Какой закон в механике Ньютона главнее: второй или третий?

[Петров А. М.]

К сожалению, до сих пор остаётся возможность путаницы в понимании сути второго закона механики из-за отсутствия в его формулировке принципиально важного указания на то, что он действует только в отсутствие (или при пренебрежимо малых величинах) сил, зависящих от координаты и скорости.

Враньё.

Давайте разберёмся с этим вопросом.
Вот характерный пример дифференциального уравнения движения некоего осциллятора с диссипацией, находящегося под внешним воздействием:
m d²x/dt² + ρ dx/dt + kx = F(t).
Это уравнение можно представить, согласно третьему закону механики, в виде баланса силы действия F(t) и сил противодействия (инерции, диссипации и возвращающей силы):
F(t) +(–m d²x/dt²) + (–ρ dx/dt) + (–kx) = 0.
Такое представление ничего не изменит в математической процедуре решения дифференциального уравнения, но оно чётко покажет физический смысл данного динамического процесса.
А теперь допустим, что вы – Herodotus, и вам надо не прояснить, а, наоборот, затуманить физический смысл решаемой задачи (не будем уточнять, для чего). Для этого вы искусственно «подгоняете» уравнение движение под второй закон Ньютона:
m d²x/dt² = F(t) – ρ dx/dt – kx.
В таком виде вы показываете это уравнение, скажем, студентам, которые, под угрозой неуда в зачётке, вынужденно примут эту «лапшу на своих ушах» за научную истину. Ну, а дальше, пользуясь тем, что никто не уличил вас в научном мошенничестве, вы как бы забываете о втором законе механики, согласно которому решение задачи должно подтвердить пропорциональную зависимость между внешней силой F(t) и ускорением d²x/dt², и решаете дифференциальное уравнение в его обычной математической форме, со вполне возможно непредсказуемым для вас результатом (оправдываться за который вам, слава богу, ни перед кем будет не нужно; уж такая у нас сейчас сложилась система, включая науку и образование, с режимом благоприятствования для разного рода не только крупных, но и мелких мошенников).
Добавить что-либо к вышесказанному мне пока нечего. Посмотрим, как мой оппонент начнёт выкручиваться из того незавидного положения, в которое он сам угодил по своей недальновидности.

[Петров А. М.]

Все силы в механике, находятся в компетенции второго закона механики имени Ньютона.
 

В случае одномерного линейного осциллятора с затуханием
\[ ma = F;  a \equiv d^2x/dt^2;  F(x,dx/dt)=-kx-\lambda dx/dt.  \]
Уравнение решается элементарно и без всяких сюрпризов.
Впрочем, у вас, как я заметил, даже с определением производной вектора постоянной длины большие проблемы.

