Разгон ракеты

[Иван Горин]

В связи с тем, что отпала необходимость ждать пока Горин закончит с решением разгона обычной топливной ракеты

Я сделал это аналитическое решение много раз в твоей теме, и с доказательствами.
Например, самое простое.

Прдолжение.
И получаем закон сохранения импульса в дифференциалах.
 (V_x-V_g0)dm_g+ V_x(m-dm_g)= mV
После преобразований получим, учитывая, что V_x-V=dV
mdV-V_g0dm_g=0 (1)

Разделим (1) на dt и получим диф. ур. движения тела переменной массы:
\[m\frac{dV}{dt}-V_{g0}\frac{dm_g}{dt}=0\]
где \( \frac{dm_g}{dt}\) массовый расход газов.
\(a=\frac{dV}{dt} \) ускорение ракеты
Если принять массовый расход топлива во время полёта ракеты за постоянную величину
\( m_{g1}=\frac{dm_g}{dt}\)
То получим ускорение ракеты:
\[a=\frac{F}{m}=\frac{V_{g0}m_{g1}}{m_1-m_{g1}t}\]
Скорость ракеты:
\[V=V_{g0}\ln \frac{m_1}{m_1-m_{g1}t}\]
Пройденный путь:
\[S=V_{g0}t-\frac{m_1-m_{g1}t}{m_{g1}}V\]

Где m_g=m_g1 t – масса выброшенных газов за время t
Начальная скорость в задаче равна нулю.
m₁ - начальная масса ракеты с топливом.

А у тебя уже успехи, Юдин.
Значок приращений стал записывать правильно, Δ, а не как раньше d.
Вот вспомнил  бы ты еще табличные интегралы и производные, было бы ещё лучше.

[Ser100]

А ссылка на твою скрытую программу ничего не доказывает.
Мало ли чего можно напрограммировать, да ещё используя неизвестные, скрытые в программе формулы.

Все основные формулы приведены в описании программы. Так что тебе остается только использовать их при написании своей программы и проверить с ее помощью мои результаты.

Я сделал это аналитическое решение много раз в твоей теме, и с доказательствами.

Сейчас поясню. Я раньше писал, что не выкладываю свое решение разгона безтопливной ракеты, пока ты не закончишь рассмотрение вопроса разгона топливной ракеты, но ты две недели назад отказался от дальнейшего участия в обсуждении вопроса разгона ракеты и мало того, так еще и увел обсуждение в сторону, навязав нам рассмотрение моей теории удара. Поэтому я и написал, что нет необходимости тебя ждать. А, что касается твоего вывода, то, несмотря на то, что ты получил правильные формулы, я неоднократно писал о том, что считаю твой вывод не корректным, т.к. на интервале времени Δ t ты принимаешь скорость газов как Vgo-V2, а правильно будет Vgo-Vsr. Но, как ты заявил, тебя это уже не интересует, поэтому не понятно с чего вдруг опять проснулся интерес к моей теме. Иди и занимайся своими темами (если они у тебя есть).

Вот вспомнил  бы ты еще табличные интегралы и производные, было бы ещё лучше.

А зачем? Для этого есть математические пакеты, которые прекрасно заменяют вас математиков, а я ученый и мне надо думать о сути рассматриваемых явлений, а не об интегралах.

Сергей Юдин.

[Dachnik]

А, что касается твоего вывода, то, несмотря на то, что ты получил правильные формулы, я неоднократно писал о том, что считаю твой вывод не корректным, т.к. на интервале времени Δ t ты принимаешь скорость газов как Vgo-V2, а правильно будет Vgo-Vsr.

А с чего вы решили, что у него формулы правильные.  Вот у него получается
\[ \int adt  =  \int{\frac{V_{g0}m_{g1}}{m_1-m_{g1}t}}dt  =  V_{g0}\ln \frac{m_1}{m_1-m_{g1}t}   (1) \]
Просто справа взял, да влепил решение Циолковского.
\[ U = V_{g0}\ln \frac{m_o}{m_1}   (2) \]
m₁ это масса ракеты после выработки топлива.
И это его уравнение движения ракеты с переменной массой ошибочное.
\[ m\frac{dV}{dt}-V_{g0}\frac{dm_g}{dt}=0   (3) \]
dm/dt = q - удельный расход топлива.
Тогда получается уравнение\[  dv = \frac {V_{g0}q}{m}dt   (4) \]
При интегрировании получается
\[ V = \frac {V_{g0}qt}{m}  (5) \]
q*t/m < 1 Это значит скорость ракеты не может превысить скорость истечения газа.
Как он получил выражение из своего дифференциального уравнения   (3)
\[ \int{\frac{V_{g0}m_{g1}}{m_1-m_{g1}t}}dt    (6) \]

