Задача на парадокс близнецов

[severe]

А Вас не смущает, что у зайчика не будет наблюдаться эффект Доплера.

Если поверхность, по которой бежит зайчик, удаляется от наблюдателя, то он будет смещён в красную область, приближается - в синюю, неподвижна - без смещения.

[severe]

Замена радиуса не влияет на физический смысл этой формулы.
Она всегда показывает скорость на орбите ракеты

В СО ракеты её скорость на орбите равна нулю. Скорость ракеты в неИСО ракеты относительно ИСО центра вращения - это нонсенс.

[severe]

\(\displaystyle v^2=\frac{\omega^2 R^2}{1+\frac{\omega^2~R^2}{c^2} }\).

А не допущена ли при выводе этой формулы ошибка? Я имею в виду, что, если бы в знаменателе стоял знак минус, то ничего особо сногсшибательного не было - ну стремился бы квадрат линейной скорости к \( (-c^2) \). Предел линейной скорости при стремлении к бесконечности угловой был бы мнимый. Я к Вам как к опытному математику обращаюсь, перепроверьте, пожалуйста, вывод. Вдруг это так?

[Ost]

Если поверхность, по которой бежит зайчик, удаляется от наблюдателя, то он будет смещён в красную область, приближается - в синюю, неподвижна - без смещения.

Вот и ясно, зайчик это просто освещение поверхности экрана и соответственно
в этом свете, при движении экрана, будет наблюдаться эффект Доплера.
Зайчик сам по себе не проявляет свойств материальных тел имеющих массу покоя.
Он просто отражение света от поверхности тела и передаёт информацию о состоянии тела.

[Ost]

В СО ракеты её скорость на орбите равна нулю. Скорость ракеты в неИСО ракеты относительно ИСО центра вращения - это нонсенс.

Формула показывает скорость ракеты которая наблюдается в ИСО. Точка А принадлежит ИСО.

[Ost]

А не допущена ли при выводе этой формулы ошибка? Я имею в виду, что, если бы в знаменателе стоял знак минус, то ничего особо сногсшибательного не было - ну стремился бы квадрат линейной скорости к \( (-c^2) \). Предел линейной скорости при стремлении к бесконечности угловой был бы мнимый. Я к Вам как к опытному математику обращаюсь, перепроверьте, пожалуйста, вывод. Вдруг это так?

Формула правильная в контексте поставленной задачи.
 

[severe]

Формула правильная в контексте поставленной задачи.

Спасибо за перепроверку.

[severe]

Формула правильная в контексте поставленной задачи.

Если мы в эту формулу поставим в качестве \( \omega \) угловую скорость вращения центрального шара в неИСО ракеты, в качестве \( v \) - линейную скорость ракеты в ИСО центрального шара, в качестве \( R \) - расстояние от центра шара до ракеты в неИСО ракеты, то она останется правильной?

[Ost]

Если мы в эту формулу поставим в качестве \( \omega \) угловую скорость вращения центрального шара в неИСО ракеты, в качестве \( v \) - линейную скорость ракеты в ИСО центрального шара, в качестве \( R \) - расстояние от центра шара до ракеты в неИСО ракеты, то она останется правильной?

Да, будет правильной, если шар не вращается в ИСО.

Для зайчика подойдёт только формула \(\displaystyle v=\omega R\).

[severe]

Да, будет правильной, если шар не вращается в ИСО.

Для зайчика подойдёт только формула \(\displaystyle v=\omega R\).

Пусть теперь центральный шар светится. На ракете будет зайчик. Очевидно, для него подойдёт формула \(\displaystyle v^2=\frac{\omega^2 R^2}{1+\frac{\omega^2~R^2}{c^2} }\), где \( v \) - скорость зайчика в ИСО источника света, \( \omega \) - угловая скорость источника света в неИСО зайчика, R - расстояние от центра источника света до зайчика в неИСО зайчика.

[ER*]

Зависит от строгости следования теории. В этом случае предполагается, что кривизна траектории маленькая и движение
на коротком участке траектории можно считать прямолинейным и формально применить кинематику СТО.

СТО применима всегда, если наблюдатель в ИСО. Как движется наблюдаемый объект не играет никакой роли. В данной задаче ракета могла и зигзагами двигаться, и взад-вперёд. Если модуль вектора скорости константа, то всё будет строго по Лоренцу, замедление в гамма раз.

Это распространнённое заблуждение, что СТО принципиально неприменима для неинерциального движения. Если наблюдатель инерциален - то нет проблем, теория работает.

[Ost]

Пусть теперь центральный шар светится. На ракете будет зайчик. Очевидно, для него подойдёт формула \(\displaystyle v^2=\frac{\omega^2 R^2}{1+\frac{\omega^2~R^2}{c^2} }\), где \( v \) - скорость зайчика в ИСО источника света, \( \omega \) - угловая скорость источника света в неИСО зайчика, R - расстояние от центра источника света до зайчика в неИСО зайчика.