Herodotus представил пример динамической задачи, в которой присутствуют силы, зависящие от координаты и скорости, но она, тем не менее, по его мнению, относится к компетенции второго закона механики. Посмотрим, насколько он прав в этом своём утверждении.
Прежде всего, надо сказать, что отнесение динамической задачи к тому или иному закону механики не влияет на способ её математического решения. Задача решается элементарно или вообще не поддаётся решению аналитическими методами независимо от того, как её назовут и в какой класс задач поставят.
Тогда не признать ли ту «методологическую надстройку», которая создаётся над математическим решением задачи, сугубо субъективным человеческим фактором и не предоставить ли каждому исследователю право по своему усмотрению относить решаемую им динамическую задачу к тому закону механики, к какому у него «лежит душа»?
Проверим на примере задачи, которую предложил Herodotus, существуют ли в этом вопросе объективные критерии, исключающие субъективный произвол.
Третий закон механики, не накладывающий никаких ограничений на виды и число участвующих в динамическом процессе сил (и поэтому являющийся наиболее общим законом ньютоновой механики), позволяет представить дифференциальное уравнение движения для данной задачи в виде баланса всех трёх участвующих в ней сил (инерции, диссипативной и возвращающей осциллятор в положение равновесия):
(–m d²x/dt²)+(–λ dx/dt)+(–kx)=0.
Заметим, что сила внешнего воздействия на осциллятор в данной задаче отсутствует, т.е. он находится в замкнутом режиме собственных затухающих колебаний. Если к моменту наблюдений запас энергии и импульса от прежних внешних воздействий уже исчерпан, осциллятор будет оставаться в состоянии покоя (с нулевыми значениями координаты, скорости и ускорения). Если же внутренний запас энергии и импульса осциллятора будет не нулевым, то внутренний динамический процесс в осцилляторе будет продолжаться, а силы инерции, диссипации и возвращающая сила будут оказывать ему сопротивление, каждая по своему закону пропорциональности (т.е. пропорционально второй производной по времени от координаты, первой производной по времени от координаты и самóй координате), до тех пор, пока весь запас энергии и импульса не уйдёт в диссипативные потери.
Herodotus полагает, что Исаак Ньютон имел в виду именно такого рода динамические процессы, когда формулировал свой второй закон механики:
"Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur".
Но ведь в рассматриваемом нами динамическом процессе нет никакой motrici impressae (движущей силы), которая бы заставляла осциллятор изменять своё движение пропорционально этой силе и двигаться в том же направлении, в каком она действует самá! Мы видим нечто совсем иное, а именно: совместное, хотя и принципиально разного характера, отрицательное силовое воздействие трёх, функционально связанных между собой дифференциально-интегральными зависимостями, внутренних сил осциллятора на его же сугубо внутренний динамический процесс. Называть происходящее внутри данного осциллятора не только тождественным, но даже отдалённо похожим на процессы, описываемые вторым законом механики, означает заниматься ничем иным, как научным мошенничеством! И для такого квалифицирования действий определённой группы учёных и педагогов высшей школы, которых взялся представлять здесь наш оппонент Herodotus, есть достаточные основания и вполне объективные критерии.
В заключение замечу, что с определением производной вектора постоянной длины у нас нет проблем. В комплексном виде (на комплексной плоскости), в случае кругового движения, эта математическая процедура выглядит так:
x=R exp(iωt),
dx/dt=iωR exp(iωt),
d²x/dt²= –ω²R exp(iωt).

[Петров А. М.]

Студенты пишут второй закон как дифференциальное уравнение и решают его. Сам много лет учил студентов как это делать… Вот посмотрите
http://www.math24.ru/%D0%B2%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9-%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD-%D0%BD%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0.html

Посмотрели. Спешим поделиться впечатлениями.
В достаточно общем (но, конечно, не самом общем) случае мы можем иметь дифференциальное уравнение движения, в котором присутствуют члены (слагаемые), зависящие (допустим, по отдельности) от времени, от координаты, от скорости и от ускорения. Чёткую физическую интерпретацию такому уравнению движения даёт его представление в виде баланса (суммы) сил действия и противодействия,  с отнесением данной динамической задачи к области компетенции третьего закона Ньютона.
Но есть и другой путь, при котором член дифференциального уравнения, зависящий от второй производной по времени, выносится в отдельную часть уравнения и, с игнорированием его функциональных связей с другими членами уравнения, фиктивно провозглашается пропорциональная зависимость этого члена от суммы остальных членов уравнения, как бы в соответствии со вторым законом Ньютона.
Естественно, решается уравнение всё-таки по законам математики, а не физического фантома, каковым здесь невольно оказывается второй закон Ньютона, выступающий  в роли "пришей кобыле хвост".
И, конечно, после крупнейших афёр ХХ века, провёрнутых Эйнштейном с его СТО и ОТО, такое мелкое мошенничество с "пересортицей" законов механики Ньютона для кого-то (но не для нас)  будет представляться детской забавой (а наша задача - добиться её официальной квалификации именно как научного мошенничества).

[Вашкевич Виктор]

Давайте разберёмся с этим вопросом.
Вот характерный пример дифференциального уравнения движения некоего осциллятора с диссипацией, находящегося под внешним воздействием:
m d²x/dt² + ρ dx/dt + kx = F(t).
Это уравнение можно представить, согласно третьему закону механики, в виде баланса силы действия F(t) и сил противодействия (инерции, диссипации и возвращающей силы):



                 [..................]

Уважаемый Петров. Вы взяли пример  движения осциллятора под внешним воздействием, но ничего не говорите о случае резонанса. Почему?

[Болгарин]

Уважаемый Петров. Вы взяли пример  движения осциллятора под внешним воздействием, но ничего не говорите о случае резонанса. Почему?

Каков он?
Зомби или Мафия?     