Уравнение движения тела с переменной массой правильно составил Мещерский.
\[ M_t\frac {dv}{dt} + U\frac {dm}{dt} = 0  (7) \]
Тут М_t - переменная масса ракеты во время t.
 М_t = М - q*t    (8)
q - удельный расход топлива M/t., величина постоянная.
U - скорость удельной массы газа. величина постоянная.
Циолковский взял массу постоянную (это ошибка). Потому вывода его уравнения в интернете не найдете.
Дифференциальное уравнение Мещерского для ракеты такое.
\[ (M - qt)\frac {dv}{dt} + U*q = 0                  \frac {dv}{dt} = -U\frac {q}{M - qt}   (9) \]
\[ V = U\int {\frac {q}{M - qt}} dt      (10) \]
Может математики меня поправят, но у меня получается решение уравнения Мещерского
\[ V = U\frac {q*t}{M - q*t} \]

Проверяем на Сатурн-5
Вес ракеты 2965 т
Вес горючки 2149
Время работы 150 сек
Расход  в секунду пяти двигателей 12,885 т/сек
Скорость газаU = 3 км/сек
\[ V = 3\frac {12.885*150}{2965 – 12.885*150} = \frac { 5798}{581} =   10 км/ сек   \]
Но это без тормозящей силы тяжести.    

А теперь расчет с учетом тормозящей силы тяжести.
Сила тяги 34000 кН. = 3466 т.
Вес топлива первой ступени 2149 т
Расход  в секунду одного двигателя 2,577 т/сек
Время работы 150 сек
Израсходовано на 5 двигателей 2,577*150*5 = 1932,75 т
Осталось 2149 – 1932 = 216 т.
В последний момент работы двигателей  первой ступени
вес ракеты 2965 - 2149 +216 = 1032т.
Подъемная сила 3466– 1032  = 2434 т.
Конечное ускорение 2434*9,81/1032 = 23,6  м/сек2
Начальное ускорение 3466*9,81/2965 = 11,5 м/сек2
Среднее получается (11,5+23,6)/2 =  17,55 м/сек2
Конечная скорость  17,55*150 = 2632,5 м/сек = 2,63 км/сек
Википедия показывает конечную скорость
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BD-5

. Первая ступень работала 2,5 минуты, разгоняла последующие ступени и полезную нагрузку до скорости 2,68 км/с

[Ser100]

А с чего вы решили, что у него формулы правильные.  Вот у него получается
\[ \int adt  =  \int{\frac{V_{g0}m_{g1}}{m_1-m_{g1}t}}dt  =  V_{g0}\ln \frac{m_1}{m_1-m_{g1}t}   (1) \]
Просто справа взял, да влепил решение Циолковского.
\[ U = V_{g0}\ln \frac{m_o}{m_1}   (2) \]

А я еще раз повторяю, что решение дифференциального уравнения, описывающего разгон топливной ракеты, сделано Гориным правильно, так же, как и Аидом и мною, но вот само дифференциальное уравнение получено Гориным не корректно. Для получения дифференциального уравнения надо составлять, например, силовой баланс для мгновенного ускорения, а для получения решения в приращениях надо составлять баланс (пусть даже тот же силовой) для среднего ускорения на интервале времени Δt, а Горин не делает в этом различий. Вот смотрите это формула для среднего ускорения

ΔV/Δt = m_g1*Vg0 / (m1 - m_g1*Δt / 2)

а вот формула для мгновенного ускорения

dV/dt= m_g1*Vg0 / (m1 - m_g1*t)

Да, при разгоне топливной ракеты отличия будут небольшие, а вот при разгоне безтопливной ракеты формулы будут уже более существенно отличаться, но в любом случае это разные формулы, которые надо использовать для разных целей. Дифференциальное уравнение надо использовать или для его аналитического решения или для его решения численными методами, например, методом Рунге-Кутта, а уравнение в приращениях надо и использовать для решения задачи в приращениях. Таким образом, используя решение в приращениях мы можем проверить правильность составления дифференциального уравнения или правильность его аналитического решения, что я, используя программу Raketa, и сделал и подтверждаю, что дифференциальное уравнение, записанное выше, правильное и его решение для нахождения текущей скорости ракеты тоже правильное. А вот как раз у Циолковского никакого решения дифференциального уравнения нет и его путаный вывод текущей скорости ракеты больше похож на подгонку результата под заданный ответ.