Скорость зайчика ограничена скоростью ракеты. Формулу можно разделить на две части

\(\displaystyle {\omega^{'}}^2=\frac{\omega^2}{1+\frac{\omega^2~R^2}{c^2} }\)  (1)      и        \(\displaystyle v^2={\omega^{'}}^2 R^2 \);      \(\displaystyle v=\omega^{'} R \);    \(\displaystyle \omega^{'}~-\) угловая скорость ракеты относительно ИСО.
Если вместо ракеты будет экран, скорость зайчика может быть больше скорости света, так как с угловой скорости  в ИСО снимается ограничение (1).

[kichrot]

...
Это распространнённое заблуждение, что СТО принципиально неприменима для неинерциального движения. Если наблюдатель инерциален - то нет проблем, теория работает.

Распространенное заблуждение, что СТО применимо для неинерциального движения. 
С каким бы ускорением не двигался, наблюдаемый из ИСО, объект, для расчетов, в конечном счете, берется его средняя мгновенная скорость, для каждого измеряемого интервала времени:

... В данной задаче ракета могла и зигзагами двигаться, и взад-вперёд. Если модуль вектора скорости константа, то всё будет строго по Лоренцу, замедление в гамма раз.
...

 

[ER*]

С каким бы ускорением не двигался, наблюдаемый из ИСО, объект, для расчетов, в конечном счете, берется его средняя мгновенная скорость, для каждого измеряемого интервала времени:

 

В вас заговорил Капитан Очевидность? )) Вот именно поэтому в СТО важно лишь что бы наблюдатель был инерциален, а с неинерциальностью наблюдаемого объекта справится любой троечник, умеющий брать интеграл. Т.е. СТО применима к неинерциальному движению объекта, если наблюдатель в ИСО.

Вы о чём сейчас? ))

[severe]

В вас заговорил Капитан Очевидность? )) Вот именно поэтому в СТО важно лишь что бы наблюдатель был инерциален, а с неинерциальностью наблюдаемого объекта справится любой троечник, умеющий брать интеграл. Т.е. СТО применима к неинерциальному движению объекта, если наблюдатель в ИСО.

Вы о чём сейчас? ))

Он видимо о том, что, если наблюдатель вообще не меняет ИСО, то "парадокс близнецов" по-Вашему легко решается в рамках одной ИСО путём отправки первых часов туда и обратно, а вторые часы - на руке наблюдателя.

[ER*]

Он видимо о том, что, если наблюдатель вообще не меняет ИСО, то "парадокс близнецов" по-Вашему легко решается в рамках одной ИСО путём отправки первых часов туда и обратно, а вторые часы - на руке наблюдателя.

Именно так и получаем, что часы слетавшие туда-обратно отстанут. Тут легко применима СТО. Трудности возникают при переходе в СО часов. Это неинерциальная система отсчёта: что бы вернуться и сравнить показания, нужно включать двигатель, и испытать ускорение.

[severe]

Скорость зайчика ограничена скоростью ракеты. Формулу можно разделить на две части

\(\displaystyle {\omega^{'}}^2=\frac{\omega^2}{1+\frac{\omega^2~R^2}{c^2} }\)  (1)      и        \(\displaystyle v^2={\omega^{'}}^2 R^2 \);      \(\displaystyle v=\omega^{'} R \);    \(\displaystyle \omega^{'}~-\) угловая скорость ракеты относительно ИСО.
Если вместо ракеты будет экран, скорость зайчика может быть больше скорости света, так как с угловой скорости  в ИСО снимается ограничение (1).

Если шар1 вращается вокруг шара2 по часовой, то шар2 вращается вокруг шара1 против часовой. Т.е. их угловые скорости отличаются только знаком. По крайней мере так в кинематике, где нет ИСО и неИСО, а только СО.

[kichrot]

...
Вы о чём сейчас? ))

Я о первичности яйца или курицы. 

[severe]

Трудности возникают при переходе в СО часов. Это неинерциальная система отсчёта

При переходе кого-чего, неужели наблюдателя?
В одной и той же ИСО СТО чем отличается от классики? Ограниченностью скорости частиц с! Что говорят классикам? Докажите экспериментально, что частицы могут превысить с 
И тут я с таким же апломбом уже к обоим представителям разных партий, докажите экспериментально, что зайцы могут превысить с   

[ER*]

И тут я с таким же апломбом уже к обоим представителям разных партий, докажите экспериментально, что зайцы могут превысить с   

Я же Вам уже предлагал одно такое доказательство. Могу и повторить:

Пусть лично Вы выходите в безоблачную лунную ночь с фонариком, и светите на Луну достаточно долго. Очевидно, гипотетический наблюдатель на Луне, с помощью мощного гипотетического телескопа, разглядит Ваш фонарик. Что означает - заяц достиг Луны. Теперь резко поворачиваете фонарик вниз, заяц уже на Земле. На поворот фонарика вряд ли уйдёт более 0,3 сек. Расстояние от Луны до Земли 380 000 тыс. км. Заяц прыгнул с Луны и достиг Земли за 0,3 сек. В четыре раза быстрее света.

Будете проделывать эксперимент, или и так результат ясен?