[Фёдор Менде]

Приведу пример, который показывает, что третий закон Ньютона включает второй закон.

F=ma (1)

Если  тело движется с ускорением а, то за время t это тело пройдёт расстояние

S=at² /2 (2)

и достигнет скорости

 v=at. (3)

Пользуясь формулой для работы, затраченной на этом пути источником силы.

A=FS

И подставляя в это соотношения (1), (2) и (3), получаем

A= mv² /2

Это и есть та кинетическая энергия, которую сообщит внешняя сила за время t против сил инерции.
Когда мы прикладываем к свободному телу вешнюю силу, то тело начинает ускорятся. Но в любой точке его прямолинейной траектории действует третий закон Ньютона и существует баланс сил, когда внешняя сила уравновешена силой инерции. Поскольку на всём пути имеется внешняя сила, приложенная к ускоряемому телу, (в данном случае она постоянна, поскольку постоянно ускорение), то эта сила на этом пути и совершает работу. Эта работа превращается в кинетическую энергию движущегося тела. 
Именно, приведенный  пример показывает, что второй закон является составной частью третьего закона и без второго закона третий закон  для данного случая записать нельзя.

[Вашкевич Виктор]

Каков он?
Зомби или Мафия?     

Сейчас проверим.

[Болгарин]

Сейчас проверим.

Пишет длинно.
Если зомби, оно энтусиазированно.

[Петров А. М.]

Уважаемый Петров. Вы взяли пример  движения осциллятора под внешним воздействием, но ничего не говорите о случае резонанса. Почему?

Будет время - доберёмся и до случая резонанса (действительно, самого интересного и, если внимательно присмотреться к любому явлению Природы, самого распространённого и самого важного в ней).

[Петров А. М.]

У меня вопрос к Федору Менде: разделяет ли он взгляды Петрова на то, что второй закон Ньютона является частным случаем третьего…

Взгляд Петрова на второй закон Ньютона, как на частный случай третьего, педагог высшей школы Alexpo считает «в принципе неверным!».
От этого, действительно, становится грустно. Потому что это наглядно свидетельствует об общей запущенности методологической работы в области точных наук. Нынешний профессорско-преподавательский состав, в своей массе, как видно, с этим смирился и даже не замечает катастрофического падения собственной методологической культуры…
Нельзя требовать от гениев науки прошлых времён исчерпывающего ответа на вопросы, выдвигаемые современной практикой. Наша задача – глубоко вникнуть в логику их творческого процесса, чтобы самим найти правильные ответы там, где в работах гениев остались недосказанности, неточности, а иногда и ошибки. В полной мере это относится и к трём законам механики Ньютона (как  известно, авторство в открытии первого из этих законов принадлежит другому гению науки – Галилею).
Какова логика в самой последовательности формулирования законов механики Ньютона? Эта логика такова: от наиболее простого к наиболее сложному через промежуточное, преходящее.
Простейший случай – полное отсутствие каких бы то ни было сил. Это весьма полезная научная абстракция для исходного пункта в исследовании динамических процессов. Человечество шло к освоению (включению в свой методологический арсенал) этой абстракции две тысячи лет: от Аристотеля до Галилея.
И вот в ХХI веке объявляются неучи в научно-педагогической  среде (к тому же, с учёной степенью доктора наук, если иметь в виду профессора Канарёва Ф.М.), которые предлагают отказаться от этого общечеловеческого достижения, заменив в формулировке первого закона механики «отсутствие сил» на «равновесие сил».
Формалисты найдут и у самогó Ньютона такой же «грешок»: в комментарии к первому закону механики он относит к случаю «отсутствия сил» вращение волчка. Согласимся с этим? Нет, конечно: назовём это ошибкой гения.
В третьем законе Ньютона нет никаких ограничений ни на количество, ни на характер действующих сил. Поэтому он является наиболее общим законом механики.
А теперь рассмотрим промежуточный вариант. Величие Ньютона проявилось в открытии пропорциональной зависимости между действующей на тело силой и результатом её действия. Вот как он сформулировал свой второй закон в своём фундаментальном труде «Математические начала натуральной философии» (перевод с латыни Л.С.Полака, под редакцией академика А.Н.Крылова):
«Аксиомы или законы движения… Закон II.
Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует» (конец цитаты).
Строго говоря, эта формулировка не точна и даже ошибочна. Производные по времени Ньютон называет «флюксиями». Значит, под «изменением» он понимает конечное приращение. Однако достаточно посмотреть на простейшее круговое движение, чтобы убедиться в том, что приращение количества движения отнюдь не направлено к центру вращения, куда направлена центростремительная сила, превращающая движение в круговое. В этом Ньютон ошибся.
Поэтому-то ньютонова формулировка второго закона механики позднее уточняется путём замены понятия «изменение» на «производную по времени».
К сожалению, этим всё и ограничилось. Но ведь если на тело действуют, скажем, диссипативная сила, зависящая от скорости, и сила упругости, зависящая от координаты (или отклонения от положения равновесия), то решение дифференциального уравнения движения, в котором различные силы действуют, не соблюдая принцип суперпозиции, в общем случае не покажет пропорциональной зависимости между действующей на тело силой и второй производной по времени от координаты.
Понятно, что указанная Ньютоном пропорциональная зависимость будет соблюдаться только в отсутствие сил, зависящих от координаты и скорости. В этом и должно состоять ещё одно важное уточнение (исправление) ньютоновой формулировки второго закона механики.
После такого уточнения вопрос о том, является ли второй закон механики частным случаем третьего закона, отпадает сам собой.
В заключение ещё раз сведём воедино разновидности формулировок второго закона механики, пополнив нашу «коллекцию» подсказанным  Глобальным модератором Alexpo балансом импульсов (пункт 6), а желающие могут и продолжить:
1. F=ma.
2. a=F/m.
3. F+(-ma)=0; частный случай третьего закона механики (нулевой баланс сил действия и противодействия).
4. m=F/a; формула, практически используемая для измерения массы тел.
5. Fi= –ma; формула, применяемая для определения и измерения сил инерции.
6. d(mv) = Fdt.
и т.д., но при обязательном равенстве нулю сил, зависящих от координаты и скорости.