Получаем
\[ U =\frac {1966}{581} = 3,38  \]
По данным НАСА через 150 секунд полета Сатурн-5 имел скорость http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BD-5
2,68 км/с
В моем расчете не учитывалась сопротивление атмосферы, которое пропорционально квадрату скорости при скоростях меньше 330 м/сек, а потом импульс обратного  удара при переходе на сверхзвук.
Но порядок чисел похож.

Если Вы хотите подтвердить расчетами эти экспериментальные данные, то надо выполнять более точные расчеты, а то 3,38 как то далеко от 2,68, или надо провести простейшие эксперименты, как, например, это сделал простой школьник, который экспериментально доказал справедливость формулы Циолковского для скорости ракеты вот здесь http://fshla72.ucoz.ru/reaktivnoe_dvigenie.doc .

С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Ser100]

q*t/m < 1 Это значит скорость ракеты не может превысить скорость истечения газа.

Это значит масса топливной ракеты не может стать отрицательной или реальное время разгона t<m/q, а максимальная скорость ракеты никак не привязана к скорости выброса газов и может быть больше нее.

Циолковский взял массу постоянную (это ошибка). Потому вывода его уравнения в интернете не найдете.
Дифференциальное уравнение Мещерского для ракеты такое.
\[ (M - qt)\frac {dv}{dt} + U*q = 0                  \frac {dv}{dt} = -U\frac {q}{M - qt}   (9) \]

Я уже писал, что вывод уравнения для скорости ракеты у Циолковского с использованием импульсного подхода притянут за уши, поэтому, в Интернете его не будет, но он все же есть. Смотрите его работу "Исследование мировых пространств реактивными приборами" в сборнике его трудов "Труды по реактивной технике". А вот ваше, так сказать, уравнение Мещерского это ровно то, что писали здесь Аид, Горин и я, т.е. это наше уравнение для мгновенного ускорения, которое элементарно получается при использовании силового подхода, и которое я приводил выше (только у Вас оно записано в других обозначениях).

 dV/dt= m_g1*Vg0 / (m1 - m_g1*t)

Может математики меня поправят, но у меня получается решение уравнения Мещерского
\[ V = U\frac {q*t}{M - q*t} \]

Я не математик, но тоже могу поправить (с использованием математического пакета Maple). Получается формула для скорости, как у Циолковского и у нас с Аидом и Гориным.



С наилучшими пожеланиями Сергей Юдин.

[Dachnik]

Это значит масса топливной ракеты не может стать отрицательной или реальное время разгона t<m/q, а максимальная скорость ракеты никак не привязана к скорости выброса газов и может быть больше нее.

Я уже писал, что вывод уравнения для скорости ракеты у Циолковского с использованием импульсного подхода притянут за уши, поэтому, в Интернете его не будет, но он все же есть. Смотрите его работу "Исследование мировых пространств реактивными приборами" в сборнике его трудов "Труды по реактивной технике". А вот ваше, так сказать, уравнение Мещерского это ровно то, что писали здесь Аид, Горин и я, т.е. это наше уравнение для мгновенного ускорения, которое элементарно получается при использовании силового подхода, и которое я приводил выше (только у Вас оно записано в других обозначениях).

 dV/dt= m_g1*Vg0 / (m1 - m_g1*t)
Я не математик, но тоже могу поправить (с использованием математического пакета Maple). Получается формула для скорости, как у Циолковского и у нас с Аидом и Гориным.

Фигня у вас   получается.
Вы, уважаемый, вместо того, чтобы понять, что я пишу, начинаете поучать меня вещам тривиальным.
типа "Это значит масса топливной ракеты не может стать отрицательной или реальное время разгона t<m/q, а максимальная скорость ракеты никак не привязана к скорости выброса газов и может быть больше нее".
Или это вы для себя повторяете, чтобы не забыть?

