx} \int\limits_a^x f(t)~dt = f(x);~~~~~~F(x)=F(x)-0=\int\limits_{x_0}^xF'(t) ~dt,~~F(x_0)=0. \]
\[ Отсюда:~~~F(x)+C=\int F'(x)\partial x~~~-~~вот~~ такая~~ формула~~ ВЕРНАЯ! \]
\[ F(x)=\int F'(x)dx ~~-~~и~такая~-~верная! \]

Для чего практически? С помощью второй формулы можно теперь всю геометрию записывать аналитически - в виде формул. Константа мешала.

Это то, что понимается в этом определении. Только словосочетание "неопределенный" интеграл ЖЕЛАТЕЛЬНО ЗАМЕНИТЬ. Хотя, можно и оставить, как сделали с направлением эл. тока! Единственная разница: под термином "константа интегрирования" следует понимать не только ЧИСЛО, но и другие независимые переменные, которые при дифференцировании функций нескольких переменных по одной из них, СЧИТАЛИСЬ КОНСТАНТАМИ!!! То есть - это понятие ШИРЕ. И - НИ КАКОГО СЕМЕЙСТВА! Потому, что одна и та же производная определяется ОДИНАКОВОСТЬЮ ПРИРАЩЕНИЙ ФУНКЦИЙ, а не одинаковыми свойствами некоего СЕМЕЙСТВА! "Общий вид формулы первообразной", как у Фихтенгольца. Тут он прав!