[Болгарин]

Будет время - доберёмся и до случая резонанса (действительно, самого интересного и, если внимательно присмотреться к любому явлению Природы, самого распространённого и самого важного в ней).

Когда будешь добираться.?    

ОНИ добрались прежде веков.

[Петров А. М.]

Когда будешь добираться.?    
ОНИ добрались прежде веков.

Пока не вижу того принципиально нового и важного, что можно было бы добавить к уже изложенному о явлении резонанса в научной, учебной и справочной литературе.
Как только появится острая необходимость высказаться по этому вопросу, обязательно выскажусь.

[Вашкевич Виктор]

Пока не вижу того принципиально нового и важного, что можно было бы добавить к уже изложенному о явлении резонанса в научной, учебной и справочной литературе.
Как только появится острая необходимость высказаться по этому вопросу, обязательно выскажусь.

Сомневаюсь я. У Вас и несколько лет назад не воникло желания высказаться
по резонансу, вряд ли она появится и сейчас.

[Болгарин]

Сомневаюсь я. У Вас и несколько лет назад не воникло желания высказаться
по резонансу, вряд ли она появится и сейчас.

 

Перевоспитать или расстрелять?   

[Вашкевич Виктор]

 

Перевоспитать или расстрелять?   

Он мой ровесник, ему 79 лет. Нет смысла перевоспитывать.
Расстрелять  в назидание молодым.

[Болгарин]

Он мой ровесник, ему 79 лет. Нет смысла перевоспитывать.
Расстрелять  в назидание молодым.

Дадим его тело биоложкам, чтобы изучать ТОПЛИВИКОВ?

[Болгарин]

Дадим его тело биоложкам, чтобы изучать ТОПЛИВИКОВ?

Пусть разгадать древностью Заговора!

 

[Фёдор Менде]

class и Вашкевич, прекратите загаживать тему, если вы не пособники Алекспо и Херодота!!!

[Фёдор Менде]

После того, как Алекспо по ссылке http://bolshoyforum.com/forum/index.php?topic=421038.1640 пролетел как фанера над Парижем, он в эту тему и нос сунуть боиться!!!

[Вашкевич Виктор]

class и Вашкевич, прекратите загаживать тему, если вы не пособники Алекспо и Херодота!!!

А вот у нас мнение, что Федор Менде  - пятая колонна, пособник мировой закулисы.