Вот я уточнил исходные данные и поправил свое сообщение.
Скорость ракеты по окончанию работы первой ступени с учетом гравитационного торможения будет
Сила тяги 34000 кН. = 3466 т.
Вес топлива первой ступени 2149 т
Расход  в секунду одного двигателя 2,577 т/сек
Время работы 150 сек
Израсходовано на 5 двигателей 2,577*150*5 = 1932,75 т
Осталось 2149 – 1932 = 216 т.
В последний момент работы двигателей  первой ступени
вес ракеты 2965 - 2149 +216 = 1032т.
Подъемная сила 3466– 1032  = 2434 т.
Конечное ускорение 2434*9,81/1032 = 23,6  м/сек²
Начальное ускорение 3466*9,81/2965 = 11,5 м/сек²
Среднее получается (11,5+23,6)/2 =  17,55 м/сек²
Конечная скорость  17,55*150 = 2632,5 м/сек = 2,63 км/сек
Википедия показывает конечную скорость
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%BD-5

. Первая ступень работала 2,5 минуты, разгоняла последующие ступени и полезную нагрузку до скорости 2,68 км/с

Может у них тяга была чуток побольше, чем в моем источнике.

Кстати, попросите математика, чтобы он показал производную от выражения
\[ F = Ln\frac {1}{M - qt} \]

А эту ссылку, вы сами открывали, ну и как впечатление? Похоже вы в восторге +@>
http://fshla72.ucoz.ru/reaktivnoe_dvigenie.doc

[Ser100]

Вы, уважаемый, вместо того, чтобы понять, что я пишу, начинаете поучать меня вещам тривиальным.
типа "Это значит масса топливной ракеты не может стать отрицательной или реальное время разгона t<m/q, а максимальная скорость ракеты никак не привязана к скорости выброса газов и может быть больше нее".
Или это вы для себя повторяете, чтобы не забыть?

Вообще то, я хотел сказать, чтобы вы не писали глупостей о том, что скорость топливной ракеты не может превысить скорость истечения газа относительно ракеты, но, если Вы не хотите знать элементарных вещей, то это Ваш выбор.

Вот я уточнил исходные данные и поправил свое сообщение.

Ну, и какое отношение Ваши расчеты имеют к теоретически решаемой нами задаче, тем более, что Вы ее решаете в приращениях, но берете только один шаг решения, а при такой точности расчета, когда за один шаг ускорение изменяется в разы, ни о какой точности расчетов не может быть и речи. Тем более, что Ваша задача элементарно решается почти точно и я не пойму что Вы с ней мучаетесь и отвлекает меня.

Кстати, попросите математика, чтобы он показал производную от выражения
\[ F = Ln\frac {1}{M - qt} \]

Нет у меня в штате математиков. Пришлось брать самому. Ну, и что дальше. Вам что ли сообщить, что получилось, а то Вы не можете справиться (судя по тому, как Вы не смогли вычислить интеграл).

А эту ссылку, вы сами открывали, ну и как впечатление? Похоже вы в восторге +@>
http://fshla72.ucoz.ru/reaktivnoe_dvigenie.doc

Да, открывал. И рад за парнишку, что у него мозги работают лучше, чем у Вас.

Сергей Юдин.

[Dachnik]

Граждане! Караул!
Что творит этот Юдин на форуме.
Приписывает мне свои глупости, да потом меня же за них попрекает.
А ведь такие пустоголовые на форумах не редкость.
Обратите внимание на расширение файла "doc"
На современных вордах такие открываются без формул.
И что школьник там изображал не понятно.
Но эта фраза школьника мне понравилась.
"Первые управляемые ракеты применили китайцы, поставив пороховые ускорители на стрелы" +@>
Тема нормальная, но общаться с нафик надо.

[Ser100]

Граждане! Караул!
Что творит этот Юдин на форуме.
Приписывает мне свои глупости, да потом меня же за них попрекает.

Немедленно сообщите, какую конкретно глупость я приписал Вам. До тех пор пока Вы не подтвердите это заявление, я буду считать все Ваши заявления клеветой и удалять их.

Сергей Юдин.